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1 Título : B2 Matemática Financeira Conteúdo : A maioria das questões financeiras é construída por algumas fórmulas padrão e estratégias de negócio. Por exemplo, os investimentos tendem a crescer quando os bancos ou empresas oferecem juros compostos para seus clientes. Estamos em um momento financeiro mundial onde as chamadas taxas de juros devem baixar para que não tenhamos um colapso da estrutura econômica (desemprego, repercussões sociais etc.). Assim, a matemática financeira destina se a fornecer subsídios para a análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. De modo geral, podemos afirmar que essa disciplina é a divisão da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, quantificando as transações que ocorrem no universo financeiro, levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo (time value money, como se diz usualmente no mercado financeiro). As principais variáveis tratadas no processo de quantificação financeira são: taxa de juros, capital e tempo. Os conceitos de matemática financeira são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda estável forte, quanto nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda fraca, que perdeu seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência da inflação. Iniciaremos nossos estudos, considerando a hipótese de moeda estável. Isto é, assume se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. A seguir, veremos os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa, segundo os modelos pré fixado e pós fixado. A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor percentual da taxa de juros a ser adotada em cada caso. É evidente que nenhum conceito de matemática financeira sofre qualquer alteração pela mera variação do valor da taxa de juros. Consideremos um breve estudo dos conceitos mais utilizados: JUROS Juro é a remuneração gerada por um capital aplicado ou emprestado. O valor é obtido pela diferença entre dois pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem equivalentes. Podemos, então, dizer que juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada 1/17

2 previamente durante um determinado prazo. Resumindo, é o valor recebido pela utilização de dinheiro emprestado. Logo, juros (J) = preço do crédito. A incidência de juros é resultado de vários fatores, dentre os quais podemos destacar: 1. inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo; 2. risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento; 3. fatores próprios da natureza humana: lembrando que a relação entre o homem e o dinheiro é uma das mais complexas de se descrever, tanto, social quanto psicologicamente. TAXA DE JUROS É a forma de se estipular o montante de juros, ou seja, o valor percentual a ser pago pelo uso do capital emprestado, durante um tempo pré estipulado (anual, trimestral, semestral, mensal etc.). Assim, a taxa de juros é o valor produzido numa unidade de tempo e é simbolizada pela letra i. Exemplo: 10% ao mês; sua representação poderá ser feita na forma decimal, isto é, 0,10. Podemos observar, também, na tabela abaixo: A modalidade onde a taxa de juros é aplicada ao capital inicial ao longo de determinado período, denomina se sistema de capitalização simples (juros simples). Já, quando a taxa de juros é aplicada sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), temos um sistema de capitalização composta (juros compostos). Em geral, e por razões óbvias, o mercado financeiro trabalha apenas a modalidade de juros 2/17

3 compostos, onde temos maior rentabilidade. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Um diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica de um conjunto de entradas e saída monetárias, identificada temporalmente (em função do tempo). Ele é fundamental para que se compreendam as operações de matemática financeira, demonstrando de forma clara o que ocorre com o capital durante o período estipulado. A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o instante inicial, e os demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas). Exemplo Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de oitocentos e pagamento de duzentos no terceiro ano. Ele produz receitas de quinhentos no primeiro ano; duzentos, no segundo; setecentos, no quarto e duzentos, no quinto. Convenção: dinheiro recebido flecha para cima valor positivo dinheiro pago flecha para baixo valor negativo 3/17

4 Regras básicas Nas fórmulas da matemática financeira, o prazo da capitalização e a taxa de juros devem ser expressos necessariamente na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo ou da taxa para a mesma unidade de tempo dependem do regime de capitalização definido para a operação. Para juros simples, podemos observar os seguintes exemplos: 24% a. a. = 24/12 = 2% ao mês 24% a. a. = 24/6 = 4% ao bimestre 24% a. a. = 24/4 = 6% ao trimestre 24% a. a. = 24/2 = 2% ao semestre Critérios de capitalização Regime de capitalização simples Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. A taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a diária por trinta; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por doze, e assim por diante. Portanto, consiste na apuração de juros, aplicando se a taxa contratada sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo várias adições consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas têm a mesma dimensão, significando isso que as parcelas de juros geradas anteriormente não se incorporam ao capital como base para a geração de novos juros. O montante de capital e juros se comporta como uma progressão aritmética. 4/17

