Matemática Financeira

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1 Matemática Financeira Sumário 2 JUROS SIMPLES (Capitalização Simples) 5 JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta) 7 TAXAS SIMPLES 8 TAXAS COMPOSTAS 10 TAXAS SIMPLES EXATO 11 PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO 13 CONVENÇÃO EXPONENCIAL 13 CONVENÇÃO LINEAR 15 DESCONTO COMPOSTO 18 DESCONTO SIMPLES 21 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO COMPOSTO. (Rendas variáveis) 24 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO SIMPLES. (Rendas variáveis e uniformes) 30 TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO COMPOSTO 33 TAXA EFETIVA E NOMINAL NO JURO SIMPLES 35 RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME (Rendas Uniformes) 41 PROVAS ANTERIORES 52 TABELAS PARA CONSULTA

2 2 Matemática Financeira JUROS SIMPLES (Capitalização Simples) Juros Simples comercial é uma modalidade de juro calculado em relação ao capital inicial, neste modelo de capitalização, os juros de todos os períodos serão sempre iguais, pois eles serão sempre calculados em relação ao capital inicial. Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios de Juros Simples. Onde J = C.i.t ou M = C.(1+i+t) J = juros C = capital i = taxa unitária t = tempo M = Montante Neste tópico o aluno precisa entender as variáveis que usará no seus cálculos e descobrir qual das duas fórmulas é a melhor para a resolução dos exercícios. Se bem que qualquer exercício pode ser calculado com qualquer uma delas. É importante que a unidade da taxa deva coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar as fórmulas. O que é Juros? Resposta: Juros é quanto se ganha em uma aplicação. Por exemplo: se aplicarmos R$ 100,00 e esse valor se transforma em R$ 140,00, conclui-se que a aplicação gerou um aumento de capital de R$ 40,00, esse valor é o que ganhamos na aplicação, isto é R$ 40,00 é os juros. O que é Capital? Resposta: É o valor que aplicamos. No exemplo da resposta anterior, o capital é R$ 100,00. O que é taxa unitária? Resposta: É a retirada do símbolo de percentagem da taxa. Por exemplo: se estamos utilizando uma taxa de 10%, a taxa unitária é 0,10. Se estamos utilizando uma taxa de 5%, a taxa unitária é 0,05. Isto é, devemos dividir por 100 o valor da taxa percentual. O que é tempo? Resposta: É o valor de quanto tempo se aplica um capital. O que é Montante? Resposta: Montante é o capital acrescidos de juros. M = C + J. Nosso próximo passo é ganhar experiência com os 13 exercícios exemplos resolvidos. Preste muita atenção na resolução deles, por mais fácil que sejam, existe muita experiência sendo transmitida. Repare também que usarei sempre o melhor método de resolução, isto é, aquele onde economizamos tempo e espaço de resolução. Observação: É importante ressaltar que quando lemos juros simples,estamos nos retratando ao juros simples comercial, nesta modalidade de juros o ano terá sempre 360 dias e o mês terá sempre 30 dias. Para alguns autores também é chamado de juros simples ordinário. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Calcular os juros simples que um capital de $ ,00, rende em um ano e meio, aplicado à taxa de 6%a.a.? a) R$ 700,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 1,600,00 d) R$ 600,00 e) R$ 900,00 J =? C = t = 1,5 a i = 6% a.a. = J = C. i. t 6 J = ,5 100 J = 900 LETRA E

3 Matemática Financeira 3 2. Qual o capital que produz, à taxa de 6% a.a., em 3 meses, juro de R$ 78,00? a) R$ 4.300,00 b) R$ 3.000,00 c) R$ 5.200,00 d) R$ 2.600,00 e) R$ 3.500,00 C =? 6 i = 6% a.a. = 100 t = 3 m = 12 3 J = 78 a J = C. i. t 6 78 = C C 78 = 200 C = C = 5200 LETRA C 3. A que taxa anual o capital de R$ 5.000,00, em 1 ano, renderia R$ 300,00? a) 5% b) 6% c) 4% d) 3% e) 2% i i =? % a.a.= C = t = 1 a J = 300 J = C. i. t i 300 = i = 50 i = 6% a.a. LETRA B 4. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00 aplicado a uma taxa de 30% a.m., renderia R$ 240,00? a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 10 t =?m C = 100 i = 30% a.m. = J = 240 J = C. i. t = t = 8 m LETRA C. t Calcule o montante produzido por capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 3 meses a uma taxa de 15% a.m? a) R$ 7.500,00 b) R$ 4.300,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 5.000,00 e) R$ 7.250,00 M =? C = 5000 t = 3 m 15 i = 15% a.m. = 100 J = C. i. t J = J = M = C + J M = M = 7250 LETRA E 6. Qual o capital que em dois anos, à taxa de 5% a.a., produz um montante de R$ 6.600,00? a) R$ 5.400,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 4.200,00 d) R$ 5.200,00 e) R$ 6.200,00 C =? t = 2 a 5 i = 5% a.a. = M = M = C (1 + i.t) = C = C = 11C C = 6000 LETRA B 7. A que taxa mensal o capital de R$ 1.200,00, no fim de dois meses, geraria um capital acumulado de R$ 2.400,00? a) 12% b) 23% c) 25% d) 15% e) 50%

