Aula 00 Curso: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

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1 Prof. Ricardo Soncim - Aula 00 Aula 00 Curso: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

2 APRESENTAÇÃO Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ Futuros Auditores Fiscais da Receita Estadual do Rio de Janeiro, Bem vindos ao curso on-line preparatório para o cargo de Auditor Fiscal da Receita Estadual do Rio de Janeiro. Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de resolver estudar para um concurso público no meio civil. foram: No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3 meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso, das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal; Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de estudo. Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo, mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa e 2 filhos) e o lazer sempre necessário. Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do Exponencial Concursos. No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva, baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão sonhado concurso público. Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar. E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está aqui, para fornecer o atalho que todo concurseiro deseja para atingir seus objetivos. Prof. Custódio Nascimento 2 de 31

3 Este curso será de Teoria e Exercícios de Matemática Financeira. Ele terá como base o edital do último concurso (2013), mas garantimos a atualização e inserção de qualquer novo conteúdo que a banca venha trazer, quando da divulgação do edital. No concurso de 2013 para o ICMS-RJ, conduzido pela FCC, os assuntos deste curso estavam inseridos no grupo G3 Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Lógico. Eram 10 questões de Matemática Financeira, em um total de 24 questões cobradas no grupo G3. O candidato precisava atingir a nota de corte em cada grupo, com um mínimo de acerto de 50%, e ainda conseguir um mínimo total por prova de 65%. A partir disso, você pode concluir que não se deve deixar de estudar nenhuma disciplina. O nível de dificuldade das questões de Matemática Financeira do último concurso, de uma maneira geral, foi bem mais elevado do que nos concursos anteriores, o que pegou muita gente de surpresa! Foram, aproximadamente, inscritos e somente 24 aprovados para um total de 50 vagas. Isso mesmo, sobraram vagas! Matemática Financeira é uma matéria muito cobrada nos concursos da FCC. O nosso objetivo será abordar todo o conteúdo do edital, procurando fazer um paralelo entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma objetiva, concisa e esquematizada. Além disso, teremos mais de 100 questões comentadas, com prioridade para as questões da FCC, pois acredito que, quando conseguimos entender a maneira de pensar dos integrantes da banca, fica mais fácil nos prepararmos para o que está por vir. Em alguns momentos, serão utilizadas questões de outras bancas (CESPE, ESAF, FGV, Cesgranrio), para complementar o entendimento do assunto tratado. Darei prioridade, também, para as questões de provas de concursos de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos nos preparando. Histórico e análise das provas de Matemática Financeira Provas AFRE-RJ , , 2009, 2010, 2011, 2014 Assunto Quantidade % Capitalização composta: cálculo de juros e montantes Equivalência financeira Séries finitas e infinitas (ou perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas Prof. Custódio Nascimento 3 de 31

4 Capitalização simples: cálculo de juros e montantes Influência da inflação: taxa real e taxa aparente. 6 9 A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e bancário. Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema Francês - Tabela Price Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema de Amortização Constante (SAC) Taxas equivalentes e efetivas. 3 5 Convenção linear e exponencial quando não é fracionário. Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema Americano de Amortização a uma e a duas taxas (Sinking Fund) Desconto composto: racional e comercial. 2 3 Vale ressaltar que os assuntos que apareceram em provas seis ou mais vezes foram contemplados em TODOS os concursos! Do exposto acima, podemos concluir que todos os itens do edital são abordados nas provas! Alguns itens como Influência da inflação: taxa real e taxa aparente apareceram em todas as provas e não são de difícil aprendizado, ou seja, você não pode errar essas questões na prova! Aula Assunto Data Aula Demonstrativa Porcentagem aplicada à matemática financeira. Revisão de conceitos básicos de Matemática. 1. Conceito de juros e regimes de capitalizações. 2. Capitalização simples: cálculo de juros e montantes. 6. Capitalização composta: cálculo de juros e montantes. 7. Convenção linear e exponencial quando não é fracionário. 8. Taxas equivalentes e efetivas. 9. Influência da inflação: taxa real e taxa aparente. Disponível 23/08 30/08 Prof. Custódio Nascimento 4 de 31

