I.MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 I.MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. CONCEITOS BÁSICOS Aplicações: no atual sistema econômico, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. 2. CAPITAL O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. 3. JUROS Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 1 menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. 4. QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 5. TAXA DE JUROS A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 6. JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

2 Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 2 J = P. i. n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) M = P. ( 1 + ( i. n ) ) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P. ( 1 + (i.n) ) M = [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias / 6 = logo, 4m15d = x 9 = j = 1200 x = Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = , = R$5000, Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012. 2,5 = P. 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$ , Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses 7. JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i)

3 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M = P. (1 + i) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M =? Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos: M = 6000.(1+0,035) 12 = (1,035) 12 Fazendo x = 1, e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1, => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = ,509 = Portanto o montante é R$9.054,00 8. RELAÇÃO ENTRE JUROS E PROGRESSÕES No regime de juros simples: M( n ) = P + n r P Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 3 No regime de juros compostos: M( n ) = P. ( 1 + r ) n Portanto: num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica 9. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas i 1 e i 2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i a. O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i m. O montante M ao final do período de 12 meses será igual a M = P(1 + i m) 12. Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M. Portanto, P(1 + i a) = P(1 + i m) 12 Daí concluímos que 1 + i a = (1 + i m) 12 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida. Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i a = (1 + i s) i a = 1,08 2 i a = 0,1664 = 16,64% a.a. 2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

4 1 + i a = (1 + i m) i a = (1,005) 12 i a = 0,0617 = 6,17% a.a. Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : TAXAS NOMINAIS A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 340% ao semestre com capitalização mensal % ao ano com capitalização mensal % ao ano com capitalização trimestral. Exemplo: Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá % a.a. como taxa efetiva: 15/12 = 1,25 1,25 12 = 1, TAXAS EFETIVAS A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 140% ao mês com capitalização mensal % ao semestre com capitalização semestral % ao ano com capitalização anual. Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. 12. FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo: Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. 13. VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO Na fórmula M = P. (1 + i) n, o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). Então essa fórmula pode ser escrita como FV = PV (1 + i) n Isolando PV na fórmula temos: PV = FV / (1+i)n Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV. Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente. Exemplo: Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês? Solução: FV = (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36 1. PORCENTAGEM A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices

5 inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros entre outros. No campo da Estatística possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e organizacionais. Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100), quando escritos de maneira formal devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, eles serão demonstrados através das três formas possíveis: Exemplo 1 Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 5 Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista? Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente. 12% = 12/100 = 0,12 Utilizando razão centesimal 12/100 x 900 = 12x900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais = 792 reais Utilizando número decimal 0,12 x 900 = 108 reais = 792 reais A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois métodos chegam ao resultado de forma satisfatória e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto o preço é de R$ 792,00. Exemplo 2 O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 1.200,00. A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir: 8% = 8/100 = 0,08 Utilizando razão centesimal 8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais

6 Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 6 Utilizando número decimal 0,08 x 1200 = 96 reais O depósito efetuado será de R$ 96,00. Exemplo 3 Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta. é uma proporção, pois 9:12 = 3:4 As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação denominada multiplicação cruzada. Podemos utilizar uma regra de três simples. Alunos Porcentagem x % 52*x = 13*100 52x = 1300 x= 1300/52 x = 25% 9 x 4 = 12 x 3 36 = 36 Multiplicação cruzada Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas. 2. PROPORÇÃO A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b 0 e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de proporções a seguir: é uma proporção, pois 10:20 = 3:6 4 x 15 = 6 x = 60 As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problemas envolvendo informações comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com base nos três valores estabelecidos pelo problema. Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância do estudo das proporções.