5 Regime de capitalização composta Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime de capitalização, a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. Consiste na apuração periódica de juros com sua imediata incorporação ao capital gerador de novos juros. Dessa forma, o montante ao final do período x passa a ser o capital inicial para o período x+1. Os juros abonados em cada período tornam se geradores de novos juros, e o montante de capital e juros se comporta como uma progressão geométrica. Juros simples Os juros simples, diante de suas restrições técnicas, têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O uso de juros simples restringe se, principalmente, às operações praticadas no âmbito de curto prazo. No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação, mas não para apuração do efetivo resultado percentual (taxa interna de retorno). Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas do sistema financeiro estão referenciadas a juros simples, porém, a formação dos montantes das operações processa se exponencialmente. Um exemplo disso é a caderneta de poupança com juros de 6% ao ano, juros mensais de 0,5% ao mês, com capitalizações mensais a juros compostos. 5/17

6 Vejamos outro exemplo: Considere que R$100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao mês, durante três meses; teríamos, nesse caso: juros produzidos ao final do primeiro mês: J = 100.(1%).1 = 100.(1/100). 1 = R$ 2,00; juros produzidos ao final do segundo mês: J = 100.(1%).2 = 100.(1/100). 2 = R$ 2,00; juros produzidos ao final do terceiro mês: J = 100.(1%).3 = 100.(1/100). 3 = R$ 3,00. Notemos que a. os juros nesse caso, simples são calculados sempre em relação ao capital inicial de R$100,00; b. 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100. Fórmulas de juros simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula, temos: J = C i n Onde: J = juros C = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = principal + juros Montante = principal + (principal x taxa de juros x número de períodos ) M = C (1 + i n) 6/17

7 Aplicações Exemplo 1: um capital de R$ ,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede se para determinar o valor dos juros acumulados nesse período. C = R$ ,00 i = 2,5% a.m. 0,025 a.m. e n = 3 meses J = C i n J = ,00. 0, J = R$ 6.000,00 Devemos ressaltar que as fórmulas das taxas de juros devem sempre estar expressas na forma decimal. Exemplo 2: um negociante tomou um empréstimo, pagando uma taxa de juros simples de 18% ao trimestre durante nove meses. Ao final desse período, calculou em R$ ,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. i = 18% a.t. = 18% a.t. 3 = 6% ao mês 0,06 a.m. n = 9 meses e J = R$ ,00 C =? J = C i n ,00 = C 0, ,00 = C 0,54 C = ,00 O valor do empréstimo é R$ ,00. Notemos que, nos juros simples, para a obtenção da taxa mensal, conhecendo a trimestral, basta dividir a taxa trimestral por três! Pois o prazo e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo. Exemplo 3: uma pessoa fez uma aplicação de R$ ,00 à taxa de 1,5% ao mês durante oito meses. Determinar o valor acumulado ao final do período. C = R$18.000,00 i = 1,5% a.m. 0,015 a.m. n = 8 meses M = C (1 + i n) M = ,00 (1 + 0,015. 8) 7/17

8 M = ,00. 1,12 M = ,00 O montante acumulado é de R$ ,00. Exemplo 4: uma dívida de R$ ,00 irá vencer em quatro meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. M = R$ ,00 i = 7% a.m. 0,07 a.m. n = 4 meses M = C (1 + i n) ,00 = C (1 + 0,07. 4) ,00 = C 1,28 C = 70312,50 O valor que deveria ser pago na antecipação é de R$ ,50. Exemplo 5: qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ ,00, pelo prazo de quinze meses, sabendo se que a taxa cobrada é de 3% a.m.? Dados: C = ,00 n = 15 meses i = 3% a.m. j =? j = C x i x n j = ,00 x 0,03 (3/100) x 15 = 4.500,00 O valor dos juros a serem pagos é de R$4.500,00. Exemplo 6: um capital de R$ ,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente. C = ,00 j = 5.000,00 n = 10 meses i =? 8/17