4 4 Matemática Financeira i i =? % a.m. = 100 C = 1200 t = 2 m M = 2400 J = 1200 J = C. i. t i 1200 = i = 50% a.m. LETRA E 8. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00, aplicado a uma taxa de 30% a.m., geraria um montante de R$ 220,00? a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 10 t =? m C = 100 M = 220 J = 120 i = 30% a.m. = Prática J = C. i. t 120 = t 100 t = 4m LETRA A 1. (TTN-INTERNO) Qual o capital que produz, à taxa de 2% a.m., o juro mensal de Cr$ 48,00? a) Cr$ 2.400,00 b) Cr$ 2.000,00 c) Cr$ 3.200,00 d) Cr$ 2.600,00 e) Cr$ 3.000,00 2. (TTN-INTERNO) Qual o capital que, em 40 dias, à taxa de 4% a.a., produz o juro de Cr$ 32,00? a) Cr$ 8.200,00 b) Cr$ 7.000,00 c) Cr$ 9.000,00 d) Cr$ 7.200,00 e) Cr$ 8.000, (TTN - INTERNO) Qual o capital que, à taxa 2,5% a.a., no fim de um semestre, produz o montante de Cr$ 8.100,00? a) Cr$ ,00 b) Cr$ 5.000,00 c) Cr$ 8.000,00 d) Cr$ 7.000,00 e) Cr$ 9.000,00 4. (TTN-INTERNO) A que taxa anual o capital de Cr$ 5.000,00, em um ano, renderia Cr$ 300,00? a) 5% a.a. b) 6% a.a. c) 4% a.a. d) 3% a.a. e) 2% a.a. 5. (TTN-89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a Cr$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é: a) Cr$ 1.100,00 b) Cr$ 1.000,00 c) Cr$ 1.392,00 d) Cr$ 1.200,00 e) Cr$ 1.399,68 6. Calcular o juro e montante de uma aplicação de R$ 1.000,00, durante 3 meses, a taxa de juro simples de 10% a.m. a) R$ 1.300,00 e R$ 3.300,00 b) R$ 300,00 e R$ 1.300,00 c) R$ 1.100,00 e R$ 2.100,00 d) R$ 100,00 e R$ 1.100,00 e) R$ 500,00 e R$ 1.500,00 7. Qual o capital que em 40 dias, à taxa de 4% a.a., produz o montante de R$ 7.232,00 a) R$ 8.400,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 5.200,00 d) R$ 7.200,00 e) R$ 6.200,00 8. (TTN/94-TARDE) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$ a) 4.200,00 d) 4.600,00 b) 4.800,00 e) 4.400,00 c) 4.900,00

5 Matemática Financeira 5 9. Qual é o prazo para uma aplicação de 5% a.a., tenha um aumento que corresponda a 1/5 de seu valor? a) 2 anos b) 4 anos c) 6 anos d) 5 anos e) 8 anos 10. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 150% a.a., quadruplique seu valor? a) 2 anos b) 4 anos c) 6 anos d) 5 anos e) 8 anos 11. Um capital de R$ ,00, aplicado a 22% a.a., rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses e 10 dias e) 3 meses 12. Calcule o valor do montante produzido por capital de 150, aplicado a juro simples a uma taxa de 4,8% a.m., durante 25 dias? a) 151 b) 151,2 c) 156 d) 153,6 e) 210,0 JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta) Juros Composto é uma modalidade de juro calculado em relação ao capital inicial de cada período, onde o capital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescidos dos juros do período anterior se houver. É costume dizer que juro composto é juros sobre juros. Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios de Juros Compostos. J = C [(1+i) t - 1 ] ou M = C. (1+i) t Onde J = juros C = capital i = taxa unitária t = tempo M = Montante Exercícios Exemplos Resolvidos 1. O capital de R$ ,00 e aplicado à 5% a.m. de juros compostos, durante 3 meses. Calcule o montante? a) R$ ,00 b) R$ ,50 c) R$ ,50 d) R$ ,00 e) R$ , José colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e o restante a 18% a.a., recebendo juro anual de R$ ,00. Qual é o meu capital? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 C = i = 5% a.m. t = 3 m M =? M = C. (1 + i ) t M = (1 + 5%) 3 M = ,1576 M = LETRA A

