Fundamentos da Matemática

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1 Fundamentos da Matemática Aula 10 Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

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3 Aula 10: Regra de três Objetivo: a regra de três é utilizada para situações e problemas do cotidiano, sendo relacionada não somente com os conceitos, mas, principalmente, com os procedimentos de investigação e de análise, procedimentos estes importantes para o conhecimento matemático. Antes de iniciarmos a resolução de regra de três, veremos o conceito de grandeza. É importante diferenciar as grandezas diretamente proporcionais das inversamente proporcionais. Grandeza: é todo valor que, ao ser relacionado a outro, quando há a variação de um, como consequência o outro varia também. Em nosso dia a dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas; quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como diretamente proporcional ou inversamente proporcional. É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade de pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. Grandezas diretamente proporcionais As grandezas diretas são aquelas que, relacionadas entre si, variam da mesma forma, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta. Exemplo: quanto maior o número de horas extras realizadas, maior o salário do colaborador. Podemos dizer que duas grandezas são diretamente proporcionais quando analisamos o comportamento de duas situações e conseguimos observar que esses valores aumentam ou diminuem na mesma proporção, ou seja, aumentando um o outro também aumenta, e vice-versa. São definidas como grandeza diretamente proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de

4 uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. Por exemplo, "na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez três gols. Quantos gols ele terá feito ao final do campeonato, sabendo que ele terá 46 partidas?". Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra. Observação: é necessário que seja satisfeita a propriedade destacada a seguir. Exemplo: se numa receita de pudim de micro-ondas uso duas latas de leite condensado, seis ovos e duas latas de leite, terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir para a metade cada quantidade de ingrediente se quiser apenas meia receita. Observe a tabela a seguir, que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que quiser comprar: Preço (R$) 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 Nº de pães Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto, se peço mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor. Propriedade: em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante. Exemplos: 1) Um quilo de carne custa R$ 10,00. Se a pessoa comprar 2 kg de carne, quanto pagará?

5 1 kg 10 2 kg x x = 20 Pagará R$ 20,00. 2) Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então ao comprar 20 borrachas o custo total será de quanto? x x = 2 Pagará R$ 2,00. Grandezas inversamente proporcionais As grandezas inversamente proporcionais são aquelas que, relacionadas entre si, variam na proporção inversa, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui, e vice-versa. Exemplo: quanto maior a velocidade de um automóvel, menos tempo ele leva para percorrer o trajeto. Podemos dizer que duas grandezas são inversamente proporcionais quando dois valores de mesma unidade aumentam ou diminuem em ordens inversas, ou seja, aumenta uma e a outra diminui, e vice-versa. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários. Exemplo: velocidade e tempo.

6 Um carro percorre a uma velocidade de 100 km/h o total de 10 metros em 10 segundos. Se esse mesmo carro tiver sua velocidade aumentada para 200 km/h, gastará apenas 5 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso para a outra. Observação: é necessário que seja satisfeita a propriedade destacada a seguir. Exemplo: numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo para percorrê-lo. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem. Observe a tabela a seguir, que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem para uma distância de 600 km. Velocidade média (km/h) Tempo de viagem (h) Velocidade média e tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim, se viajo mais depressa, levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média, levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor. Propriedade: em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. Regra de três A proporcionalidade, para a matemática, é uma relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido pela população leiga, pois é bastante útil e de fácil resolução por meio da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, o resultado chama-se constante de proporcionalidade.

7 A regra de três é o tipo de cálculo em que conseguimos estipular o resultado final. A partir de uma situação conhecida, podemos variar uma das grandezas e determinar o novo resultado da outra grandeza. Há muitas situações em que é necessário calcular algum valor utilizando a regra de três. Ela é muito útil e, ao mesmo tempo, bem simples de ser usada. Mas para chegar ao resultado certo é preciso montar, em primeiro lugar, a proporção. Regra de três simples Quando existem apenas duas grandezas envolvidas, a regra de três é chamada de simples. Exemplos: 1) Ana comprou 150 lápis para o escritório a um preço unitário de R$ 0,10. Quanto ela gastaria se tivesse que comprar 220 lápis? RESPOSTA: Quanto mais lápis comprar, mais vai gastar. As duas grandezas são diretamente proporcionais. Para comprar 150 lápis, gastou R$ 15,00 (150 x 0,10). Se tivesse comprado 220 lápis, o preço seria x. Lápis Custo x A leitura da proporção montada nessa regra de três é: 150 está para 220, assim como 15 está para x x x 150 x 22

8 R: Ana gastaria R$ 22,00 para comprar os 220 lápis. 2) O senhor João deseja viajar e resolve ir de avião. Ficou sabendo que existem dois tipos de avião para esse trajeto que precisa fazer. Se ele fosse de avião com uma velocidade média de 600 km/h, levaria o tempo de 3 horas da cidade de partida até seu destino final. Mas quanto tempo levaria um avião que desenvolve 900 km/h para percorrer o mesmo trajeto? RESPOSTA: Velocidade Tempo x x Podemos observar que as grandezas são inversamente proporcionais, pois, se aumentarmos a velocidade, o tempo diminuirá. Temos uma regra de três simples. Se as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das duas razões. Então temos: 600 x x = x = x 900 x = 2 horas Podemos concluir que o avião com velocidade de 900 km/h irá gastar 2 horas para chegar ao destino final.