7 Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 7 Exemplo 1 Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha? Estabelecemos a seguinte relação: x Com 25 laranjas podemos fazer 16,25 litros de suco. Números Proporcionais Podem ser feitos 150 pães. Exemplo 2 Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de suco serão obtidos com 25 laranjas? x Os números proporcionais são divididos em diretamente e inversamente proporcionais, e são utilizados em situações envolvendo regra de sociedade, abordando as divisões de lucros, prejuízos, sociedade em investimentos entre outras situações de repartição de capitais. Números diretamente proporcionais Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais quando a igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, concluímos que:. O resultado das divisões é denominado coeficiente de proporcionalidade. E no caso das proporções, também é válida a seguinte propriedade:

8 Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 8. Exemplo 1 Vamos verificar se os números 2, 5, 8 e 10 são diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30 respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as razões. Os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80. Números inversamente proporcionais Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são inversamente proporcionais quando um número está para o inverso do outro, prevalecendo a igualdade entre as respectivas razões. Dessa forma, concluímos que: Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3. Exemplo 2 Exemplo 3 Verifique se os números 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos números 90, 45, 30, respectivamente. Vamos determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 são diretamente proporcionais aos números 30, x, y. Para desenvolver as frações acima, devemos conservar o numerador e multiplicar pelo inverso do denominador.

9 Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 9 Verificada a igualdade, dizemos que os números são inversamente proporcionais. Exemplo 4 Vamos verificar se os números 2, 4, 8 são inversamente proporcionais aos números 20, 10, 5. Para que eles sejam inversamente proporcionais, devemos aplicar a regra do exemplo 3. Os números são inversamente proporcionais, pois possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.

10 Exercícios: Um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de? Esta é uma dúvida que foi enviada e é interessante reparar como em apenas duas linhas vamos ter a oportunidade de juntos revisar diversos conceitos da Matemática Financeira. Vejamos... Primeiramente o aluno deve conhecer bem os conceitos de taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva. Vamos relembrar? Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano. Se a capitalização é semestral o capital rende juros ao final do semestre. Se a capitalização é mensal o capital rende juros ao final do mês. Agora a dúvida aparece, e se a taxa se referir a um período de tempo e a capitalização se referir a outro? Por exemplo: Taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente. Percebam que ao final do primeiro mês, não se pode considerar que o capital inicial rendeu 12%, uma vez que este rendimento só será possível ao final do ano. Neste caso, tem-se uma taxa de juros que não é válida, só existe pelo nome, é uma taxa meramente "nominal". E como resolver este problema? Para resolver o problema temos que calcular uma taxa que se refira ao prazo de capitalização (mensal). Neste caso, deve-se calcular a taxa mensal, proporcional à taxa anual de 12%. CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura. b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura. Solução: A porcentagem é apenas uma maneira mais conveniente de representar uma razão ou fração com denominador 100. Como a mistura tem = 50 litros, então: a) A razão entre o volume de álcool e o total é 30/50 = 60/100 = 0,6 = 60% Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 10 b) A razão entre o volume de gasolina e o total é: 20/50 = 40/100 = 0,4 = 40% Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas defeituosas. Solução: A razão entre o número de lâmpadas com defeito e o total é : 13/50 = 26/100 = 0,26 = 26%. Dizemos, então, que a taxa percentual de lâmpadas defeituosas é 26%. OBS: Isto significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com defeito. Escolhendo ao acaso uma lâmpada deste lote a probabilidade (percentual de chances) da lâmpada sorteada ser defeituosa é 26%. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados. Solução: Temos que de cada 100 candidatos, 15 foram reprovados, ou seja, 15% = 15/100 = 3/20 = 0,15. Seja N o número de reprovados em um total de 380 candidatos. Assim, podemos ter a proporção: N/380 = 15/100 = 0,15. Logo, o número de reprovados N = 380 0,15 = 57. (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 20% da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo. Solução: A mata virgem corresponde a 100% - 20% = 80% da área total da floresta. Assim, o incêndio destruiu 30% de 80% = (30/100) (80/100) = 0,3 0,8 = 0,24 = 24% da floresta. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? Solução: Temos que 20% de 32 = 32 20/100 = 32 0,2 = 6,40. Logo o novo preço seria ,40 = R$ 38,40. Em outras palavras, como ,2 32 = 32 (1 + 0,2), então podemos fazer simplesmente: 32 1,2 = R$ 38,40. Note que calcular um valor com aumento de 20% é o mesmo que calcular 120% do valor, ou seja, multiplicar por 1,2. Logo: aumentar 17% é o mesmo que