6 6 Matemática Financeira 2. Calcule o capital que produz o montante de R$ ,00, à taxa de 6% a.m. de juros compostos durante 2 meses é: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 C =? M= i = 6% a.m. t = 2 m M = C. (1 + i ) t = C. (1 + 6%) = C. 1,1236 C = LETRA A 3. Qual o valor do capital que aplicado a 4% a.m. de juros compostos, produz ao final de 5 meses, um montante de R$ ,00? a) R$ ,70 b) R$ ,56 c) R$ ,60 d) R$ ,88 e) R$ ,32 C =? i = 4% a.m. t = 5 m M = Prática M = C. (1 + i ) t = C. (1 + 4%) = C. 1,2167 C = ,88 LETRA D 1. Aplicaram-se R$ ,00 a 9% ao bimestre de juros compostos, durante 1 ano e 4 meses. O valor do capital acumulado é: a) R$ ,06 b) R$ ,06 c) R$ ,00 d) R$ ,53 e) R$ ,53 2. Calcular o valor do montante final da aplicação de R$ ,00 à taxa composta de 6% ao mês, durante 5 meses. a) R$ ,67 b) R$ ,67 c) R$ ,67 d) R$ ,65 e) R$ ,65 3. Após 8 meses de aplicação a 7% ao mês de juros composto, o capital acumulado era igual a R$ ,00. Qual o valor do capital aplicado? a) R$ ,78 b) R$ ,78 c) R$ ,33 d) R$ ,33 e) R$ ,11 4. Durante quanto tempo um capital de R$ ,00, a juros compostos, a uma taxa de 15% a.a., produzirá um montante de R$ ,00? a) 5 anos b) 4 anos c) 6 anos d) 3 anos e) 7 anos 5. O capital R$ ,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses. Ao final do prazo o montante será igual a R$ ,00. Qual a taxa da aplicação? a) 9% a.m. b) 8% a.m. c) 7% a.m. d) 6% a.m. e) 5% a.m. 6. Um capital aplicado a 6% ao mês de juros composto, durante 8 meses. A que taxa de juros simples mensal, o mesmo capital deveria ser aplicado, durante o mesmo prazo, para produzir o mesmo montante? a) 7,42% a.m. b) 8,42% a.m. c) 9,42% a.m. d) 6,42% a.m. e) 5,42% a.m. 7. Um capital aplicado a 80% ao ano de juros simples, produziu ao final de 1 ano e 4 meses, um determinado montante. A que taxa mensal de juros compostos o mesmo capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante, durante o mesmo prazo? a) 4,6% b) 4,0% c) 5,2% d) 5,0% e) 5,8%

7 Matemática Financeira 7 8. Durante quantos meses o capital R$ ,00 deverá ser aplicado a 6% a.m. de juros compostos para se transformar em R$ ,00? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9 9. Quantos bimestres são necessários para o capital R$ ,00 se transformar em R$ ,00, se for aplicado a 9% a.m. de juros compostos? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) A que taxa de juros compostos R$ ,00 devem ser aplicados para produzirem o montante de R$ ,00 em 6 meses de aplicação? a) 8% a.m. b) 7% a.m. c) 6% a.m. d) 5% a.m. e) 4% a.m. 11. O capital R$ ,00 foi aplicado à taxa composta de 5% ao trimestre, durante 8 anos. O valor do capital acumulado é: a) R$ ,88 b) R$ ,60 c.) R$ ,97 d) R$ ,65 e) R$ , O capital de R$ ,00 e aplicado à 25% a.m. de juros compostos, durante 2 meses. Calcule o montante? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 TAXAS SIMPLES TAXA PERCENTUAL: é aquela que possui o símbolo de porcentagem junto a ela, ou melhor é aquela aparecem nos exercícios. Exemplo: 20% a.m. TAXA UNITÁRIA: é a retirada do símbolo de porcento. Exemplo : 20/100 ou 0,20 (qualquer uma delas é taxa unitária). TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são proporcionais, se mantiverem entre si a mesma razão entre as taxas e os períodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m. 30% 3 i 10% i 1. Repare que 30% está para 10% assim como 3 meses (1 trimestre) está para 1 mês. TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo período de tempo, produzirem montantes iguais. Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 30% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento. Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses m 1m 2m 3m J 1 =10 J 2 =10 J 3 = Aplicando R$100,00 a 30%a.m. durante 1 trimestre Repare que as taxas de 10% a.m. e 30% a.t. são equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito t 100 J 2 =30 1t

8 8 Matemática Financeira Observação: Em Juros Simples, as taxas equivalentes são numericamente iguais às taxas proporcionais. Isto é, o aluno pode usar qualquer modelo de transformação (equivalente ou proporcional) que o valor que irá encontrar servirá para taxa proporcional ou equivalente. É importante ressaltar que apesar de numericamente iguais, taxas equivalentes e proporcionais, são teoricamente diferentes. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Qual a taxa anual simples equivalente à taxa simples de 5% a.m.? a) 79,58% b) 69,58% c) 59,58% d) 78,88% e) 60.00% i =?% a.a. 5% a.m = 60% a.a. LETRA E 2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros simples de 2% a.m.? a) 11,61% b) 10,61% c) 12,61% d) 13,61% e) 12,00% i =?% a.s. 2% a.m = 12% a.s. LETRA E 3. Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 36% a.a.? a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% e) 19% i =?% a.s. 36% a.a. 36 = 18% a.s. 2 LETRA D 4. Calcular a taxa mensal proporcional a juros simples de 84% a.a.? a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% i =?% a.m. 84% a.a. 84 = 7% a.m. 12 LETRA C TAXAS COMPOSTAS TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são proporcionais, se mantiverem entre si a mesma razão entre as taxas e os períodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m. 30% 3 i 10% i 1. Repare que 30% está para 10% assim como 3 meses ( 1 trimestre) está para 1 mês. TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo período de tempo, produzirem montantes iguais. M = M 1 t1 t.( 1+ i1 ) = C. ( 1+ i2 ) t ( 1 ) ( ) 1 t + i = 1+ i 2 C Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 33,10% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento. Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses m 1m 2m 3m J 1 =10 J 2 =11 J 3 =12,10 133,10