5 03 Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ 3. Valor atual e valor nominal. 4. A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e bancário. 5. Equivalência entre taxa de juro e taxa de desconto. 10. Desconto composto: racional e comercial. 06/ Equivalência financeira. 12. Séries finitas e infinitas (ou perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas. 13. Utilização de tabelas financeiras. 14. Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema Francês - Tabela Price; Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema Americano de Amortização a uma e a duas taxas (Sinking Fund). 13/09 Deixei para falar na aula de hoje, aula demonstrativa, de um assunto que não está explicitamente escrito no edital, mas que é muito importante para que você possa compreender todos os conceitos de Matemática Financeira: porcentagem. Então vamos à aula!!!!! Prof. Custódio Nascimento 5 de 31

6 Aula 00: Porcentagem aplicada à matemática financeira Vamos dar início ao nosso curso com esta aula demonstrativa sobre o assunto porcentagem aplicada à Matemática Financeira. Assunto Página 1- Preciso estudar esta aula? Porcentagem: Conceito, Fator de Multiplicação, Aumentos e/ou Descontos sucessivos. 3- Questões comentadas Questões apresentadas na aula Gabarito Preciso estudar esta aula? Você precisará estudar essa aula se você não souber responder mentalmente as duas perguntas que colocarei a seguir ou se você souber, porém demorando mais de 10 segundos para responder a cada uma delas. 1ª pergunta Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses? (A) R$ 100,00 (B) R$ 110,00 (C) R$ 99,00 (D) R$ 101,00 2ª Pergunta Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses? (A) R$ 100,00 (B) R$ 110,00 (C) R$ 99,00 (D) R$ 101,00 Prof. Custódio Nascimento 6 de 31

7 A resposta para as duas perguntas é a alternativa letra C, ou seja, ele passará a receber R$ 99,00. Se você não conseguiu resolver essas perguntas mentalmente de forma rápida ou achou que a reposta era a alternativa letra A, você deve ler esta aula. No entanto, caso você tenha acertado dentro dos 10 segundos para cada questão, você pode passar para a Aula 01, sobre juros simples. 2- Porcentagem 2.1 Conceito A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem, ou seja, 20% é igual a Há três maneiras de se representar esse número: Forma percentual 20% 1% 0,5% Forma fracionária ,5 100 Forma unitária (ou decimal) 0,2 0,01 0,005 Geralmente, a taxa percentual, que indicaremos por i, é aplicada em relação a alguma quantidade, como, por exemplo, um valor aplicado em um banco ou o número de pessoas em um local. A essa quantidade se dá o nome de principal e a representamos pela letra C. Sendo P o valor da porcentagem que queremos descobrir, temos a relação entre as variáveis: = Exemplo: Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30% são mulheres. Quantas mulheres existem na sala? Solução C = 120 i = 30% Para calcularmos o valor do número de mulheres utilizamos a seguinte fórmula: = Prof. Custódio Nascimento 7 de 31

8 onde P é o valor da porcentagem que queremos descobrir. Temos duas maneiras de realizar o cálculo: 1ª maneira: utilizando a forma centesimal: = : = =36 2ª maneira: utilizando a forma unitária: = 0,30: = 120 0,30=36 Obviamente, as duas maneiras levam ao mesmo resultado, que nos diz que temos 36 mulheres na sala. Você verá que utilizaremos com mais frequência a segunda maneira (forma unitária), e eu recomendo que você se exercite para utilizá-la também. Vamos ver como esse assunto já foi cobrado em prova de concurso: (VUNESP Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente: (A) 28% (B) 25% (C) 22% (D) 20% (E) 18% Primeiramente, vamos determinar a magnitude do aumento da passagem, ou seja, quanto ela aumentou, em R$: =1,40 1,15 =0,25 Depois determinamos o percentual que esse aumento representa do preço inicial da passagem: Logo, a alternativa C é a resposta. = = = 0,25 1,15 0,22=22% Resolveremos novamente essa questão ainda nesta aula, utilizando uma forma de solução mais rápida, após estudarmos o conceito de fator de multiplicação. Prof. Custódio Nascimento 8 de 31

