Prof. Ulysses Sodré - Matemática Essencial: 9 Porcentagem Juros Simples 12

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1 Matemática Essencial Proporções: Aplicações Matemática - UEL Compilada em 25 de Março de Prof. Ulysses Sodré - Matemática Essencial: Conteúdo 1 Proporções com números 1 2 Propriedades das proporções 1 3 Grandezas Diretamente Proporcionais 2 4 Grandezas Inversamente Proporcionais 3 5 Elementos históricos sobre a Regra de três 5 6 Regra de três simples direta 6 7 Regra de três simples inversa 6 8 Regra de três composta 7 9 Porcentagem Juros Simples 12...assim também Cristo, oferecendo-se uma só vez para levar os pecados de muitos, aparecerá segunda vez, sem pecado, aos que o esperam para salvação. A Bíblia Sagrada, Hebreus 9:28

2 Seção 1 Proporções com números 1 1 Proporções com números Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando: A B = C D 1. Os números A, B, C e D são denominados termos 2. Os números A e B são os dois primeiros termos 3. Os números C e D são os dois últimos termos 4. Os números A e C são os antecedentes 5. Os números B e D são os consequentes 6. A e D são os extremos 7. B e C são os meios 8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K desta razão. 2 Propriedades das proporções Para a proporção valem as seguintes propriedades: A B = C D 1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A D = B C 2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é: A + B A = C + D C A B A = C D C 3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é: A + B B = C + D D A B B = C D D 4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é: A +C B + D = A B = A C B D A +C B + D = A C B D = C D

3 Seção 3 Grandezas Diretamente Proporcionais 2 3 Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que: X Y = K ou na forma X = K Y Exemplos: 1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos) 15 minutos 30 minutos 45 minutos XXXXX 50cm XXXXX 50cm XXXXX 50cm XXXXX 50cm XXXXX 50cm XXXXX 50cm Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência: Tempo Altura 15 min 50 cm 30 min 100 cm 45 min 150 cm Quando duplica o tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada. Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo. (a) Se o tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, e a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Estas duas razões são iguais: = = 1 2 (b) Se o tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão e a altura na razão Estas razões são iguais: = = 1 3

4 Seção 4 Grandezas Inversamente Proporcionais 3 (c) Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta. 2. Em média, um automóvel percorre 80 km em 1 hora, 160 km em 2 horas e 240 km em 3 horas. (km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação: Distância Tempo 80 km 1 h 160 km 2 h 240 km 3 h Quando duplica o tempo, duplica também a distância percorrida e quando o tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção. Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo. (a) Se o tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 km para 160 km, ou seja, o tempo varia na razão de 1 enquanto a distância 2 percorrida varia na razão 80. Assim temos que tais razões são iguais: = = 1 3 (b) Se o tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 km para 240 km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2 e a distância percorrida na 3 razão 160 e observamos que essas razões são iguais, isto é: = = 1 3 (c) Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante. 4 Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais se, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que: X Y = K

5 Seção 4 Grandezas Inversamente Proporcionais 4 ou ainda na forma X = K Y Exemplos: 1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno. (a) apenas o melhor aluno receberá 24 livros (b) cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros (c) cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros (d) cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros (e) cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros Escolhidos Livros para cada aluno 1 aluno 24 2 alunos 12 3 alunos 8 4 alunos 6 6 alunos 4 De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma: (a) Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade. (b) Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte. (c) Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte. (d) Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte. Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais. Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6. Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas: 2 4 = 1 12/6 = 1 2 e 12 6 = 1 2/4 = 2 Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas: 2 6 = 1 12/4 e 12 4 = 1 2/6

6 Seção 5 Elementos históricos sobre a Regra de três 5 Neste caso, representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função real f : (0, ) (0, ) definida por f (x) = 24, cujo gráfico é: x 2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 km da primeira. Se o percurso é realizado em: (a) 1 hora, velocidade média de 120 km/h. (b) 2 horas, velocidade média de 60 km/h. (c) 3 horas, velocidade média de 40 km/h. A unidade é km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é: Velocidade Tempo 120 km/h 1 h 60 km/h 2 h 40 km/h 3 h De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica. Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais. 5 Elementos históricos sobre a Regra de três Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicar as mesmas na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a Regra de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

7 Seção 6 Regra de três simples direta 6 6 Regra de três simples direta Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. assim X Y = K e W Z = K X Y = W Z Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com 10kg de massa e ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Colocando um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual deve ser o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro). X será a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos: Massa do corpo Deslocamento da mola 10 kg 54 cm 15 kg X cm As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção: = 54 X Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10X = = 810, logo X = 81 e o deslocamento da mola será de 81cm. 7 Regra de três simples inversa Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção. Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. A B = K e C D = K