9 Matemática Financeira 9 Aplicando R$100,00 a 33,10%a.t. durante 1 trimestre 0t 100 J 2 =33,10 1t 133,10 Repare que as taxas de 10% a.m. e 33,10% a.t. são equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito. Encontrando a taxa equivalente de 10% a.m. sem montar o fluxo, usanado a fórmula de equivalência: (1 + i 1 ) t1 = (1 + i 2 ) t2 (1 + 10%) 3 = (1 + i) 1 1,3310 = 1 + i i = 1, i = 0,3310 (taxa equivalente unitária) i = 33,10% (taxa equivalente percentual) Observação: No Juros Composto, as taxas equivalentes são numericamente diferentes que as taxas proporcionais. Isto é, você não pode usar qualquer modelo de transformação (equivalente ou proporcional) para transformar taxas, você deverá usar sempre que quiser transformar uma taxa o modelo de equivalência. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 5% a.m.? a) 79,59% b) 69,58% c) 59,58% d) 78,88% e) 60.00% (1 + i 1 ) t1 = (1 + i 2 ) t2 (1 + 5%) 12 = (1 + i) 1 1,7959 = 1 + i i = 1, i = 0,7959 (taxa equivalente unitária) i = 79,59% (taxa equivalente percentual) LETRA A 2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros de 2% a.m.? a) 11,62% b) 10,62% c) 12,62% d) 13,62% e) 12,00% (1 + i1)t1 = (1 + i2)t2 (1 + 2%)6 = (1 + i) 1,1262 = 1 + i i = 1, i = 0,1262 (taxa equivalente unitária) i = 12,62% (taxa equivalente percentual) LETRA C 3. Calcular a taxa semestral equivalente a juros composta de 4% a.b.? a) 11,00% b) 12,49% c) 13,49% d) 14,49% e) 12,00% (1 + i1)t1 = (1 + i2)t2 (1 + 4%)3 = (1 + i)1 1,1249 = 1 + i i = 1, i = 0,1249 (taxa equivalente unitária) i = 12,49% (taxa equivalente percentual) LETRA B Prática 1. Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 10% a.s.? a) 20% b) 21% c) 5% d) 18,88% e) 22.35% 2. Calcular a taxa semestral proporcional a juros composto de 36% a.a.? a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% e) 19%

10 10 Matemática Financeira 3. Calcular a taxa semestral equivalente percentual juros compostos de 8,16% a.a.? a) 4% b) 4,08% c) ( 12 1, ).100% d) ( 1, ).100% e) ( 1, ) 4. Calcular a taxa mensal equivalente percentual a juros compostos de 69% a.b.? a) 34,5% b) 30% c) ( 12 1, ).100% d) ( 1, ).100% e) ( 1, ) 5. Calcular a taxa mensal equivalente unitária a juros compostos de 108% a.a.? a) 12 1, 08 b) 12 2, 08 c) ( 12 1, 08 1).100 d) 12 2, 08 1 e) 12 1, Calcular a taxa semestral equivalente percentual a juros compostos de 8% a.a.? a) 1, 08 % b) ( 1, 08 1).100% c) ( 1, 8 1).100% d) [( 1, 08 1).100]% e) 1, Qual a taxa anual composta equivalente a taxa de 4% a.m.? a) 60,10% b) 48,00% c) 59,26% d) 68,88% e) 58,88% 8. Calcular a taxa semestral equivalente a juros compostos de 10% a.m. a) 61,61% b) 70,61% c) 77,16% d) 60,00% e) 74,61% 9. Um capital foi aplicado a 4% ao mês de juros compostos. A que taxa anual o capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante? a) 60,10% a.a. b) 6,10% a.a. c) 50,10% a.a. d) 5,10% a.a. e) 7,10% a.a. JUROS SIMPLES EXATO O juro que calculamos no primeiro capítulo é chamado de juro comercial e o que iremos calcular neste capítulo chama-se juro exato. A diferença entre eles está no fato que no juro comercial todos os meses apresentam 30 dias enquanto que no juro comercial o mês tem 30, 31, 28 ou 29 dias. Outra diferença entre eles, está no fato que o ano para o juro comercial apresenta 360 dias enquanto que o juro exato apresenta 365 ou 366 dias. De resto, o processo de calculo é o mesmo, inclusive a fórmula: J = C. i. t Separo aqui alguns problemas que o aluno pode ter, ao resolver exercícios de juros simples exato. 1º Problema: Descobrir se o ano é ou não é bissexto. Por que isso é tão importante? Para descobrir se fevereiro tem 28 ou 29 dias. Para resolver este problema, devemos dividir o ano por 4, se der resto 0, então o ano é bissexto e com isso fevereiro tem 29 dias, caso o resto for diferente de zero o ano não será bissexto e com isso fevereiro terá 28 dias. Ver exemplo nos exercícios abaixo. 2º Problema: Realizar a contagem de quantos dias o capital foi aplicado. É importante lembrar que o primeiro dia de aplicação é contado e que o dia de resgate da aplicação não é contado. 3º Problema: Quando for resolver um exercício de juros simples exato, a taxa deve estar no período anual ou diário. Por que a taxa deve estar no período anual? Para que ao transformá-la para diária, possamos dividi-la por 366 ou 365, sendo assim teremos o que chamamos de taxa diária exata. Se a taxa estiver ao dia, não precisamos transformá-la. Caso a taxa não esteja no período anual, devemos transformá-la.