9 2.2 Fator de Multiplicação Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ O fator de multiplicação nos ajuda muito a resolver problemas de matemática financeira e é o item mais importante desta aula. Vou explicar este conceito dando um exemplo. Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um aumento de 20%. Quanto ela receberá após o aumento? Solução Vamos calcular o valor do aumento: = = = 160 Depois, calculamos o salário final (C F) somando o aumento (P) com o salário anterior (C): =+ = = 960 Podemos obter esse mesmo resultado de uma forma mais rápida, multiplicando o salário anterior (C) pelo fator de multiplicação (f) que, por definição, vale: =1+ Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu valor final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de multiplicação f, logo: Assim, = 1+ = 1+= ,2=800 1,2=960 E se a grandeza sofrer uma redução? Considere que a pessoa do exemplo acima tenha seu salário de R$ 800,00 reduzido em 20%. Qual será o valor do seu novo salário após a redução? Neste caso, temos duas maneiras de enxergar o problema. Na primeira maneira, consideramos um fator de multiplicação calculado especificamente para a redução (ou seja, uma nova fórmula), como se segue: =1 Neste caso, colocaríamos o valor absoluto do desconto na fórmula (em outras palavras, colocamos o valor sem considerar um sinal positivo ou negativo), e teríamos que o fator de redução é igual a: =1 = 1 0,2=0,8 A segunda maneira de se enxergar o problema é considerar a mesma fórmula para o fator de aumento ou de redução, e considerarmos um valor positivo ou negativo para a taxa. Em outras palavras, é dizer que um desconto Prof. Custódio Nascimento 9 de 31

10 de 20% equivale a um aumento de (-20%). Com isso, podemos utilizar a seguinte fórmula: =1 Nesta fórmula, inserimos o valor do desconto que foi dado (-20%), como se segue: 110,210,20,8 Como era de se esperar, obtivemos o mesmo valor. Cabe a você definir qual a maneira que você acha mais simples e mais fácil, e adotá-la em seus estudos. Neste curso, utilizaremos a segunda maneira, pois acreditamos que, quanto menor o número de fórmulas a serem decoradas, maios é a chance de um resultado positivo no concurso. Sendo assim, consideraremos positivas as taxas para aumento (ou lucro) e negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo). Voltando ao problema que foi proposto (redução de 20% no salário), já tendo calculado o fator de multiplicação, basta multiplicarmos tal fator pelo salário anterior (C), logo: 800 0,8640 Desta forma, temos os seguintes esquemas: Fator de multiplicação 1+i de aumento de redução i positivo i negativo Valor final da grandeza C F = C. (1 + i) para aumento para redução i positivo i negativo (VUNESP Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente: (A) 28% (B) 25% (C) 22% (D) 20% (E) 18% Prof. Custódio Nascimento 10 de 31

11 Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ Vamos resolver novamente este problema utilizando o conceito de fator de multiplicação que acabamos de aprender. Quando temos um aumento, a fórmula a ser utilizada é a seguinte: Substituindo os valores, temos: = 1 1,401, ,40 1,15 11,22 0,2222% A alternativa C é a resposta correta. 2.3 Aumentos e/ou descontos sucessivos Para finalizar a parte teórica, vamos tratar do embasamento teórico para resolvermos as perguntas do início da aula. Para recordarmos, eis novamente as perguntas: 1ª pergunta Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses? 2ª Pergunta Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses? Taxas sucessivas Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim: Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de aumento e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto. Valor final em taxas sucessivas C F = C. (1 + i 1 ). (1 + i 2 )... aumento redução i positivo i negativo Prof. Custódio Nascimento 11 de 31

12 Solução da 1ª pergunta Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ O aumento de 10% será aplicado com um fator de aumento (1+0,10), enquanto que o desconto de 10% será aplicado com um fator de desconto (1-0,10). Podemos aplicar os fatores sucessivamente, multiplicando o valor inicial do salário (R$ 100,00) por ambos os fatores, utilizando a equação mostrada anteriormente: =100 10,10 10, ,1 0,999 Logo, o salário final será de R$ 99,00 Solução da 2ª pergunta Nessa pergunta, o desconto ocorreu primeiro. Será que isso fará diferença? Vejamos: ,10 10, ,9 1,199 Note que agora multiplicamos o valor 100 primeiro por 0,9 e depois por 1,1, mas, como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto, assim, não faz diferença se ganhamos primeiro um aumento ou um desconto de salário! Aumento (ou desconto) resultante: Em uma situação envolvendo aumentos ou descontos sucessivos, podemos calcular o aumento (ou desconto) resultante (i R), da seguinte forma: Se o resultado de i R for positivo, teremos um aumento. Por outro lado, se o resultado der um número negativo, trata-se de um desconto. Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente: Desta forma, temos o seguinte esquema: Aumento ou redução resultante (1+i R ) = (1 + i 1 ). (1 + i 2 )... aumento redução i positivo i negativo Prof. Custódio Nascimento 12 de 31

