Grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de três, porcentagem e juros simples

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1 Disciplina: Matemática Ano / Série: 7 Professor (a): Rafael Machado Data: 11/2015 Nome: Grandezas direta e inversamente proporcionais, regra de três, porcentagem e juros simples Professor: Rafael Antunes Machado

2 Porcentagem No conjunto dos números racionais, determina-se um grupo especial denominado por números percentuais. Como o próprio nome indica, esta classe de números será sempre indicada por uma divisão por 100. Representativamente, tem-se o símbolo % (por cento) para representar a divisão. EX: Desconto de 30% no preço do tênis A afirmativa representa que o tênis sofreu uma redução de!" em seu preço. Lembre-se que, em matemática, de representa uma multiplicação e ou uma adição.!"" Um valor percentual pode ser representado de três formas: Forma percentual: utiliza-se o símbolo de %. EX: 30%, 40%, 25,7% Forma centesimal e fração percentual: o símbolo % não é mais utilizado e efetua-se a divisão por 100. EX: 30% =!" = 0,03. Qualquer divisão por 100 pode ser dada com um recuo em!"" duas casas decimais a partir do último número (quando não há vírgula) ou a partir da vírgula. EX: Calcular as seguintes porcentagens. 25% de 40 = 0,25 x 40 = 10 30% de 12 = 0,30 x 12 = 3,6 90% de 90 = 0,90 x 90 = 81 12,5% de 100 = 0,125 x 100 = 12,5 Regra de três simples, grandezas direta e inversamente proporcionais Quando desejamos saber a quantidade de objetos em uma determinada relação, primeiramente devemos enumerar de forma lógica esses objetos e, em seguida, identificar se a relação é dada direta ou indiretamente. Quando a relação é direta, dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais, isto é, se uma grandeza cresce, as outras devem crescer na mesma proporção. Se uma grandeza decresce, as outras devem decrescer na mesma proporção. Quando a relação é inversa, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais, isto é, se uma grandeza cresce, a outra decresce, se uma grandeza decresce, a outra cresce sempre na mesma proporção.

3 1.1 Resolvendo problemas de regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais Um carro consome 30L de combustível durante 3h. Quantos L de combustível o mesmo carro consumirá em 9 h? Observe que quanto maior o tempo, maior será o consumo de combustível. Dessa forma, percebemos que as duas grandezas crescem na mesma proporção, ou seja, são diretamente proporcionais. 30 L de combustível 3 h C L de combustível 9 h Perceba que o tempo foi multiplicado por 3, logo o consumo também deverá ser multiplicado pelo mesmo fator. 30 x 3 = 90 L de combustível. Quando as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicam-se em X as grandezas. 3 x C = 30 x 9 C = 270 : 3 C = 90 L de combustível 1.2 Grandezas inversamente proporcionais 20 pedreiros fazem uma obra em 40 dias. Quantos pedreiros serão necessários para fazer a mesma obra na metade do tempo? Note que, se o tempo diminui à metade, a quantidade de pedreiros deve aumentar o dobro para que a obra seja finalizada. Neste caso, a grandeza tempo é reduzida à metade e a grandeza pedreiros deve dobrar para compensar a redução da outra. 40 : 2 = 20 dias. Logo, 20 x 2 = 40 pedreiros. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, multiplicam-se na mesma linha (=) as grandezas. 20 pedreiros 40 dias P pedreiros 20 dias P x 20 = 20 x 40 P = 800 : 20 P = 40 pedreiros

4 Juros simples Chamam-se de juros simples todas as taxas percentuais incidentes sobre um único e constante valor inicial. A todo acréscimo denomina-se juros e a todo abatimento denomina-se desconto. As relações básicas em juros simples são dadas a seguir. Em que: J = C x i x t J: juros acumulados no determinado período; C: capital inicial aplicado; i: taxa centesimal de aplicação; t: período de aplicação. Atenção! A taxa de aplicação e o período devem ser coerentes. Por exemplo, se a taxa é de 20% ao mês, o tempo deve ser estipulado em meses. Em que: M = C + J M: montante; C: capital inicial; J: juros acumulados. Construção em sala 1) Um capital de R$ 300,0 aplicado durante 4 meses sob regime de juros simples renderá quanto de juros se a taxa mensal é de 2%? Qual o montante dessa aplicação? 2) Uma aplicação de R$ 1000,00 rendeu montante de R$ 5000,00 durante 10 meses. Qual o período de aplicação se a taxa mensal foi de 20%?

5 Exercícios 1) Resolva os problemas abaixo envolvendo porcentagens e juros simples. a) Uma loja deseja vender um equipamento com lucro equivalente a 40% do preço de custo. Se o equipamento custou R$ 600,00, por quanto deverá ser vendido? b) Dr. Mário deseja vender um terreno com um lucro de 40% do preço de venda. Se o terreno custou R$60.000,00, por quanto deve ser vendido? Atenção para a relação entre preço de venda, preço de custo, lucro e prejuízo! c) O preço de um aparelho de televisão está tabelado em R$2.000,00. Por causa de uma promoção, esse aparelho foi colocado à venda por R$1.900,00. Ache a porcentagem que relaciona o desconto com o preço de tabela. d) Numa certa ocasião, o preço de um automóvel foi tabelado em R$ ,00. No entanto, só era possível compra-lo pagando-se um acréscimo de 15%. Por quanto estava sendo vendido este automóvel? e) Um capital de R$500,00 foi aplicado em sistema de juros simples durante 8 meses a uma taxa constante de 7% ao mês. Qual os juros acumulados ao final da aplicação? Qual o montante? f) Um certo investimento rendeu R$8000,00 de juros simples ao final de 60 meses sob taxa constante de 5% ao mês. Qual o capital aplicado? Qual o montante gerado? g) Um montante de R$10.000,00 foi acumulado durante 2 anos sob sistema de juros simples. Sabe-se que os juros acumulados foram de R$4.000,00. Qual o capital aplicado e qual a taxa de juros anual? E a taxa de juros semestral? E mensal? h) O preço de uma mercadoria teve seu preço aumentado, sucessivamente, em 10% e 20%. Qual o percentual de aumento real dessa mercadoria? i) Um cidadão reserva 30% do seu salário para o pagamento da prestação da sua casa. Do restante, 50% são gastos com alimentação. 20% do que sobra ele coloca na poupança e os R$1400,00 que sobram, são utilizados em outras despesas. Qual o salário do trabalhador? j) O preço de uma mercadoria sofreu um aumento de 30% e passou a custar R$ ,00. Quanto custava a mercadoria antes do aumento? 2) Resolva os problemas abaixo: a) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? b) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? c) Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? d) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? e) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias nove marceneiros fariam o mesmo armário? f) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias quarenta operários construiriam essa casa?

6 g) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? h) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 metros cúbicos de areia. Quantos caminhões de 6 metros cúbicos de areia seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? i) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 metros quadrados. Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 metros quadrados? j) Para se obterem 28kg de farinha, são necessários 40kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7kg de farinha? k) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? l) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? YOUSSEEF, Antônio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz; Matemática conceitos fundamentais. Editora Scipione, Segunda edição. BONGIOVANNI, Vincenzo; LEITE, Olímpio Rudinin Vissoto; LAUREANO, José Luiz Tavares; Matemática. Volume único. Editora Ática, Seguda edição. Acesso web: Notas pessoais de aulas.

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