11 Matemática Financeira 11 Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Calcular o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano? a) R$ 70,00 b) R$ 72,00 c) R$ 74,00 d) R$ 76,00 e) R$ 78,00 C = i = 5% a.a. = t = 146 d = a 365 J = C. i. t J = J = 76 LETRA D Prática 02/01/ /05/ o ano de 2005 não é bissexto, em virtude disso fevereiro terá 28 dias. 1. Calcular o juro simples exato do capital R$ 5.000,00, colocado, à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano? a) R$ 170,00 b) R$ 120,00 c) R$ 110,00 d) R$ 100,00 e) R$ 80,00 2. A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2003 ao dia 2 de julho de Calcule os juros exatos obtidos, à taxa de 10% ao mês. a) R$ 90,14 b) R$ 90,00 c) R$ 1080,00 d) R$ 1081,64 e) R$ 588,27 3. Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de 1990 e o dia 14 de junho de 1991 havia rendido juro simples exato no valor de 6/5 de seu próprio valor. A que taxa anual o capital foi aplicado? a) 107,35% b) 95% c) 102,5% d) 110,5% e) 98,5% PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO Prazo Médio C. i. t Tm C. i Onde Tm é o prazo médio Taxa Média C. i. t Im C. t Im é a taxa média Capital Médio C. i. t Cm i. t Cm é o capital médio Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 8% a.m., R$ 200,00 a 9% a.m. e R$ 100,00 a 6%a.m., sabe-se que o prazo de aplicações são iguais. Qual a taxa média da aplicação? a) 10%a.m. b) 18%a.m. c) 8%a.m. d) 7,5%a.m. e) 25%a.m. C 1 = 300 i 1 = 8% a.m. t 1 = t C 2 = 200 i 2 = 9% a.m. t 2 = t C 3 = 100 i 3 = 6% a.m. t 3 = t

12 12 Matemática Financeira im = ( C. i. t ) ( C. t ) t t t = 600. t im = 8% a.m. LETRA C t t t = 300. t t t = t 600. t i i i tm = 232 d LETRA B i = i 100. i 2. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 4% a.m. durante 2 meses, R$ 200,00 a 3% a.m. durante 3 meses e R$ 100,00 a 2%a.m. durante 3 mês. Qual a taxa média da aplicação? a) 8,0%a.m. b) 5,0%a.m. c) 6,5%a.m. d) 3,2%a.m. e) 15,0%a.m. C1 = 300 i1 = 4% a.m. t1 = 2 m ( C. i. t ) ( C. t ) C2 = 200 i2 = 3% a.m. t2 = 3 m C3 = 100 i3 = 2% a.m. t3 = 3 m im = = = = 1500 im = 3,2% a.m. LETRA D 3. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: R$ 40,00 em 180 dias, R$ 35,00 em 200 dias e R$ 25,00 em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos? a) 302 b) 232 c) 280 d) 240 e) 252 C 1 = 40 t 1 = 180 d i 1 = i ( ) C 2 = 35 T 2 = 200 d i 2 = i C. i. t ( ) tm = C. i = 40. i i i 35. i. 3 C 3 = 25 t 3 = 360 d i 3 = i 25. i i = 4. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 600,00 a 8% a.m., R$ 500,00 a 9% a.m. e R$ 400,00 a 3%a.m.. Qual o capital médio da aplicação? a) R$ 500,00 b) R$ 451,00 c) R$ 560,50 d) R$ 525,00 e) R$ 475,00 = C 1 = 600 i 1 = 8% a.m. t 1 = t Cm = ( C. i. t ) ( i. t ) = C 2 = 500 i 2 = 9% a.m. t 2 = t t t t 20. t Cm = 525 LETRA D Prática C 3 = 400 i 3 = 3% a.m. t 3 = t t t t 8. t + 9. t + 3. t = Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 8% a.m., a terça parte do seu capital a 9% a.m. e o restante à taxa de 6%a.m.. Qual a taxa média da aplicação? a) 10%a.m. b) 18%a.m. c) 8%a.m. d) 7,5%a.m. e) 25%a.m. 2. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: 40% dos seus recursos em 180 das, 35% de seus recursos em 200 dias e o restante em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos? a) 302 d) 240 b) 232 e) 252 c) 280