9 j = C x i x n i = J / C x n = 5.000,00/25.000,0 x 10 = 0,02 ou 2% a.m. A taxa para esse caso é de 2% a.m.. Exemplo 7: uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga se: qual é a taxa anual correspondente a essa aplicação? C = ,00 j = 8.250,00 n = 180 dias i =? i = j / C x n i = 8.250,00 / ,00 x 180 = 0, , ou 0,091667% ao dia. Taxa anual = 360 x 0, = 0,33 ou 33% a.a. A taxa anual será de 33% a.a. É muito importante lembrar que, quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. JUROS COMPOSTOS Entendemos por juros compostos quando, no final de cada período de capitalização, os rendimentos são incorporados ao capital, gerando um novo capital, sobre o qual serão calculados os rendimentos do período seguinte. Os juros compostos são conhecidos popularmente como juros sobre juros. 9/17

10 Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital por meio de juros simples e juros compostos com um exemplo: Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a.. Teremos: Observe que o crescimento do principal dos juros simples é linear, enquanto o crescimento dos juros compostos é exponencial, tendo, portanto, um crescimento muito mais rápido. Isso pode ser ilustrado graficamente da seguinte forma: Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações, o que justifica o emprego mais recorrente de juros compostos na economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. Fórmulas de juros compostos O regime de juros compostos é o mais praticado no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo do período seguinte. 10/17

11 Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M = C (1 + i); 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C (1 + i) (1 + i); 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M= C (1 + i) (1 + i) (1 + i). Simplificando, obtemos: M = C (1 + i) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M P Faremos mais exercícios voltados para esse tipo de regime (juros compostos). Aplicações Exemplo 1: calcule o montante acumulado pela aplicação de um capital de R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 3,5% ao mês. C = R$ 6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % ao mês = 0,035 M =? Substituindo os dados, na fórmula M = C (1+i)n, temos: M = (1+ 0,035)12 M = (1,035)12 M = ,5111 = 9.066,41 Portanto, o montante é R$ 9.066,41. A taxa de juros está expressa ao mês e o prazo está ao ano, portanto, devemos converter o prazo da operação para a mesma unidade de tempo Exemplo 2: determinar o valor atual de um contrato de R$ ,00 com vencimento para quatro meses e por meio de uma taxa de juros de 3% ao mês, capitalizados mensalmente. 11/17

12 M = R$ ,00 t = 4 meses i = 3 % a.m. = 0,03 C =? Substituindo os dados na fórmula M = C (1+i)n, temos: = C (1+ 0,03)4 C = ,034 C = ,82 Portanto, o valor atual do contrato é: R$ ,82. Exemplo 3: uma loja financia um bem, no valor e R$ 4.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.866,61 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? C = R$ 4.200,00 M = R$ 4.866,61 t = 5 meses i =? mensal Substituindo os dados na fórmula M = C (1+i)n, temos: 4.866,61 = (1 + i ) , ,00 = (1 + i ) 5 A taxa mensal de juros cobrada pela loja é 2,99%. Uma dica: normalmente, em fatores ou índices calculados nas fórmulas, são colocadas de quatro a seis casas decimais, e, nos demais casos, duas! 12/17

13 Exemplo 4: determine em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ ,62, sabendo que a taxa contratada é de 2% ao mês. C = R$ ,00 M = R$ ,62 i = 2% ao mês = 0,02 n =? Substituindo os dados, na fórmula M = C (1+i)n, temos: 11261,62 = 10000,00. (1 + 0,02)n 11261, ,00 = 1,02n 1,1262 = 1,02n Aplicando logaritmo de base dez em ambos os membros e com o uso de uma calculadora científica, temos: log (1,1262) = log (1.02)n 0,0516 = n. log (1,02) 0,0516 = n. 0,0086 n = 6 meses O prazo contratado foi de seis meses. Exemplo 5: expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período. Temos S = P(1+i)n logo, S/P = (1+i)n Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever: n = log (1+ i ) (S/P). Portanto, usando logaritmo decimal (base dez), vem: Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logs logp 13/17