11 multiplicar por 1,17; aumentar 1,5% é o mesmo que multiplicar por 1,015; aumentar 55% é o mesmo que multiplicar por 1,55; e assim por diante. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto passaria a custar? Solução: Temos que 20% de 32 = 32 0,2 = 6,40. Logo a bolsa passaria a custar: 32-6,40 = R$25,60. Este problema pode ser resolvido de outra maneira. Como 32-0,2 32 = 32 (1-0,2), então podemos simplesmente fazer: 32 0,8 = R$ 25,60. Observe que calcular um valor com desconto de 20% é o mesmo que calcular 80% do valor, isto é, multiplicar por 0,8. Logo: diminuir 17% é o mesmo que multiplicar por 0,83; descontar 55% é o mesmo que multiplicar por 0,45; descontar 60% é o mesmo que multiplicar por 0,4; e assim sucessivamente. (UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo: Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias por: (A) 0,05 (B) 0,5 (C) 0,95 (D) 1,05 Solução: Calcular um desconto de 5% é o mesmo que calcular 95%. Se P é o preço total, então o preço com desconto de 5% é P - 0,05P = 0,95P. Logo, para calcular o valor com desconto de 5%, basta fazer P 0,95. Assim, a alternativa correta é a opção (C). Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento. Solução: Chamando de i a taxa percentual do aumento, segue que i = 30. Então, i = (30-24)/ 24 = 6/24 = 0,25 = 25%. Em outras palavras, o aumento foi de = 6, sobre o valor inicial de 24, ou seja: 6/24 = 1/4 = 0,25 = 25%. Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 11 Se um artigo aumentou em 25%, de quantos por cento ele deve diminuir para voltar ao preço antigo? Solução: Seja P o preço antigo e i a taxa percentual de desconto. Assim, P 1,25 (1 - i) = P. Então, 1,25 (1 - i) = 1. Daí vem que: 1 - i = 1 /1,25 = 100/125 = 4/5 = 0,8. Logo, a taxa i = 1-0,8 = 0,2 = 20%. Em outras palavras, se o preço era 100, o preço com aumento é 125. Para retornar ao preço antigo, ele deve sofrer um desconto de 25 em relação a 125, isto é, 25/125 = 0,2 = 20%. Sempre podemos tomar o preço igual a 100; basta tomar como unidade de preço um centésimo do preço do produto.. Um produto teve três aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o aumento final? Solução: Seja P o preço. Temos que: P 1,08 1,05 1,1 = P 1,2474. Assim, o aumento final foi de 24,74%. De outro modo, podemos considerar o preço como 100 reais. Então, após o aumento de 8% o preço passa valer 108 reais, Em seguida o preço de 108 reais aumenta para 113,40 (aumento de 5%). Finalmente o valor de 113,40 aumenta 10% passando a valer 124,74 reais. O que corresponde a um aumento final de 24,74 sobre 100, ou seja, 24,74 / 100 = 24,74%. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$100,00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente? Solução: Preço final = 100 1,25 1,20 = 100 1,5 = 150. Então o preço final é R$150,00. Observe que a taxa total de aumento ficou sendo de 50%. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%. Solução: Preço final = 100 0,7 0,8 = 100 0,56 = 56. Logo o preço final é R$56,00. Observe que a taxa total de desconto ficou sendo de 44%.