13 Matemática Financeira Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 16% ao mês, a terça parte do seu capital a 12% ao mês e o restante à 6% ao mês. Qual a taxa média da aplicação? a) 10% a.m. b) 18 % a.m. c) 13% a.m. d) 11% a.m. e) 20% a.m. CONVENÇÃO EXPONENCIAL Irei colocar um ponto de vista meu neste tópico que não interessa muito ao leitor, porém é muito importante a citação deste para compreender melhor a convenção exponencial. Muitos autores classificam este ponto com uma matéria a ser explicada, eu não concordo com este ponto de vista, pois convenção exponencial nada mais é do que juros composto e esta matéria já foi explicada no capítulo de juro composto. Portanto não há o que explicar, o único ponto que preciso esclarecer é que esta matéria é Juro Composto. Veja o exemplo abaixo para entender que não existe nada a explicar. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Um investidor aplicou R$ ,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1+10%) 1/3 = 1,0323) a.) R$ ,91 b.) R$ ,84 c.) R$ ,47 d.) R$ ,11 e.) R$ ,81 C = t = 40m = 3a e 4 m ( ) 12 3 i = 10% a.a. M =? M = C. (1 + i)t 110% 1 3 M = M = (1 + 10%)3. 110% M = , ,0323 M = 13739,91 LETRA A Normalmente encontramos nos livros a seguinte fórmula de convenção exponencial t ( 1+ i ).( i )q M = C. 1+ Onde: t é o tempo inteiro p 1 3 p é o tempo fracionário q CONVENÇÃO LINEAR A convenção linear é a utilização de juro composto e juro simples ao mesmo tempo em uma aplicação. Juro composto para o tempo inteiro e juro simples para o tempo fracionário. Veja o exemplo abaixo para entender melhor o que estou escrevendo. Exercícios Exemplos 2. Um investidor aplicou R$ ,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção linear? a) R$ ,25 b) R$ ,67 c) R$ ,27 d) R$ ,48 e) R$ ,55 C = t = 40m = 3a e 4 m ( ) 12 3 i = 10% a.a. M =?

14 14 Matemática Financeira M = C. (1 + i)t 110% 1 3 M = A resolução do exercício irá ser iniciada deste ponto em diante. Acima, temos a resolução de convenção exponencial. M = (1 + 10%) %. 3 M = ,331. 1,0333 M = 13753,67 LETRA B Normalmente encontramos nos livros a seguinte fórmula de convenção linear t p M = C.( 1 + i ). 1 + i. q Onde: t é o tempo inteiro p q é o tempo fracionário Perceba na fórmula a conclusão já explicada p 1 + i. acima. ( 1+ i ) t é juro composto e q é juro simples. Estamos misturando juro composto e juro simples nesta matéria (convenção linear). Comparando estas convenções O montante da convenção linear será sempre maior que o montante calculado pela convenção exponencial, pois entre 0 e 1, juro simples é maior que juro composto. Veja o exemplo abaixo: (1+10%) 1/3 = 1,0323 juro composto %. 3 = 1,0333 juro simples Prática 1. Qual o montante de um capital de R$ ,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção exponencial (dado que (1 + 10%) 1/2 = 1,0488) a) R$ ,00 b) R$ ,67 c) R$ ,58 d) R$ ,67 e) R$ ,97 2. Qual o montante de um capital de R$ ,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção linear. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 3. Um investidor aplicou R$ ,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1 + 15%) 2/3 = 1,0977) a) R$ ,87 b) R$ ,84 c) R$ ,47 d) R$ ,11 e) R$ ,81 4. Um investidor aplicou R$ ,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção linear? a) R$ ,25 b) R$ ,25 c) R$ ,27 d) R$ ,48 e) R$ ,55

15 Matemática Financeira 15 DESCONTO COMPOSTO Desconto é uma operação financeira que retira do valor de um título um certo valor, em virtude do fato de não ter sido respeitado o prazo deste título. O valor que receberemos após ter sido retirado o desconto do valor do título é chamado de valor atual. Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do pelo título (valor atual). D = N - A Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face ou valor futuro ou valor do título A = valor atual ou valor do resgate ou valor resgatado ou valor presente ou valor descontado Temos um único tipo de DESCONTO COM- POSTO a ser estudado, pelo edital: DESCONTO RACIONAL (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual. t [( 1+ i) 1] f Dr = A. Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional: t ( i ) f N = A. 1+ D r t [( 1+ i) 1] = f A. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula. 2º Tipo: DESCONTO COMERCIAL ou (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual. D c f [ 1 ( i) ] t = N. 1 Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional: A = N. 1 D D c c onde D c = Desconto racional i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento do título t ( i ) f f [ 1 ( i) ] t = N. 1 1 = A. t ( 1 i) t f ( 1 i) f N = valor nominal A = valor atual. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula. Exercícios Exemplos Resolvidos D r = onde do título N. t f ( 1+ i) t ( 1+ i) 1 f Dr = Desconto racional i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento N = valor nominal A = valor atual. 1. Determinar o valor do desconto que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,54 d) R$ ,56 e) R$ ,25