13 (FGV / Auditor do Estado Área Controlador Controladoria Geral do Estado-MA / 2014) O prefeito de certo município exerceu seu mandato nos anos de 2009 a Em cada um dos anos de 2010, 2011 e 2012 as despesas de custeio da administração municipal aumentaram em 20% em relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram as de 2009 em, aproximadamente, A) 60%. B) 68%. C) 73%. D) 80%. E) 107%. Pelo enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 2011 e 2012), sendo cada um deles de 20% em relação ao ano anterior. Trata-se, portanto, de um caso de aumentos sucessivos, em que queremos saber qual foi o aumento resultante, ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao ano inicial (2009). Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos: em que i 1 = i 2 = i 3 = 0,2. Logo: 1+ = =1+0,2 1+0,2 1+0,2=1,2 1,2 1,2 Neste ponto, você deve ter percebido que terá que multiplicar os três números decimais, e já que a prova do concurso não permite o uso de calculadora, você terá que fazer isso na mão. Sendo assim, comece a treinar desde já. Se for preciso, volte à Matemática Fundamental, para relembrar como se resolve uma multiplicação (ou divisão) de números com vírgula. Resolvendo a multiplicação, ficamos com: 1+ =1,728 1,73 = 0,73=73% A alternativa C é a resposta correta. Prof. Custódio Nascimento 13 de 31

14 3- Questões Comentadas Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ 01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior Área Economia Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de A) 56%. B) 15%. C) 50%. D) 30%. E) 44%. 1ª solução: utilizando a forma literal Vamos dar nomes às variáveis que indicarão os preços inicial e final praticados nas lojas A e B: "# = preço inicial da loja A $# = preço final da loja A "% = preço inicial da loja B $% = preço final da loja B Sendo assim, vamos montar as equações, de acordo com o enunciado: A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. Logo: $# =1 0,20 "# =0,8 "# (I) A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. "% = & '( $% = 1 0,1 $# = 0,9 $# (II) (III) Queremos encontrar o aumento que a loja B deve realizar, ou seja, o valor de Substituindo I em III, temos: $% "% "% =? $% = 0,9 0,8 "# =0,72 "# (IV) Prof. Custódio Nascimento 14 de 31

15 Substituindo II em IV, temos: Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ Logo, o valor do aumento é: $% = 0,72 2 "% $% "% = 1,44 $% "% "% = $% "% 1=1,44 1=0,44=44% 2ª solução: dando um valor para P, por exemplo, P=100 (mais prática e rápida) Loja A " = =100 $ = 1 0,2 100 =0,8 100 =80 A alternativa E é a resposta correta. Loja B " = 2 = 50 $ =1 0,1 80 =0,9 80=72 Aumento = = = 44% 02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente, A) 3%. B) 10%. C) 15%. D) 1%. E) 5%. Neste caso, o caminho mais rápido para resolvermos a questão é supormos que o preço P é igual a 100. Sendo assim, temos: Loja Q: Preço inicial = 100 Prof. Custódio Nascimento 15 de 31

16 Preço após o reajuste de 10% = 1+0,1 100 =1,1 100=110 Preço após o desconto de 10% = 1 0,1 110=0,9 110 = 99 Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ Loja R: Preço inicial = 100 Preço após o reajuste de 20% = 1+0,2 100 =1,2 100=120 Preço após o desconto de 20% = 1 0,2 120=0,8 120 = 96 Logo, a diferença de preços entre as lojas é de = 3. Tal diferença, em relação ao preço da loja Q, é de % É importante ressaltar que, neste caso, você não precisa fazer a conta acima ( ), pois 99 é muito próximo de 100 e a questão pede uma resposta >> aproximada. A alternativa A é a resposta correta. 03. (FCC / Analista Legislativo Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente A) 15%. B) 12%. C) 19%. D) 13%. E) 14%. Mostraremos duas formas de solução: 1ª Solução: estipulando valores Considere que o preço inicial vale 100. Após o primeiro aumento de 7% o preço passa a ser igual a ,07 =100 1,07=107. O aumento máximo permitido é de 22% (sobre o preço inicial), logo o preço máximo final é igual a ,22=100 1,22=122 Prof. Custódio Nascimento 16 de 31