12 Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$600,00, comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5% a. m. (ao mês). Calcule o valor que o comerciante deverá pagar (montante). Solução: No regime de juros simples há pagamento de juros constantes por períodos iguais. O montante (capital + juro) cresce a cada período em Progressão Aritmética. Daí, vem que, a fórmula para o cálculo do montante é: M = C + Cin, onde C é o capital, i é a taxa % e n é o período de tempo. Assim, M = ,05 3 = = 690,00. À taxa de 30% a. a. (ao ano), certo capital, em 8 meses, produziu, a juros simples, um montante de R$1.500,00. Qual foi o capital aplicado? Solução: Se a taxa é anual, o tempo tem que está expresso em anos, se a taxa é mensal, o tempo tem que está expresso em meses e assim por diante. Caso contrário, devemos fazer as devidas conversões. Como 12 meses = 1 ano, segue que 8 meses = n anos na proporção: 1/n = 12/8. Então, o tempo n = 8/12 do ano e a taxa (ao ano) i = 30% = 0,3. Então: 1500 = C + C 0,3 8/12. Daí, vem que: 1500 = C + 0,2C = 1,2C. Logo: C = 1500 / 1,2 = / 12 = R$1.250,00. Oliveira aplicou R$400,00 num investimento que rende 20% a. m., a juros compostos. Calcule o montante ao final de 3 meses. Solução: No regime de juros compostos (capitalização acumulada) o montante cresce a cada período em Progressão Geométrica. Ao final de cada período de capitalização, o montante se torna capital para o período seguinte e assim por diante ("juros sobre juros"). Assim, a fórmula para o cálculo do Montante é: M = C (1 + i ) n, onde C é o capital, i é a taxa % e n é o período de tempo. Logo, M = 400 (1 + 0,2) 3 = 400 (1,2) 3 = 400 (1,728) = R$ 691,20. Maria dispõe de R$800,00 para investimento. Se a taxa de rendimento for de 20% a. m. e o prazo for de 4 meses, calcule o montante obtido em regime de: a) juros simples. b) juros compostos. Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 12 Solução: a) No regime de juros simples temos: M = ,2 4 = = R$1.440,00. b) No regime de juros compostos temos: M = 800 (1 + 0,2) 4 = 800 (1,2) 4 = 800 (2,0736) = R$1.658,88 OBS: O regime de juros mais praticado pelo mercado é o de juros compostos. Silva aplicou R$ 600,00 numa caderneta de poupança que rende 10% ao mês. Como os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, calcule o montante ao final de 4 meses? Solução: M = 600 (1 + 0,1) 4 = 600 (1,1) 4 = 600 1,4641 = R$ 878,46. Duas lojas vendem determinado tipo de peça de reposição para automóveis pelo mesmo preço e estão fazendo as seguintes promoções: LOJA A: Compre 4 peças e leve 5. LOJA B: Compre 4 peças e pague 3. Qual delas oferece o maior desconto? Solução: Podemos considerar o preço igual a 100 reais. Na loja A levamos 500, mas pagamos apenas 400, então temos um desconto de = 100, sobre o valor 500, ou seja, a taxa de desconto é: 100/500 = 1/5 = 0,20 = 20%. Na loja B levamos 400, mas pagamos apenas 300, logo temos um desconto de = 100, sobre 400, ou seja, a taxa de desconto é: 100/400 = 1/4 = 0,25 = 25%. Logo, a loja B oferece o maior desconto. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o valor do preço original P. Solução: Temos que P 1,8 0,8 = 72. Então, 1,44P = 72. Assim, o preço P = 72 / 1,44 = 7200 / 144 = R$ 50,00. Depois de um aumento de 20%, uma bolsa passou a custar R$ 38,40. Qual era o preço da bolsa antes do aumento? Solução: Seja P o preço da bolsa antes do aumento. Então, P 1,2 = 39,40. Assim, P = 38,40 / 1,2 = 3840 / 120 = 32. Logo, o preço era R$ 32,00.