16 16 Matemática Financeira D =? N = t f = 4 m i = 8% a.m. N = A. (1 + i) t = A. (1 + 8%) = A. 1,3605 A = D = N A D = LETRA A 2. Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ ,00. Qual o valor do título? a) R$ ,26 b) R$ ,50 c) R$ ,54 d) R$ ,00 e) R$ ,56 4. O valor atual de um título de R$ ,00 vencível em 4 meses é R$ ,72. Qual a taxa de juros compostos vigente? a) 9% a.m. b) 15% a.m. c) 10% a.m. d) 18% a.m. e) 8% a.m. N = t = 4 m A = ,72 i =?% a.m. N = A. (1 + i) t = ,72. (1 + i) = (1 + i) ,7 2 1,4116 = (1 + i) 4 t f = 6 m i = 8% a.m. A = N =? N = A. (1 + i) t N = (1 + 8%) 6 N = ,5869 N = LETRA D procurar na linha do tempo 4, o fator 1,4116 e ver a qual taxa está associado este fator. i = 9% a.m. LETRA A 3. Um título vale em sua data de vencimento, R$ ,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto composto de R$ ,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a. a) 4 anos b) 3 anos c) 2 anos d) 1 ano e) 7 anos N = D = A = N D A = t =? a i = 10% a.a. N = A. (1 + i) t = (1 + 10%) = (1 + 10%) t 1,21 = (1 + 10%) t procurar na coluna do 10% o fator 1,21 e ver a qual tempo está associado este fator. t = 2 a LETRA C 5. Um título obteve um desconto de R$ 4.641,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título? a) R$ 8.500,00 b) R$ 9.500,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.000,00 e) R$ ,00 D = 4641 A =? t f = 4 m i = 10% a.m. N = A. (1 + i) t N = A. (1 + 10%) 4 N = A. 1,4641 D = N A 4641 = 1,4641A - A 4641 = 0,4641A A = LETRA E 6. Determinar o valor do desconto comercial que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

17 Matemática Financeira 17 D c =? N = t f = 4 m i = 8% a.m. A = N. (1 - i) t A = (1-8%) 4 A = ,7164 A = D = N A D c = LETRA B 3. Se existe a possibilidade de ganhar 3% a.m., que desconto racional devo exigir na compra de um título no valor nominal de R$ ,00, vencível em 2 meses? a) R$ 906,98 b) R$ 868,18 c) R$ 110,11 d) R$ 868,78 e) R$ 915,12 7. Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado comercialmente a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ ,00. Qual o valor do título? a) R$ ,35 b) R$ ,00 c) R$ ,54 d) R$ ,56 e) R$ ,45 A = N =? tf = 6 m i = 8% a.m. Prática A = N. (1 - i) t = N. (1-8%) = N. 0,6064 A = LETRA B 1. Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 8.000,00 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento. Qual é o valor de resgate, se a taxa composta de juros corrente for de 4% a.m.? a) R$ 6.638,66 b) R$ 5.832,63 c) R$ 3.238,22 d) R$ 5.855,52 e) R$ 6.838,63 2. Pedro receberá R$ ,00 como parte sua numa herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes da data de recebimento propõe a um amigo a venda de seus direitos por R$ ,05. Que taxa de juros anual Pedro pagou? a) 5,00% a.a. b) 73,77% a.a. c) 9,50% a.a. d) 79,59% a.a. e) 55,55% a.a. 4. Uma Nota Promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 6,0% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória R$ ,00. Qual o valor do desconto concedido? a) R$ ,42 b) R$ ,43 c) R$ ,82 d) R$ ,88 e) R$ ,13 5. Em um título no valor nominal de R$ 6.500,00, o desconto racional sofrido foi de R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de mercado for de 8,0% ao mês, qual deverá ser o prazo de antecipação? a) 3 meses b) 6 meses c) 7 meses d) 12 meses e) 2 meses 6. Determinar o prazo de antecipação de um título de R$ ,30, que deverá ser descontado a 9% ao mês de desconto composto e que gerou um valor descontado de R$ ,00. a) 4 meses b) 8 meses c) 1 ano e 8 meses d) 10 meses e) 2 anos e 3 meses 7. Um título vai ser resgatado dois meses antes do seu vencimento. Sabendo que foi adotado o critério do desconto racional composto, a taxa de 15% a.m., qual o valor descontado desse título de valor nominal igual a R$ ,00? a) R$ ,37 b) R$ ,25 c) R$ ,35 d) R$ ,57 e) R$ ,22

