Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV

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1 Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV Simulado 02 de Matemática Financeira Questões FGV 01. Determine o valor atual de um título descontado (desconto simples por fora) dois meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto 10% e o valor de face igual a R$ 2.000,00. a) R$ 1.580,00 d) R$ 1.680,00 b) R$ 1.600,00 e) R$ 1.720,00 c) R$ 1.640,00 Sol.: Questão bem simples (até no regime!), e que realmente não exige nenhum conhecimento extraordinário. São os seguintes os dados da questão: A=? n=2 meses (tempo de antecipação) = 1 bimestre i = 10% ao bimestre N=2.000,00 Desconto Simples por Fora. Três observações: 1ª) O enunciado não disse qual a unidade da taxa, falando apenas em 10%. Fica, pois, subentendido que sua unidade será a mesma do tempo envolvido na operação (2 meses). Logo, taxa bimestral. 2ª) Transformamos 2 meses em 1 bimestre para cumprir a exigência universal da matemática financeira, segundo a qual taxa e tempo precisam estar na mesma unidade! 3ª) Prestem atenção aos sinônimos! Valor de face é o mesmo que valor nominal. É aquele que vem gravado na face do título! Outros sinônimos que não apareceram no enunciado, mas bem que poderiam: Valor Líquido = Valor Descontado = valor atual. Também era possível o enunciado ter falado em Desconto Comercial, em vez de Desconto por Fora. Sinônimos! Pois bem! Agora que sabemos tudo sobre a questão, precisamos resolvê-la. O esquema ilustrativo que resolve operações de desconto simples por fora é o seguinte: N A i.n Df i.n Trabalhando com Atual (A) e Nominal (N), teremos: A N A 2000 = = A = 20x80 A=1.600,00 Resposta! 100 i. n x Repita com fé: Eu Vou Passar

2 02. Determine a taxa efetiva anual correspondente a 30% ao ano com capitalização semestral. a) 60% d) 67% b) 63% e) 69% c) 65% Sol.: Eu diria que esta é a questão recordista de presença em provas de concurso! Sem medo de errar! Trata sobre os conceitos de taxa no regime composto! A que foi fornecida pelo enunciado (30% ao ano com capitalização semestral) é uma taxa nominal. O que fazer diante de uma taxa nominal? Teremos que transformá-la em taxa efetiva. Para tanto, usaremos o conceito de taxas proporcionais! É preciso também saber que, na transformação de taxa nominal em taxa efetiva, a unidade da taxa efetiva será sempre a mesma unidade da capitalização. Ou seja, se a capitalização é semestral, então a taxa efetiva será de alguma coisa por cento ao semestre! Teremos: 30% ao ano, com capitalização semestral = (30/2) = 15% ao semestre. Dividimos por 2 porque um ano tem 2 semestres. Enfim, estamos agora com uma taxa efetiva de juros compostos (15% a.s.). Só que o enunciado nos pede uma taxa efetiva anual. Para alterar a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos, usamos o conceito de taxas equivalentes. O seguinte: 1 + I = (1 + i ) K Onde: I é a taxa de unidade maior; i é a taxa de unidade menor; K é quantas vezes a unidade menor cabe na unidade maior. Em nosso caso, queremos a seguinte transformação: 15% ao semestre =? % ao ano Assim, teremos: I = taxa ao ano (não sabemos quanto vale. Chamaremos de I mesmo); i = taxa ao semestre = 15%=0,15; k=2 (cabem 2 semestres em 1 ano). Daí: 1 + I = (1 + 0,15) I = 1,3225 I = 1, I = 0,3225 I = 32,25% ao ano Resposta! Por falta de gabarito correto, esta questão foi anulada! 2 Repita com fé: Eu Vou Passar

3 03. O montante acumulado em uma série de 400 depósitos mensais de R$ 150,00, a juros de 1% ao mês, permite a obtenção, a partir daí, de uma renda perpétua de que valor? Dado: 1, =53,52 a) R$ 3.512,00 d) R$ 6.442,00 b) R$ 4.884,00 e) R$ 7.878,00 c) R$ 5.182,00 Sol.: Uma questão relativamente fácil. O primeiro passo é aplicar as rendas certas, a fim de descobrir o montante total auferido após as 400 aplicações de R$ 150,00. Fazendo isso, teremos: T = P. Sn,i Onde: T é o total auferido na data da última parcela; P é o valor da parcela (precisam ser todas iguais!); n é o número de parcelas (n=400); i é a taxa de juros compostos da operação! Façamos, separadamente, o cálculo do fator Sn,i. Teremos: (1 + i) Sn, i = i n 1 (1 + 0,01) = 0,01 Assim, aplicando as rendas certas, teremos: , ,52 = = = 5.252, 0,01 0,01 T = 150 x 5252 T = ,00 Pois bem! Fizemos metade da questão! A outra metade se resume a conhecer a pequena fórmula das Rendas Perpétuas! O que são rendas perpétuas? É um valor que será amortizado em infinitas prestações. Temos que: P T = i Onde: T é o valor que será amortizado; P é o valor das parcelas; i é a taxa composta da operação. Desejando conhecer o valor da parcela, faremos: P T = P T. i i = P= x 0,01 P=7.878,00 Resposta! 04. Deve-se decidir entre o investir no projeto X ou no projeto Y ou em nenhum deles. A taxa mínima de atratividade é 10% ao ano e os fluxos de caixa dos projetos, bem como as taxas internas de retorno (TIR) e os valores presentes líquidos (VPL) (i=10% ao ano) encontram-se a seguir: Época X Y VPL(X) = 13,4 VPL(Y) = 17,0 TIR(X) = 21,9% a.a. TIR(Y) = 18,3% a.a. A decisão que deve ser tomada é: a) investir em X, porque tem maior TIR. 3 Repita com fé: Eu Vou Passar