8 Seção 8 Regra de três composta 7 segue que logo A B = C D A C = D B Exemplo: Em um treino de Fórmula MAT, um corredor imprimiu a velocidade média de 180 km/h perfazendo um percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Usaremos a letra T para o tempo. De acordo com os dados do problema, temos: Velocidade Tempo 180 km/h 20 s 200 km/h T s Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Dados três valores, podemos obter um quarto valor T = T 20 Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima. Assim = 200X, donde segue que 200X = 3600, assim X = 3600 = 18. Se 200 a velocidade do corredor for de 200 km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso. 8 Regra de três composta Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. Se A1, B1, C 1, D1, E1,... são valores para grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C 2, D2, E2,... são valores para grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo para obter o valor numérico de uma grandeza Z 2, se conhecemos o correspondente valor numérico Z 1 e as medidas de todas as outras grandezas. Situação Grand 1 Grand 2 Grand 3 Grand 4 Grand 5 Grand... Grand? Sit 1 A1 B1 C1 D1 E1... Z1 Sit 2 A2 B2 C2 D2 E2... Z2

9 Seção 8 Regra de três composta 8 Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, basta resolver a proporção: Z 1 A1 B1 C 1 D1 E1 F 1... = Z 2 A2 B2 C 2 D2 E2 F 2... Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (indicada com a letra B) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção trocando as posições de B1 com B2: Z 1 Z 2 = A1 B2 C 1 D1 E1 F 1... A2 B1 C 2 D2 E2 F 2... As grandezas diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela e as grandezas inversamente proporcionais à grandeza Z aparecem na ordem invertida daquela que aparecem na tabela. Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção: Z 1 Z 2 = A1 B2 C 1 D2 A2 B1 C 2 D1 Observação: O PROBLEMA DIFÍCIL É A ANÁLISE LÓGICA SOBRE QUAIS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. COMO EM GERAL É DIFÍCIL REALIZAR ESTA ANÁLISE, NÓS APRESENTAREMOS ALGUNS EXEMPLOS PARA ENTENDER O FUNCIONAMENTO DA SITUAÇÃO. Exemplos: 1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produzem 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se tais máquinas funcionarem durante 9 dias? Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C) X A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Cada análise deve ser feita de modo independente para cada par de grandezas.

10 Seção 8 Regra de três composta 9 (a) Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Usaremos a lógica para constatar que tendo mais máquinas operando produziremos mais peças e tendo menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim, estas duas grandezas são diretamente proporcionais. (b) Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Usando a lógica constatamos que tendo maior número de dias produziremos maior número de peças e tendo menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim, estas duas grandezas também são diretamente proporcionais. (c) Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção: que pode ser posta na forma 400 x = x = Resolvendo a proporção, obtemos X = 840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças. 2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, km=quilômetro). Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C) X A grandeza Número de dias (C) servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. (a) Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que rodando maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e rodando menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. (b) Vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Observamos que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias necessitaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para o

11 Seção 9 Porcentagem 10 Logo, estas duas grandezas são inversamente propor- mesmo percurso. cionais. Assim: 2 X = que pode ser posta como 2 X = Resolvendo esta proporção, obtemos X = 4, significando que para percorrer 500 km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias. 9 Porcentagem Todos os dias, ouvimos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento provém do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a em que o denominador é b = 100, é uma taxa b de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis. Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10% de 80 = = = 8 Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto: Exemplos: Produto = M% de N = M N Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52% 25 = = 13 No fichário há 13 fichas indicadas com pares e 12 fichas com ímpares. 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

12 Seção 9 Porcentagem 11 Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. problema pode ser expresso da seguinte forma: Assim: X % de 4 = 3 X = 3 4X 100 = 3 4X = 300 X = 75 Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. Esse 3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. problema pode ser representado por: Assim: 42,5% de X = ,5%X = ,5 100 X = ,5X 100 = ,5X = X = X = = Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. Esse 4. Ao comprar um livro, obtive um desconto de 8% sobre o preço na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pelo livro, qual era o preço original do livro? Seja X o preço original do livro. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100% 8% = 92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690, logo 92%X = X = X 100 = X = X = = O preço original do livro era de R$ 750,00.

13 Seção 10 Juros Simples Juros Simples Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar: 1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital. 2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros. 3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante. Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i % ao período, basta usar a fórmula: j = C i t 100 Exemplos: 1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja? A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 450,00 = 202,50 A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 202, 50 = 40,50 5 Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: X % de 450,00 = 40,50 X 450,00 = 40, X 100 = 40,50 450X = 4050 X = = 9 A taxa de juros é de 9% ao mês.

14 Seção 10 Juros Simples Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado? O capital que a aplicação rendeu mensalmente de juros foi de 1920,00 = 960,00. 2 Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 3% de C = 960, C = 960,00 3C 100 = 960,00 O capital aplicado foi de R$ ,00. 3C = C = = 32000,00 3

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