Máximos e mínimos. Problemas de máximos e mínimos estão presentes. Nossa aula

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1 A UA UL LA Máimos e mínimos Introdução Problemas de máimos e mínimos estão presentes em quase todas as atividades do mundo moderno. Por eemplo, você pode imaginar como um carteiro distribui a correspondência? Qual seria seu itinerá para que o tempo de distribuição fosse o menor possível? Uma variação desse problema é o trajeto do ônibus escolar. Ele deve passar na casa de cada criança para levá-las à escola. Conhecendo os endereços, é preciso planejar o percurso para fazer o serviço no menor tempo possível. Em qualquer empresa, grande ou pequena, ouvimos falar em encontrar a receita máima, reduzir o desperdício ao mínimo entre outras coisas. Na prática, os problemas de máimos e mínimos são, freqüentemente, compleos, porque envolvem muitas variáveis. Entretanto, eistem também aqueles que se resolvem por uma simples função do 2º grau. Vamos mostrar alguns desses problemas. Sugerimos que você releia com atenção a Aula 31, para compreender bem as nossas soluções. Nossa aula PROBLEMA 1 Os técnicos de uma fábrica de automóveis fizeram diversos testes com um de seus carros populares para eaminar o consumo de gasolina. O carro percorria 100 km em uma estrada plana, com velocidade constante. O percurso foi feito muitas vezes e, a cada vez, usou-se uma velocidade diferente. No final de cada viagem, os técnicos verificaram a quantidade de combustível gasta e observaram que o consumo não se mantinha o mesmo, pois era função da velocidade. A conclusão foi a seguinte: para velocidade entre 40 e 120 km/h, o consumo desse carro é dado por: y = 0,005 ² - 0, onde é a velocidade em quilômetros por hora e y é o número de litros de gasolina gastos para percorrer 100 km. Em que velocidade devemos andar com esse carro, para gastar o mínimo de combústivel?

2 Este é um problema interessante. Muita gente acha que andar bem devagar economiza combustível. Não é verdade! É certo que andar muito rápido faz com que o consumo seja alto, mas cada carro possui uma velocidade em que o consumo é o menor possível. A U L A Solução: A função que os técnicos encontraram é do tipo y = a²+ b + c. Como o coeficiente a é positivo, sabemos que eiste um valor mínimo dessa função. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima: y (consumo) V 40 v 120 (velocidade) O ponto mais baio do gráfico é o vértice (v) da parábola e o número v é a velocidade que faz com que o consumo seja o menor possível. Na Aula 31 aprendemos a calcular a abscissa do vértice da parábola. Observe: v =- b -0,6 =- 2a 2 0,005 = 0,6 0,01 = 60 Logo, a velocidade que dá o mínimo consumo é de 60 km/h para gastar a menor quantidade possível de gasolina. Se, entretanto, desejarmos saber qual o gasto mínimo de combustível para percorrer os 100 km, basta substituir o da função por 60. Teremos então: y = 0, ² - 0, = = 8 Portanto, andando a 60 km/h, gastaremos apenas 8 litros de gasolina para percorrer os 100 km. PROBLEMA 2 Com 80 m de, um fazendeiro deseja cercar uma área retangular junto a um para confinar alguns animais. rea cercada

3 A U L A Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível? Conhecido o comprimento da (80 m) e uma das medidas do retângulo, é facil calcular as outras. Mas, eistem muitas opções para formar esse retângulo. Veja duas delas: Nos dois eemplos, o comprimento total da é 80 m, mas as áreas cercadas são diferentes. No primeiro caso, ela é = 600 m² e no segundo, 25. = 750 m²². Vemos, então, que a área cercada é função das medidas do retângulo. Solução: Vamos chamar de uma das medidas do retângulo. A área será representada por y. Como os lados opostos do retângulo são iguais, temos um outro lado de tamanho e o outro de tamanho c. Veja: Se o comprimento total da é 80 m, então: + c + = 80 ou c = 80-2 Agora, a área cercada é: Desenvolvendo, temos: c y =. c ou y = (80-2) y = 80-2² ou melhor y = - 2² + 80

4 Estamos diante de uma função do 2º grau, que relaciona o lado do retângulo com a área y. O gráfico tem a seguinte forma: y ( rea) A U L A V v (lado do ret ngulo) O ponto mais alto do gráfico é o vértice v da parábola; sua abscissa v é o valor do lado do retângulo que faz com que sua área seja máima. Calculamos, então, essa abscissa da mesma forma que no problema anter: v =- b 80 =- 2a 2αφ (-2) =80 4 = 20 Portanto, se fizermos a largura do retângulo igual a 20 m, teremos a certeza de que a área cercada será a maior possível. Veja como ele ficou: A área, neste caso, será de = 800 m²; maior, como se pode ver, que as áreas dos retângulos que apareceram nos dois eemplos iniciais. Eercício 1 Usando a função do Problema 1 da nossa aula, calcule: a) O consumo de combustível a 50 km/h; b) O consumo de combustível a 90 km/h; c) Em que velocidade, maior que 60 km/h, o carro andou se gastou 10 litros para percorrer os 100 km? Eercícios Eercício 2 Qual é o valor mínimo da função y = ² ? Eercício 3 Qual é o valor máimo da função y = - 3² ? Sugestão (para os Eercícios 2 e 3): Calcule a abscissa do vértice pela fórmula v =- b e substitua esse valor encontrado no da função. 2a

5 A U L A Eercício 4 Desejamos construir um edifício de base retangular no inter de um terreno triangular, como mostra a figura: 40 m m Determine as medidas do retângulo de maior área possível que caiba dentro de um triângulo retângulo de catetos m e 40 m. Sugestão: Seja uma das medidas do retângulo e y sua área. Vamos calcular y em função de (fig. A): 40 - a a a Os dois triângulos da figura B são semelhantes. Relacione seus elementos e calcule o segmento a em função de. A área do retângulo é y = a. Substituindo a pela epressão encontrada, obtém-se uma função do 2º grau. Determine, então, para que valor de encontra-se o máimo de y. Eercício 5 João tem uma pequena fábrica de sorvetes. Ele vende, em média, 0 caias de picolés por R$ 20,00 cada uma. Entretanto percebeu que, cada vez que diminuía R$ 1,00 no preço da caia, vendia 40 caias a mais. Quanto ele deveria cobrar pela caia para que sua receita fosse máima? Qual o valor máimo dessa receita? Sugestão: Inicialmente ele vendia 0 caias por R$ 20,00 cada uma. Sua arrecadação era 0 20 = R$ 6.000,00. Diminuindo R$ 1,00 no preço, ele venderá 40 caias a mais. Nesse segundo caso, sua arrecadação será = R$ 6.460,00. Portanto a arrecadação aumentou. Complete alguns valores da tabela abaio. Imagine agora que ele dê um desconto de reais em cada caia. Assim, o preço será 20 - e o número de caias vendidas será Se y é a sua receita, você deve observar que y é dado por uma função do 2º grau. PREÇO Nº DE CAIXAS VENDIDAS RECEITA

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