4 b) Investir em X, porque tem menor VPL. c) Investir em Y, porque tem maior VPL. d) Investir indiferentemente em X ou em Y, que são igualmente atrativos. e) Não investir. Sol.: Uma questão teórica. Apesar dos valores numéricos fornecidos, não era necessário fazer um cálculo sequer. Trata-se aqui de avaliação de investimentos. Quer-se saber qual é o melhor entre dois. Os critérios mais exigidos pelas mesas elaboradoras são: 1) O Valor Presente Líquido (VPL); e 2) A Taxa Interna de Retorno (TIR). Sem mais delongas, a decisão sobre o melhor investimento, entre duas alternativas, será tomada assim: Conhecendo os dois VPL: o melhor investimento é aquele que apresenta o maior VPL; Conhecendo as duas TIR: o melhor investimento é aquele que apresenta a maior TIR. Aqui encontramos um dilema! Qual? O enunciado nos fornece elementos referentes aos dois critérios: VPL e TIR. E de acordo com a leitura, pelo critério do VPL vence o investimento X, e pelo critério da TIR, o investimento Y. E agora? Agora recorremos aos autores! E alguns deles, que tratam mais profundamente da análise de investimentos, a exemplo de SAMANEZ (Carlos Patrício Samanez, Ed. Prentice Hall, Matemática Financeira Aplicações e Análise de Investimentos), ensinam que o critério do VPL é mais consistente que o da TIR, devendo aquele prevalecer sobre este último, no caso de um confronto como o que se vê nesta questão. Assim, seguindo esta orientação, e tendo que o VPL do investimento Y é maior que do X, a melhor decisão é a que consta na Opção C Resposta! O enunciado a seguir refere-se às questões de números 5 e 6. Considere um financiamento de R$ ,00 em 150 prestações mensais, pelo SAC, a juros de 1% ao mês. Sol.: No SAC Sistema de Amortização Constante se faz assim: 1º) Pegamos o valor total que será amortizado (R$ ) e o dividimos pelo número de parcelas (150). O resultado desta conta será a Quota de Amortização (A). Teremos: A= /150 A=1.000,00 2º) Pegamos o valor total (R$ ) e o multiplicamos pela taxa (1%). Teremos: x 0,01 = 1.500,00 3º) Somamos os resultados dos dois passos anteriores, e chegamos ao valor da primeira parcela. Teremos: P1= P1=2.500, Repita com fé: Eu Vou Passar

5 4º) Pegamos a quota de amortização (resultado do 1º passo) e o multiplicamos pela taxa. O resultado será a quanto se reduzirá cada parcela para se chegar à parcela seguinte. Ou seja, é a razão negativa das parcelas, que estão entre si como numa progressão aritmética decrescente. Assim: Razão Negativa = 1000 x 0,01 = 10,00 Daí, a seqüência das parcelas é a seguinte: {2.500, 2.490, 2.480, 2.470,..., 1.030, 1.020, 1.010} Como saber que a última parcela era R$1.010,00? Basta somar os resultados do 1º e do 4º passos acima. Passemos agora às questões! 05. Determine o estado da dívida imediatamente após o pagamento da 60 a prestação. a) R$ ,00 d) R$ ,00 b) R$ ,00 e) R$ ,00 c) R$ ,00 Sol.: A 61ª prestação pode ser calculada assim: P 61 =P razão P 61 = (-10) P 61 = P 61 = 1.900,00 Assim, desprezando as 60 primeiras parcelas, a nova seqüência fica sendo a seguinte: {1900, 1890, 1880,..., 1.030, 1.020, 1.010} Também considerando o corte daquelas 60 parcelas, restaram apenas 90. É a diferença entre 150 (número original) e 60 (que foram cortadas). Assim, repetindo o primeiro passo feito acima, teremos: A=T/ = T / 90 T = ,00 Resposta! 06. Determine o valor desta prestação. a) R$ 1.910,00 d) R$ 2.110,00 b) R$ 2.000,00 e) R$ 6.352,00 c) R$ 2.100,00 Sol.: A questão está perguntando pelo valor da 60ª prestação! Ora, na resolução anterior, descobrimos o valor da 61ª (R$ 1.900). Conforme sabemos, a diferença entre duas parcelas consecutivas é uma razão negativa de uma P.A. (progressão aritmética). E esta razão foi calculada no quarto passo acima: Razão Negativa = 10,00 Assim: P 60 =P P 60 = P 60 =1.910, Resposta! 5 Repita com fé: Eu Vou Passar

