Prof. Luiz Felix. Unidade I

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1 Prof. Luiz Felix Unidade I MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 Matemática financeira A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de Capital.

3 Juros Juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada previamente durante um determinado prazo. A incidência de juros é resultado de vários fatores, dentre os quais podemos destacar: Inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo. Risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento. A soma do Capital com os Juros é chamada de Montante.

4 Abreviaturas

5 Taxa de juros A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11). Taxa Transformação Taxa Percentual Unitária 40% a.m ,40 a.m. 4% a.a. 4 0,04 a.a ,5% a.d. 24, ,245 a.d.

6 Taxas de juros - Exercícios Passe para a forma unitária os valores: 0,5% a.a. 0,005 a.a. 2% a.s. 0,02 a.s. seguintes 17,5% a.d. 0,175 a.d. Passe para a forma percentual os seguintes valores: 0,003 a.b. 0,3% a.b. 0,04 a.m. 4% %a.m. 0,18 a.d. 18% a.d.

7 Taxas de juros - Exercícios Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$ 5.250,00. a) Qual o juro? Montante = Capital + Juro ou M = C + J 5250 = J = J J = 250 b) Qual a taxa unitária de juro? i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias P 5000 c) Qual a taxa percentual de juro? i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias

8 Taxas de juros - Exercícios Um bolo é vendido por R$ 35,00 a) Se seu preço fosse acrescido de 15%, quanto o bolo passaria a custar? Preço = = , Preço = ,25 = R$ 40,25 b) Se fosse anunciado um desconto de 30% sobre o preço original do bolo, quanto o bolo passaria a custar? Preço = = 35 0, Preço = 35 10,5 = R$ 24,50

9 Juros simples Juros de cada período incide sobre o capital inicial aplicado - Juros não rendem juros Crescimento linear ou em Progressão Aritmética Poucas são as operações financeiras e comerciais

10 Juros simples

11 Juros simples Taxas proporcionais Importante: O prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo Exemplos: 36% a.a. = 36/12 = 3% ao mês 36% a.a. = 36/6 = 6% ao bimestre 36% a.a. = 36/4 = 9% ao trimestre 36% a.a. = 36/2 = 18% ao semestre

12 Juros simples Exercícios taxas proporcionais Qual a taxa mensal proporcional a 8% ao bimestre? Resposta: 8/2 = 4% ao mês Qual a taxa mensal proporcional a 3% ao trimestre? Resposta: 3/3 = 1% ao mês Qual a taxa mensal proporcional a 24% ao semestre? Resposta: 24/6 = 4% ao mês

13 Interatividade Em juros simples, qual a taxa anual proporcional a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano b) 0,5% ao ano c) 6% ao ano d) 12% ao ano e) 24% ao ano

14 Juros simples - fórmulas J = C. i. n Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros n = número de períodos M = C + J ou M = C.(1 + i.n) Onde: M = montante

15 Juros simples - exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = M = J = M = J = R$ ,00 M = R$ ,00 Resolução incorreta

16 Juros simples - exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = ,02. 5 M = J = 300 M = 3300 J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00

17 Juros simples - exemplo Um investidor aplicou R$ ,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = n = 80 dias i = 30% a.a. J =? J = C.i.n J = ,3. 80 J = J = R$ ,00 Resolução incorreta

18 Juros simples - exemplo Um investidor aplicou R$ ,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = n = 80 dias i = 30% a.a. = 2,5% a.m. = 0,0833% a.d. J =? J = C.i.n J = , J = 999,6 J = R$ 999,60

19 Juros simples - exemplo Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obter R$ 6.000,00 de juro em 4 meses. C =? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n 6000 = C. 0, = C. 0,24 C = 6000 = ,24 C = R$ ,00

20 Juro exato e juro comercial Juro Exato: Utilizaocalendáriodoano civil com 365 dias. Juro Comercial: Admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros simples, à taxa diária de: a) Juro Exato: 30% = 0,08219% ao dia 365 dias b) Juro Comercial: 30% = 0,08333% ao dia 360 dias

21 Fluxo de caixa Linha Horizontal é a escala do tempo O ponto 0 indica o ponto inicial Demais pontos representam outros períodos de tempo (datas) Entradas de Caixa ( + ) tempo Saídas de Caixa ( - )