13 A taxa de inflação de um certo país é de 40% a. a.. Calcule a taxa acumulada após 2 anos. Solução: A taxa de inflação é a taxa média de elevação dos preços dos serviços. Seja P o preço. Após dois anos temos: P 1,4 1,4 = P (1,4) 2 = P 1,96 = P (1 + 0,96). Logo a taxa acumulada é de 96%. De outro modo, se o preço era 100 reais, ao final do primeiro ano o preço passaria a ser 140 reais (aumento de 40%). Ao final do segundo ano teríamos um aumento de 40% sobre o preço de 140 reais, isto é, teríamos 140 1,4 = 196 reais. Logo, após dois anos teríamos um aumento de 96 reais sobre um preço de 100, ou seja, 96/100 = 0,96 = 96%. "Prefeito autoriza o aumento da passagem de ônibus, que custava R$ 1,90, para R$ 2,00", diz a notícia. Calcule a taxa percentual do aumento. Solução: O preço aumentou 2,00-1,90 = 0,10 sobre o valor de 1,90. Assim, a taxa percentual do aumento foi 0,10 / 1,90 = 1 / 19 = 0, = 5,26% aproximadamente. (UFAM) Se a área da base de um prisma diminui 20% e a altura aumenta 30%, o seu volume: (A) aumenta 8%. (B) aumenta 4%. (C) aumenta 104%. (D) diminui 8%. (E) aumenta 4%. Solução: A opção (E) é a certa. De fato, na geometria espacial o volume de um prisma é o produto da área da base A b pela altura h, isto é, V = A b h. Diminuindo a área da base em 20% e aumentando a altura em 30%, temos um novo volume V' = 0,8 A b 1,3 h = 1,04 A b h. Logo, o volume V' é 104% do volume V, isto é, o volume V' é 4% maior que o volume V. Em uma época na qual a inflação era de 15% ao mês, uma rede de lojas oferecia duas opções de pagamento: I) À vista, com 30% de desconto. II) A prazo, em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da compra. Qual a taxa dos juros embutidos nas vendas a prazo? Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 13 Solução: A Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento (valor) do dinheiro no tempo (valor atual, valor futuro etc.). O regime de juros mais usado pelo mercado é o de juros compostos. Neste, para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i) n. Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i) n, onde, i é a taxa e n é o periodo de tempo. Assim, devemos transferir todos os valores para a época do primeiro pagamento. Considerando o preço igual a 100 segue que o valor à vista (valor atual) é 70 (desconto de 30%) e o valor a prazo é A primeira prestação de 50, que é paga no ato da compra, vale 50. Já, a segunda prestação de 50 que será paga no mês seguinte, tem valor atual igual a 50 / (1 + i), onde i é a taxa de juros embutida. Então, fazendo a equivalência das duas opções de pagamento, temos: 70 = / (1 + i). Segue que, 70(1 + i) = 50(1 + i) Daí, vem que, 20(1 + i) = 50. Logo, (1 + i) = 50 / 20 = 2,5. Assim, i = 2,5-1 = 1,5 = 150/100 = 150%. Concluímos que a loja cobrava a exorbitante taxa de juros de 150%. Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 688,85. Qual era o preço do televisor antes do aumento? Solução: Seja P o preço antes do aumento de 15%. Temos que P 1,15 = 688,85. Assim, o preço P = 688,65 / 1,15 = / 115 = R$ 599,00. O valor à vista de um produto é na prática a soma de todos os valores presentes em suas parcelas, descontado pela taxa de juros do financiamento. Obtenha o valor à vista de um produto vendido em 4 parcelas de R$50,00, com juros compostos de 7% a. m.. a) Sendo a primeira dada como entrada ( ). b) Sendo a primeira dada daqui a um mês ( ) Solução: a) Como a primeira prestação é paga à vista, a primeira prestação é o valor presente (valor atual). A segunda parcela, que daqui a um mês valerá 50, tem valor atual de 50 / (1,07). A terceira parcela, que daqui a dois meses valerá 50, tem valor atual igual a 50 / (1,07) 2. A quarta parcela, que daqui a três meses valerá 50, tem valor atual de 50 / (1,07) 3. Assim, o valor à vista é: / (1,07) + 50 / (1,07) / (1,07) 3 = , , ,81 = R$181,21 b) Como a primeira prestação é paga daqui a um mês, o valor à vista é:

