Prof. Eugênio Carlos Stieler

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1 DESCONTOS CONCEITO A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente na data da operação, ou seja: D= VF - VP, em que D representa o valor monetário do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. Embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro. De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponenciais no caso do desconto composto. DESCONTO SIMPLES (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL) Desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de desconto de duplicatas realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: D=VF.d.n em que d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue: VP = VF - D Exemplos: 1. Qual o valor do desconto simples de um título de $.000,00, com vencimento para 90 dias, á taxa de,5% ao mês? Solução: VF =.000,00 D=S.d.n n = 90 dias = 3 meses D =.000,00 x 0,05 x 3 = 150,00 d =,5% ao mês D=?. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 10 dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? VF = 1.000,00 VP = 880,00 n = 10 dias = 4 meses d=? Solução: Pág.1

2 3. Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. VF = VP = d = n = 4. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor $ ,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês. 5. O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $ ,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata. 6. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente àquela operação, de acordo com o critério de juros compostos. A solução pode ser obtida a partir da fórmula do montante S= P (1+ ) n. Como a taxa informada é mensal e o prazo é dado em número de dias, basta dividir este por 30 para expressá-lo em número de meses e assim compatibilizar as duas variáveis. Substituindo na equação do montante, ternos: Pág.

3 Cálculo do Valor do para Séries de Títulos de Mesmo Valor Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor de $ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente, para serem descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto global e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas variáveis serão representadas pelos seguintes símbolos: DT = valor do desconto total = D 1 + D D n N = número de títulos (ou prestações) PT= valor líquido total dos títulos = N x S - DT Obtenção do desconto global, a partir do cálculo individual, para cada título. Sendo D = S.d.n, tem - se que: D 1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00 D = 1.000,00 x 0,03 x = 60,00 D 3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00 D 4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 10,00 D 5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00 DT= 30, , , , ,00 = 450,00 Dedução de uma fórmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada. Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever: DT = D 1 + D + D 3 + D 4 + D 5 DT =1.000 x 0,03 x x 0,03 x x 0,03 x x 0,03 x x 0,03 x 5 DT= (1.000, x 0,03) x ( ) Aplicando-se a fórmula que dá a soma de uma progressão aritmética: (t1 + tn) N SPA = em que t 1 representa o prazo do título que vence primeiro, t n o prazo do título que vence por último e N o número de títulos, ternos: (1+ 5) 5 D T = ,03 (1) DT= 1.000,00 x 0,03 x 15 = 450,00. O valor líquido creditado na conta do cliente seria: P = S x N - DT = 1.000,00 x 5-450,00 = 4.550,00 Substituindo na expressão (1) cada número pelo seu símbolo correspondente, ternos: D T (t1+ tn) N = VF d t tn 1 + ou D T t1+ tn = VF N d em que a expressão representa o prazo médio dos títulos descontados. Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para determinar o desconto total de uma série de títulos pode ser escrita como segue: Pág.3

4 D T 1+ t = S N d n em que t n, que representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano etc.) referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de títulos N. É importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o período unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em meses, trimestres ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente. Exemplos: 7. Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 1 títulos, no valor de $ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de,5% ao mês. VF = 1.680,00 N = t n = 1 d =,5% PT =? 8. Quatro duplicatas, no valor de $ 3.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 10, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto. VF = 3.500,00 N = 4 d = 3,45% ao mês t 1 = 90 dias = 3 meses t n = 180 dias = 6 meses DT =? 9. Uma empresa apresenta nove títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do borderô, e que o valor líquido creditado a empresa foi de $ 5.000,00, calcular o valor de cada título. PT = 5.000,00 N = t n =9 d =,8% S =? Pág.4

5 10. Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento obtido para a compra de um bem. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de $ ,00; que a primeira prestação vence a 30 dias de hoje e a última a 180 dias, e que o desconto dado pelo credor é de 1% ao mês (desconto simples ou bancário), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o contrato. VF = ,00 N =t n = 6 d = 1% PT =? 11. Oito títulos, no valor de $ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo líquido correspondente, no valor de $ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto. VF = 1.000,00 PT = 6.830,00 N =t n = 8 d =? Exercícios 1. Uma duplicata de $ ,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento foi descontada por um banco a taxa de,70% ao mês Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. Resposta: ,00. Calcular o valor do desconto de um título de $ ,00, com 115 dias a vencer, sabendo se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. Resposta: ,00 3. Sabendo se que o desconto de uma duplicata no valor de $ , com 150 dias a vencer, gerou um crédito de $.075,06 na conta do cliente. Determinar a taxa mensal de desconto. Resposta:.34% 4. Um título de $ ,00 foi descontado a 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento. Determinar o valor líquido entregue ao seu portador Resposta: ,00 5. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado á taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (valor líquido creditado) de $ Resposta: Sendo de $ 3419,44 o valor do desconto uma duplicata, descontada a taxa de 3,55% ao mês, 10 dias antes do seu vencimento. Calcular o valor creditado na conta do cliente. Resposta: 0.661,1 Pág.5

6 7. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $ 9.800,00, que sofreu um desconto de $ 548,50, á taxa de 3% ao ano Resposta: 63 dias. 8. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de $ ,00 e com 60 dias de prazo até o vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,3% ao mês, calcular o valor creditado na conta dessa empresa e a taxa efetiva de juros, calculada de acordo com o regime de capitalização composta, cobrada nessa operação. Respostas: ,00 5,76% ao mês. 9. Que taxa de desconto ao mês deve ser cobrada numa operação com prazo de 90 dias, que resulte numa taxa efetiva de juros de 7,1% ao mês, calculada com base no regime de capitalização composta? Resposta: 6,% ao mês. 10. Uma pessoa obteve um financiamento para ser quitado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago esta, o financiado propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo se que essa Financeira concede um desconto de 3,4% ao mês para pagamentos antecipados, calcular o valor do desconto total concedido. Resposta: ,8 11. Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, quatro duplicatas no valor de $ 3.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 10, 180 e 40 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de,4% ao mês. Resposta: , Determinar o número de títulos com vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias, descontados à taxa de 3,3% ao mês, sabendo-se que todos são de mesmo valor, igual a $13.000,00 cada um, e cujo desconto total é de $1.01,00. Resposta: 7 títulos. 13. Determinar a que taxa devem ser descontados três títulos, no valor de $ 6.000,00 cada um, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um valor atual, global, de $ 16.54,00 Resposta: 4,1% ao mês Pág.6

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