9 3) Dona Maria resolveu fazer uma piscina em seu sítio. Para que fosse feita essa piscina, ela precisou construir primeiramente um muro em sua residência e depois contratar uma empresa especializada na montagem da piscina. Então contratou dois pedreiros que levaram 9 dias para construir o muro de 2 metros de altura. Analisando o terreno, dona Maria resolveu contratar mais um pedreiro (totalizando três pedreiros) e aumentar a altura do muro para 4 metros. Qual será o tempo necessário para completar esse muro? RESPOSTA: Para esse caso, temos uma regra de três composta, porque agora temos três grandezas para serem analisadas. Para efetuar esse cálculo, devemos analisar sempre a grandeza que tem a incógnita, com as outras duas, em situações distintas. Pedreiros dias metros x 4 Analisando as grandezas, pedreiros e dias, podemos observar que são inversamente proporcionais, pois, ao aumentarmos a quantidade de pedreiros, precisaremos de uma quantidade menor de dias, por isso que as setas estão em posições contrárias. Depois, analisando as grandezas dias e metros, podemos observar que são diretamente proporcionais, pois, ao aumentarmos a quantidade de metros, devemos aumentar a quantidade de dias para realizar esse mesmo trabalho. Ao analisarmos as duas primeiras grandezas, estabelecemos a posição entre as duas primeiras setas; como a segunda seta ficou para baixo, e a terceira é diretamente proporcional à segunda, ela acompanhou a mesma direção, não se levando em conta se estava aumentando ou não, apenas acompanhando a mesma direção. Podemos observar que as grandezas dias e metros têm mesma direção da seta e são contrárias à posição da seta dos pedreiros. Conseguimos fazer o seguinte: invertemos a razão dos pedreiros e mantemos as outras duas, ou, então, invertemos as razões dos dias e dos metros, e mantemos a dos pedreiros. Assim, temos o seguinte cálculo:

10 Mantemos a razão da variável sempre à esquerda e multiplicamos as outras duas ou mais, se for o caso x x 8 6. x = x = x 6 x = 12 dias. Podemos concluir que dona Maria terá seu muro de 4 metros de altura em 12 Regra de três composta Quando existem mais de duas grandezas envolvidas, a regra de três é denominada composta. Para iniciar a resolução, seguimos o passo a passo da regra de três simples, ou seja, precisamos descobrir as grandezas envolvidas e verificar se elas são direta ou inversamente proporcionais. Depois, é preciso ficar atento para montar a proporção. 1) Senhor Roberto, dono de uma fábrica de tecidos, recebeu uma proposta para produzir 360 metros de tecido em 9 horas. Ele tem duas máquinas que conseguem produzir 60 metros em 3 horas. Quantas máquinas serão necessárias para produzir os 360 metros em 9 horas? RESPOSTA: Para esse caso, temos uma regra de três composta, porque agora temos três grandezas para serem analisadas. Para efetuar esse cálculo, devemos analisar sempre a grandeza que tem a incógnita com as outras duas, em situações distintas.

11 máquinas metros tempo x Nessa relação, temos: x x x = x = x 540 x = 4 Logo, podemos concluir que, para que o senhor Roberto consiga entregar os tecidos no prazo de 9 horas, ele deverá ter 4 máquinas. 2) Os construtores calculam que, para erguer um prédio, uma equipe de 200 operários levaria 150 dias trabalhando 6 horas por dia. No entanto, houve uma alteração no cronograma da obra, a fim de diminuir custos. Dessa forma, a obra precisou ser agilizada. A quantidade de operários caiu para 180 e a carga horária/dia aumentou para 10 horas. Nessas condições, em quantos dias o prédio ficará pronto? RESPOSTA: São três grandezas: operários, carga horária/dia e total de dias para o prédio ficar pronto. Para resolver uma regra de três composta, é preciso comparar as grandezas e identificar se elas são diretamente ou inversamente proporcionais. Total de dias Operários Carga horária/dia x

12 Nessa relação, temos: x x x = x 1800 x = 100 Logo, o prédio ficará pronto em 100 dias com 180 operários trabalhando 10 horas por dia. REFERÊNCIAS IEZZI, Gelson et al. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, MEDEIROS et al. Matemática Aplicada aos cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. v ed. São Paulo: Atlas, MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Cálculo. Função de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.

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