17 Logo, o segundo aumento deve levar o preço de 107 para 122, logo deve ser: = = = = 1,14 =0,14=14% Observe o esquema gráfico abaixo para facilitar o seu entendimento: Aumento de 7% Aumento de i% Preço inicial 100 Preço final Aumento de 22% 2ª Solução: utilizando a fórmula dos aumentos sucessivos Lembrando que se tivermos variações sucessivas, basta multiplicarmos os fatores de multiplicação para obtermos a variação resultante, assim: 1+ = ,22=1+0, = 1,22 1,07 =1,14 =0,14=14% Esta última situação é mais simples, caso você tenha facilidade com fórmulas matemáticas. A alternativa E é a resposta correta. 04. (FCC / Analista Legislativo Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de: A) mais 15%. B) menos 10%. C) menos 20%. D) mais 25%. E) mais 20%. A questão pede o percentual de variação da porcentagem de aumento dos preços. Primeiramente, vamos decifrar essa solicitação: Etapa 1: O preço aumentou inicialmente de R$ 15,00 para R$ 18,75 e sofreu um aumento percentual i 1 que calcularemos daqui a pouco. Prof. Custódio Nascimento 17 de 31

18 Etapa 2: Depois, ele aumentou de R$ 18,75 para R$ 22,50, sofrendo um aumento percentual i 2 que calcularemos daqui a pouco. Etapa 3: o percentual i 1 mudou para i 2, ou seja, sofreu uma variação percentual i 3. Esse valor i 3 que é a resposta do problema! Agora, vamos aplicar a fórmula do aumento percentual para cada etapa e encontraremos os valores de i 1, i 2 e, finalmente, i 3. Etapa 1: = 1+ 18,75= = 18,75 15 =1,25 =0,25 Etapa 2: = 1+ 22,5=18, = 22,5 18,75 = 1,2 = 0,2 Etapa 3: = 1+ 0,2=0, = 0,2 0,25 = 0,8 = 0,2= 20% Ou seja, a taxa foi de menos 20%. A alternativa C é a resposta correta. 05. (FCC / Analista Judiciário Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo, A) 5. B) 5. C) 19. D) 500. E) 600. A questão quer saber o valor percentual máximo de variação do preço. Logo, temos que perceber que o máximo preço errado da etiqueta seria R$ 960. Assim, basta calcularmos a diferença percentual entre R$ 160 e R$ 960. = = = 960 =6 =5=500% 160 A alternativa D é a resposta correta. Prof. Custódio Nascimento 18 de 31

19 06. (FCC / Analista Judiciário Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de A) 10%. B) 12%. C) 15%. D) 18%. E) 21%. Vamos utilizar o diagrama a seguir, para facilitar a compreensão do problema: Lucro de x% Lucro de 40% Apto X Preço final Apto Y Lucro de 61% Este é um caso em que atribuir um valor inicial ao apartamento X não facilita a resolução da questão. Neste caso, a maneira mais simples de resolver a questão é com o uso da fórmula dos aumentos sucessivos: 1+ =1+ 1+ A questão nos forneceu o valor do lucro da segunda venda ( =40%), bem como do lucro resultante ( =61%), e pede o valor do lucro da primeira venda (i 1). 1+0,61=1+ 1+0,4 1,61=1+ 1,4 1+ = 1,61 1,4 =1,15 = 0,15=15% A alternativa C é a resposta correta. 07. (FCC / Agente de Defensoria Pública Área Administrador de Banco de Dados Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor Prof. Custódio Nascimento 19 de 31