22 Interatividade Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias. a) R$ 150,00 b) R$ ,00 c) R$ 702,00 d) R$ ,00 e) R$ 234,00

23 Juros compostos Juros de cada período incide sobre o capital do início do período (saldo) - Juros rendem juros Crescimento exponencial ou em Progressão Geométrica É o mais comum no sistema financeiro

24 Juros compostos Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

25 Juros compostos - Taxas equivalentes Importante: O prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo i q = (1 + i) q 1 i q = (1 + i) 1/q 1 q = número de períodos de capitalização Lembrete: q 1+ i 1 = (1 + i) 1/q 1 Sugestão: Calculadora com x^y

26 Juros compostos exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.? Trimestre Anual i q = (1 + i) q 1 1 trimestre 4 trimestres i 0745) q = (1 + 0,0745) 4 1 i q = (1,0745) 4 1 i q = 1, i q = 0,3330 i q = 33,30% 30% aa a.a.

27 Juros compostos exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 1,8% a.m.? Mês Anual i q = (1 + i) q 1 1 mês 12 meses i 018) q = (1 + 0,018) 12 1 i q = (1,018) 12 1 i q = 1, i q = 0,2387 i q = 23,87% aa a.a.

28 Juros compostos exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% a.d.? Dia Dias i q = (1 + i) q 1 1 dia 23 dias i 0014) q = (1 + 0,0014) 23 1 i q = (1,0014) 23 1 i q = 1, i q = 0,0327 i q =327% 3,27% para 23 dias

29 Juros compostos exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente a 34% a.a.? Semestral Anual i q = (1 + i) 1/q 1 2 semestres 1 ano i q = (1 + 0,34) 1/2 1 i q = (1,34) 1/2 1 i q = 1, i q = 0,1576 i q = 15,76% am a.m.

30 Juros compostos exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 21% a.t.? Mensal Trimestral i q = (1 + i) 1/q 1 3 meses 1 trimestre i q = (1 + 0,21) 1/3 1 i q = (1,21) 1/3 1 i q = 1, i q = 0,0656 i q = 6,56% at a.t.

31 Interatividade Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? a) 10,39% a.m. b) 5,50% a.m. c) 7% a.m. d) 4,43% a.m e) 15% a.m.

32 Juros compostos - Fórmula M = C.(1 + i) n Onde: M = montante C = capital i = taxa de juros n = número de períodos

33 Juros compostos - Exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i) n M = 6000.(1+0,02) 3 M = 6000.(1,02) 3 = ,06 = M = R$ ,00 Resolução incorreta

34 Juros compostos - Exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i) n M = 6000.(1+0,02) 3 M = 6000.(1,02) 3 = ,0612 = 6367,20 M = C + J 6367,20 = J J = 6367, = 367,20 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20

35 Juros compostos - Exemplo Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i) n 3500 = C.(1+0,025) = C.(1,025) = C.1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449 O capital foi de R$ 2.602,42

36 Desconto simples racional ou por dentro Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples D r é o valor do desconto V r é o valor descontado racional (ou valor atual) N é o valor nominal (ou valor de reagate ou montante) D r = N V r N = V r.(1 + i.n)

37 Desconto simples racional ou por dentro Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular l o desconto e o valor descontado d D r (valor do desconto) V r (valor descontado) i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal =3500 N = V r.(1 + i.n) D r = N V r 3500 = V r.(1 + 0,04.2) 04 D r = , = V r.(1 + 0,08) D r = 259, = V r.(1,08) V r = 3500 / 1,08 = 3240,74

38 Desconto bancário ou comercial ou por fora A modalidade de desconto por fora é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo D F é o valor do desconto V F é o valor descontado por fora N é o valor nominal d é a taxa de desconto por fora n é o prazo definido D F = N V F V F = N.(1 d.n)

39 Desconto bancário ou comercial ou por fora Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, a taxa de desconto de 0,2% a.d.? d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 D F =? V F = N.(1 d.n) D F = N V F V F = 100.(1 0, ) V F = 100.(1 0,12) V F = ,88 = 88 D F = D F = 12 D F = R$ 12,00

40 Interatividade Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.140,00 b) R$ 5.065,90 c) R$ ,00 d) R$ 4.245,45 e) R$ 5.040,65

41 ATÉ A PRÓXIMA!

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