14 50 / (1,07) + 50 / (1,07) / (1,07) / (1,07) 4 = 46, , , ,14 = R$169,35 II.PROBABILIDADE A teoria da probabilidade estuda a "chances" de um determinado resultado acontecer. O exemplo torna isso mais claro: Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho de 52 cartas e obter: a) uma carta de paus? b) depois de retirar esta carta, qual a probabilidade de se retirar um ás de copas? Veja a fórmula: em que p é o resultado da probabilidade de que algo aconteça, n a é o número de casos favoráveis, ou de elementos de uma amostra que você procura (no nosso caso, as cartas de paus), e n é o número de elementos totais, de todos os casos prováveis (no nosso caso, o total de cartas do baralho). Ao exemplo: a) para se retirar uma carta de paus: Em um baralho de 52 cartas existem 13 cartas de paus, logo: Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 14 A chance de você ter uma carta de paus, se pegar aleatoriamente qualquer carta do baralho, é de 1 entre 4, ou seja 25%. b) Continuando o exemplo: você já retirou uma carta, e agora quer saber qual a chance de a próxima carta que você retirar ser um ás de copas. Agora, então, o seu universo de total de cartas diminuiu. Você não tem mais 52 cartas, mas tem 51. No numerador da fração, você colocará o número 1, já que só há uma carta de ás de paus no baralho - apenas um "evento favorável", ou elemento que você procura. Isso não significa que, como no exemplo, a cada 4 cartas tiradas uma seja de paus (lembre-se de devolver a carta após cada retirada). Isso significa que se você tirar muitas vezes a tendência é de que de 25% das cartas retiradas sejam de paus. Isto é, a tendência ou chances de acontecer é de 25%. Chances nulas e todas as chances As probabilidades se encontram entre 0 (nenhuma chance de algo acontecer), e 1 (com certeza acontecerá). No caso do baralho, por exemplo, em que você procurava uma carta de paus, sua chance era de 0,25. Em outros casos de probabilidade, sua chance pode ser 0 ou 1. Qual é a probabilidade de se ganhar na mega-sena se você não jogar? Zero. E qual a probabilidade de você ganhar um torneio de chute a gol da marca do pênalti, com 10 tentativas sem goleiro? 1. Exercícios

15 1 Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Solução: Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 k = 1/4. Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 2 Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Resposta: 5/6 = 83,33% 3 Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. Solução: Sejam p(a), p(b) e p(c), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos: p(a) = p(b) = 2.p(C). Seja p(a) = k. Então, p(b) = k e p(c) = k/2. Temos: p(a) + p(b) + p(c) = 1. Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo). Assim, substituindo, vem: k + k + k/2 = 1 k = 2/5. Portanto, p(a) = k = 2/5, p(b) = 2/5 e p(c) = 2/10 = 1/5. A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5. 4 Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA. Resposta: 1/4. 5 Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. Solução: Pelo enunciado, podemos escrever: Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 15 p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Então, substituindo, vem: k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 k = 2/9. Assim, temos: p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9. 6 Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar. Resposta: 1/3 7 Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. Solução: Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/ Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5. Resposta: 1/5. 9 Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? Solução: Existem C 10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C 3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a: P = C 3,2 / C 10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15. Comentários sobre o cálculo de C n,p. Como já sabemos da Análise Combinatória, Esta é a forma tradicional de se calcular C n,p.

16 Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: C n,p possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator. Exemplos: C 10,4 = ( )/( ) = 210. C 8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56. C 16,3 = ( )/(3.2.1) = 560. C 12,4 = ( )/( ) = 495. C 10,5 = ( )/( ) = Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis. Resposta: 7/ O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: RESOLUÇÃO: 1/5 02. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes. RESOLUÇÃO: Os eventos "número dois" e "número par" não são independentes. 03. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : 16 RESOLUÇÃO: Os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. 04. (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% RESPOSTA: B 05. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3 mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26% RESPOSTA: D

17 06. (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? RESOLUÇÃO: 1,445% 07. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes? RESOLUÇÃO: 15,36% 08. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: RESOLUÇÃO: (1) F (0,99%) (2) V (0,119%) (3) V (55%) Assunto: Mat.Financeira e Probabilidades 5º período Pág : (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%? Obs: Não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados. RESOLUÇÃO: a) 1 - (0,999)30 b) o menor número inteiro n tal que n > log 0,9990,997. a) 3/5 b) 2;5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 RESPOSTA: A 09. Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: (1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%. (2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%. (3) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%.