20 deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a A) R$ 620,00. B) R$ 580,00. C) R$ 600,00. D) R$ 590,00. E) R$ 610,00. Primeiramente, precisamos decifrar os dados da questão. O comerciante quer estabelecer um preço de venda (preço de etiqueta) tal que ele possa anunciar um desconto de 30%, gerando um preço intermediário, e ainda assim, garantir lucro de 20% em relação ao valor da compra. Logo, esse preço intermediário dá 20% de lucro sobre o preço inicial. Sendo assim, podemos usar o seguinte diagrama para nos auxiliar: Lucro de 20% Desconto de 30% Preço de compra 350 Preço intermediário (P M) Preço de venda P V Vamos calcular o preço intermediário para, a partir dele, chegar ao preço de venda: I. O preço intermediário (P M) dá um lucro de 20% sobre o preço inicial (350): = 1+? = ,2? = 350 1,2=420 II. Um desconto de 30% (i=-0,3) sobre o preço de venda (P V) nos leva ao preço intermediário (420): = = 420 0,7 = 600 A alternativa C é a resposta correta. 08. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda - RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi: A) inferior a 2,0%. B) igual a 2,0%. C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos. Prof. Custódio Nascimento 20 de 31

21 D) igual a 3,0%. Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ E) superior a 3,0%, Primeiramente, vale lembrar que PIB per capita é a razão entre o valor do PIB e o número de habitantes (N) de uma população, logo: PIB PIB per capita = N Dito isto, vamos mostrar duas soluções possíveis para a questão: 1ª Solução usando fator de multiplicação Lembre-se de que depois de um aumento, o valor final da grandeza é obtido pelo produto do seu valor inicial pelo fator de multiplicação, ou seja, = 1+ O PIB aumentou 6,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,06 = 1,06 e o novo valor do PIB vale PIB F = 1,06.PIB. A população aumentou 2,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,02 = 1,02 e o novo valor do nº de habitante vale N F = 1,02.N. O novo PIB per capita é obtido pela razão dos novos valores de PIB e nº de habitantes, assim: AB CDE FGCHG = AB I = 1,06 AB 1,02 I = 1,06 1,02 AB I =1,039 AB CDE FGCHG "J"K"#L A conta nos mostra que o fator de multiplicação do PIB é igual a 1,039, logo: =1+ =1,039 = 0,039=3,9% A alternativa E é a resposta correta. 2ª Solução utilizando valores Considerando que, no início, tenhamos um PIB de 100 e o nº de habitantes também igual a 100. Desta maneira, o PIB per capita inicial vale =1. O PIB aumentou 6,0%, logo seu valor final vale 1,06. A população aumentou 2,0%, logo seu valor final vale 1,02. O novo valor do PIB per capita vale: AB CDE FGCHG = 1,06 1,02 = 1,039 Note que O PIB per capita aumentou de 1 para 1,039, ou seja, aumentou 3,9%. A alternativa E é a resposta correta. Prof. Custódio Nascimento 21 de 31

22 09. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle Controladoria Geral da União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado? A) 8% B) 8,8% C) 10,8% D) 18% E) 18,8% Esta questão pode ser facilmente resolvida com o uso da fórmula do aumento resultante de dois aumentos sucessivos, conforme vimos na aula: Pelos dados da questão, i 1=10%=0,10 i 2=8%=0,08 Logo: 1+ = =1+0,1 1+0,08 =1,1 1,08=1,188 = 0,188 =18,8% A alternativa E é a resposta correta. 10. (FGV / Auditor da Receita do Estado Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de: A) 10% B) 12% C) 14% D) 16% E) 18% Esta questão também pode ser resolvida com o uso da fórmula das variações sucessivas: Pelos dados da questão, 1+ =1+ 1+ Prof. Custódio Nascimento 22 de 31

23 i 1=20%=0,20 Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ i 2=-30%=-0,3. Atentar que, como se trata de um desconto, o percentual entra na fórmula como um valor negativo. Logo: 1+ =1+0,2 1 0,3=1,2 0,7=0,84 = 0,16= 16% Isso significa que o desconto real foi de 16%. A alternativa D é a resposta correta. 11. (FGV / Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de: A) 60% B) 56,6% C) 53,4% D) 51,2% E) 48,8% Foram três desvalorizações sucessivas de mesma taxa de 20%, portanto podemos utilizar a seguinte fórmula: Neste caso, i 1= i 2=i 3=-20%=-0,2 1+ = =1 0,2 1 0,2 1 0,2 =0,8 0,8 0,8=0,512 = 0,488 = 48,8% A alternativa E é a resposta correta. 12. (FGV / Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em: A) 60% B) 66% C) 70% D) 75% Prof. Custódio Nascimento 23 de 31