6 07. Determine o montante, em 75 dias, de um principal de R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. a) R$ 6.250,00 d) R$ 6.344,00 b) R$ 6.300,00 e) R$ 6.352,50 c) R$ 6.325,00 Sol.: A convenção linear nada mais é que uma forma alternativa de trabalhar os juros compostos. Uma questão muito recorrente em prova. E muito fácil. É preciso conhecer a fórmula: M = C.(1+i) INT. (1+i.Q) Onde: INT é a parte inteira do tempo; e Q é a parte quebrada do tempo. A única exigência da fórmula é que as duas partes do tempo (inteira e quebrada) estejam ambas na mesma unidade da taxa! Só isso! O enunciado nos fornece os seguintes dados: C=5000 ; i=10%a.m. n=75 dias=60dias+15dias=2,5 meses=2m + 0,5m Vejam que já conseguimos apresentar o tempo em parte inteira e parte quebrada, e ambas na mesma unidade da taxa. Aplicando a fórmula, teremos: M = 5000.(1+0,10) 2. (1+0,10x0,5) M = 5000 x 1,21 x 1,05 M = 6.352,50 Resposta! 08. De quanto diminui o seu salário real, se o seu salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? a) 12% d) 21% b) 15% e) 30% c) 18% Sol.: Esta questão trata de taxa aparente e taxa real. Uma teoria muito fácil. Alguém diz que seu salário aumentou 10%. Ok? Mas este é um aumento nominal. Como assim? Será que você está levando em consideração a inflação? O aumento real não pode deixar de levar em conta a existência da inflação. Aqueles 10% são um aumento aparente! A taxa aparente também pode ser chamada taxa nominal. Aplicação direta de fórmula. Teremos: 1 + I REAL = (1 + I APARENTE ) / (1 + I INFLAÇÃO ) Assim, teremos: 1 + I REAL = (1 + 0,10) / (1 + 0,40) 1 + I REAL = 0,7857 I REAL = 0, I REAL = - 0,2142 Redução de 21% Resposta! 6 Repita com fé: Eu Vou Passar

7 09. Qual é a taxa efetiva mensal paga por quem toma um empréstimo de R$ 2.000,00 por dois meses, a juros simples de 10,5% ao mês? a) 10% d) 10,4% b) 10,1% e) 10,5% c) 10,3% Sol.: Este enunciado não foi lá dos mais felizes. Precisamos fazer uma tradução. Vamos trabalhar só com as taxas. Ok? A taxa fornecida foi de 10,5% ao mês, uma taxa de juros simples. Se quisermos a taxa bimestral (já que a aplicação durou dois meses!), teremos que aplicar o conceito de taxas proporcionais, e multiplicar por 2 (1 bimestre = 2 meses). Teremos: 10,5% a.m. = 10,5 x 2 = 21% ao bimestre. O que o enunciado pede, não de uma forma muito clara, é uma taxa mensal equivalente (juros compostos!) a 21% ao bimestre. Aplicando, pois, o conceito de taxas equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i) k 1 + 0,21 = (1 + i) 2 (1 + i) 2 = 1, i = 1,1 i = 0,1 i = 10% a.m. Resposta! 10. Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: a) 5% d) 25% b) 10% e) 30% c) 20% Sol.: Uma questão típica. A Esaf, por exemplo, cobrou uma semelhante a esta no concurso do Fiscal da Receita de Há 23 anos! E ainda hoje é cobrada! Só precisamos fazer a tradução do enunciado! Se custa R$ 200,00 e a entrada é de R$ 100,00, então, no dia da compra, ficou faltando pagar a diferença de R$ 100. Até aqui, tudo bem? Ocorre que a pessoa que comprou não vai pagar esta diferença (R$100) no dia de hoje. Vai pagar somente daqui a um mês. Naquele dia, contudo, vai ter que pagar um valor maior que R$ 100. Quanto? R$ 120,00, conforme nos diz o enunciado. Assim, R$100 de hoje se transformarão em R$120 daqui a um mês. Nem precisa aplicar fórmula nenhuma, já que o capital é 100. De quanto foi o aumento, em termos percentuais? De 20%! i = 20% a.m. Resposta! GABARITO: 01) B 02) NULA 03) E 04) C 05) D 06) A 07) E 08) D 09) A 10) C 7 Repita com fé: Eu Vou Passar