14 A partir desse exemplo, podemos perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos. Exemplo 6: um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo esse capital estará duplicado? Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs.: 0,02 = 2/100 = 2%] Simplificando, fica: 2 = 1,02 n, que é uma equação exponencial simples. Teremos, então: n = log 1,02 2 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a dois anos e onze meses. Resposta: dois anos e onze meses. Fórmulas na HP 12C Existem ferramentas em tecnologia de informação que nos facilitam tais cálculos. Além do próprio Excel da Microsoft, aqueles que trabalham no mercado financeiro encontram as calculadoras HP, modelo 12C, desenvolvido especialmente para esse tipo de cálculo. Seu manual é bastante claro e apresenta meios de executá lo. Na fórmula M = C (1 + i) n, o principal C é também conhecido como valor presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como valor futuro (FV = future value). Essa fórmula pode ser escrita como FV = PV (1 + i) n. Isolando PV, temos: PV = FV / (1+i)n Com essa mesma fórmula, podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente. Na sequência, mais fórmulas de que podemos obter diretamente cada elemento a partir dos dados iniciais do problema. Na HP12C, o valor presente é representado pela tecla PV, e o valor futuro é representado pela 14/17

15 tecla FV. Vejamos as definições a seguir: Valor Futuro FV = PV.(1+i) n Juro exato e juro comercial É comum, nas operações de curto prazo, em que predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter se o prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: pelo tempo exato: utilizando se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado dessa maneira denomina se juro exato; pelo ano comercial: o qual admite o mês com trinta dias e o ano com 360 dias. Tem se, por esse critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Exemplo: 12% a.a. equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: a. juro exato: 12/365 = 0,032877% ao dia. 15/17

16 b. juro comercial: 12/360 = 0,033333% ao dia. Taxa proporcional e taxa equivalente Taxa proporcional é aquela encontrada pela divisão da taxa original pela quantidade de períodos existentes, iguais ao da taxa desejada, dentro do período da taxa original. Existem doze meses dentro de um ano. Para obtermos a taxa proporcional mensal, dividimos a taxa anual por doze, linearmente. Taxa equivalente é aquela que produz o mesmo montante que outra operação, com períodos de capitalização diferentes da taxa original. Vejamos a seguir: Duas taxas i1 e i2 são equivalentes. Se aplicadas ao mesmo capital C durante o mesmo período de tempo, por meio de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i a. O montante M ao final do período de um ano será igual a M = C(1 + i a ). Consideremos, agora, o mesmo capital C aplicado por doze meses a uma taxa mensal i m. O montante M ao final do período de doze meses será igual a M = C(1 + i m ) 12. Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M. Portanto, C(1 + ia) = C(1 + im)12. Disso, concluímos que 1 + ia = (1 + i m ) 12 Com essa fórmula, podemos calcular a taxa anual equivalente a uma mensal conhecida. Exemplos: 1. Qual é a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? Em um ano, temos doze meses, então, teremos: 1 + ia = (1 + i m ) i a = (1,005) 12 i a = 0,0617 = 6,17% ao ano 16/17

17 Logo, 0,5% ao mês equivale a 6,17% ao ano 2. Qual é a taxa mensal equivalente a 6% ao trimestre? Em um trimestre, temos três meses, então, teremos: 1 + i T = (1 + i M ) , 06 = (1 + i M ) 3 1, 06 = (1 + i M ) 3 1, 0196 = 1 + i M i = 0,0196 = 1,96% ao mês Logo, 6% ao trimestre equivalem a 1,96% ao mês. 17/17

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