24 E) 100% Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ A questão nos forneceu a taxa resultante, que vale I = 100% - pois o investimento dobrou de valor e nos forneceu a primeira taxa de aumento, de 25%, pedindo então a segunda taxa de aumento, logo: 1+ = =1+0, =1, = 2 1,25 =1,6 =0,6=60% A alternativa A é a resposta correta. 13. (FCC / Escriturário Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de: A) 20% B) 18,4% C) 18% D) 15,2% E) 15% A questão nos fornece três taxas sucessivas, a saber: Valorização de 20% em 2008 => i 1 = 20% = 0,2 Desvalorização de 20% em 2009 => i 2 = 20% = 0,2 Valorização de 20% em 2010 => i 3 = 20% = 0,2 A taxa percentual resultante será: 1+ = =1+0,2 1 0,2 1+0,2 =1,2 0,8 1,2=1,152 =0,152 =15,2% A alternativa D é a resposta correta. 14. (CETRO / Técnico em Regulação ANVISA / 2013) Uma categoria profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o Prof. Custódio Nascimento 24 de 31

25 percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de A) 2,4% B) 3,6% C) 4,5% D) 5,4% E) 6,0% O aumento de i = 80% foi sobre o valor C = 3%, logo: = 1+ =3 1+0,8=3 1,8=5,4 = 5,4% A alternativa D é a resposta correta. Prof. Custódio Nascimento 25 de 31

26 4- Questões apresentadas na aula Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ 01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior Área Economia Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de A) 56%. B) 15%. C) 50%. D) 30%. E) 44%. 02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente, A) 3%. B) 10%. C) 15%. D) 1%. E) 5%. 03. (FCC / Analista Legislativo Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente A) 15%. B) 12%. Prof. Custódio Nascimento 26 de 31

27 C) 19%. Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ D) 13%. E) 14%. 04. (FCC / Analista Legislativo Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de: A) mais 15%. B) menos 10%. C) menos 20%. D) mais 25%. E) mais 20%. 05. (FCC / Analista Judiciário Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo, A) 5. B) 5. C) 19. D) 500. E) (FCC / Analista Judiciário Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de A) 10%. B) 12%. Prof. Custódio Nascimento 27 de 31

28 C) 15%. Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ D) 18%. E) 21%. 07. (FCC / Agente de Defensoria Pública Área Administrador de Banco de Dados Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a A) R$ 620,00. B) R$ 580,00. C) R$ 600,00. D) R$ 590,00. E) R$ 610, (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual-RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi: A) inferior a 2,0%. B) igual a 2,0%. C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos. D) igual a 3,0%. E) superior a 3,0%. 09. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle Controladoria Geral da União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado? A) 8% B) 8,8% C) 10,8% D) 18% E) 18,8% Prof. Custódio Nascimento 28 de 31

29 10. (FGV / Auditor da Receita do Estado AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de: A) 10% B) 12% C) 14% D) 16% E) 18% 11. (FGV / Fiscal da Receita Estadual AP / 2010) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de: A) 60% B) 56,6% C) 53,4% D) 51,2% E) 48,8% 12. (FGV / Fiscal da Receita Estadual AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em: A) 60% B) 66% C) 70% D) 75% E) 100% 13. (FCC / Escriturário Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu Prof. Custódio Nascimento 29 de 31

30 valor em De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de: A) 20% B) 18,4% C) 18% D) 15,2% E) 15% 14. (CETRO / Técnico em Regulação ANVISA / 2013) Uma categoria profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de A) 2,4% B) 3,6% C) 4,5% D) 5,4% E) 6,0% Prof. Custódio Nascimento 30 de 31

31 5- Gabarito Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ 1. E 6. C 11. E 2. A 7. C 12. A 3. E 8. E 13. D 4. C 9. E 14. D 5. D 10. D Prof. Custódio Nascimento 31 de 31

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