18 18 Matemática Financeira 8. Um título vale em sua data de vencimento, R$ ,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto comercial composto de R$ ,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a. a) 4 anos b) 3 anos c) 2 anos d) 1 ano e) 7 anos 9. O valor atual comercial de um título de R$ ,00 vencível em 4 meses é R$ ,00. Qual a taxa de juros compostos vigente? a) 9% a.m. b) 15% a.m. c) 10% a.m. d) 18% a.m. e) 8% a.m. 10. Determinar o valor do desconto bancário que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto, sabendo que os encargos administrativos é de 5%? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Descontando-se um título de valor nominal de R$ ,00 dois meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 3% ao mês e de acordo com o critério do desconto comercial composto, o valor do desconto na operação é de a) R$ 600,00 b. R$ 610,00 c) R$ 615,15 d) R$ 620,55 e) R$ 639,45 DESCONTO SIMPLES Desconto é uma operação financeira que retira do valor de um título um certo valor, em virtude do fato de não ter sido respeitado o prazo deste título. O valor que receberemos após ter sido retirado o desconto do valor do título é chamado de valor atual. Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do título (valor atual). D = N - A Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face ou valor futuro ou valor do título A = valor atual ou valor do resgate ou valor resgatado ou valor presente ou valor descontado Temos dois tipos de DESCONTO SIMPLES a ser estudado, pelo edital: DESCONTO RACIONAL (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual. Dr = A. i. t f Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional: N = A. ( 1 + i. t f ) Dr = A. i. t f Dr = N. i. t f. ( 1 + i. t f ) Onde Dr = Desconto racional i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento do título N = valor nominal A = valor atual. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula DESCONTO COMERCIAL (Desconto por fora) é juros que pagamos, calculado sobre o valor nominal. Dc = N. i. t f Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples comercial: A = N. ( 1 - i. t f )

19 Matemática Financeira 19 Dc = N. i. t f Dc = A. i. t f. ( 1 - i. t f ) Onde Dc = Desconto comercial i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento do título N = valor nominal A = valor atual. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula Relação entre os descontos racional e desconto comercial 1.) Dc > Dr 2.) Dc = Dr. ( 1 + i. t f ) Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Qual é o valor racional nominal de um título, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois meses antes do vencimento e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.? a) R$ 180,00 b) R$ 192,00 c) R$ 200,00 d) R$ 220,00 e) R$ 240,00 N =? N = A (1 + i. t) A = 200 t f = 2 m 10 i = 10% a.m. = N = 200. (1 +. 2) N = 200. ( ) Qual é o valor comercial atual de um título, dois meses antes do vencimento, cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.? a) R$ 180,00 b) R$ 192,00 c) R$ 200,00 d) R$ 220,00 e) R$ 240,00 A =? t f = 2 m N = i = 10% a.m. = 100 A = N (1 i. t) 10 A = 240. (1. 2) A = 240. ( ) 100 A = 192 LETRA B 3. Calcule o desconto por dentro e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00 c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00 d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00 e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 D r =? 10 A =? i = 120% a.a. = 10% a.m. = N = t f = 5 m N = A (1 + i. t) = A. (1 +. 5) = A. ( ) 100 A = 2000 D r = D r = 1000 LETRA A N = 240 LETRA E

20 20 Matemática Financeira 4. Calcule o desconto por fora e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00 c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00 d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00 e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 D c =? A =? 10 i = 120% a.a. = 10% a.m. = N = t f = 5 m A = N (1 i. t) 10 A = (1. 5) A = ( ) A = D c = D c = 1500 LETRA B Prática 1. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00.com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual racional deste título hoje? a) R$ 9.600,00 b) R$ 8.700,00 c) R$ 9.500,00 d) R$ 8.000,00 e) R$ ,00 2. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual racional deste título 2 meses antes do seu vencimento? a) R$ b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.615,00 e) R$ ,00 3. Se tenho um título com valor nominal de R$ ;00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual! o valor atual racional deste título 4 meses depois de adquirido o título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 8.225,00 d) R$ 9.220,00 e) R$ ,0 4. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 e com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24%.a.a., qual o valor atual comercial deste título 2 meses antes do seu vencimento? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.600,00 e) R$ ;00 5. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual comercial deste título 4 meses depois de adquirido o título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 8.225,00 d) R$ 9.220,00 e) R$ ,00 6. Determine o desconto racional obtido ao reportar-se uma letra de valor nominal R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de seu vencimento. a) R$ 12,000,00 b) R$ 1.200,00 c) R$ 120,00 d) R$ ,00 e) R$ 12,00 7. Determine a desconto comercial sofrido por um título de R$ 7.200,00 descontado a 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de 10% a.m.. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 8.440,00 d) R$ 1.440,00 e) R$ ,00