DISCIPLINA: ECONOMIA DA ENGENHARIA I Professor JORGE JUNIOR E.MAIL:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO DISCIPLINA: ECONOMIA DA ENGENHARIA I Professor JORGE JUNIOR E.MAIL: Apostila integralmente baseada no trabalho da Prof. Drª MÁRCIA REBELO DA SILVA (uso apenas para acompanhamento em sala de Aula, Todos os direitos autorais reservados à 1.1 Objetivo da Matemática Financeira autora) A Matemática Financeira por tratar, em essência, do estudo do dinheiro ao longo do tempo, tem como objetivo básico fazer análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em vários momentos. Assim sendo, nada mais é do que o estudo da equivalência de "valores datados". 1.2 Conceito de Juros Juro é a remuneração a qualquer título do capital utilizado durante certo período de tempo sob o ponto de vista do investidor, isto é, a renda do capital investido Taxa de Juros O elemento fundamental para a transposição e análise de valores datados é a taxa de juros, isto é, o coeficiente que determina o valor dos juros. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (dias, meses, trimestres, etc.) e podem ser representados equivalentemente de duas maneiras: taxa unitária e taxa percentual Taxa Unitária Refere-se à unidade do capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo. Ex. 1: Taxa de 0,30 ao mês, então a aplicação de $ 1,00, por 1 mês gera um juro de $ 0,30. Taxa Unitária = 0,30 a.m. (1,00) (0,30) = 0,30 1

2 Taxa Percentual Refere-se aos "centos do capital", isto é, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Ex. 2 : Um capital de $ 100,00 rende $ 10,00 em 1 mês, então a taxa de juros é de 10% a.m. Taxa percentual = 10 % a.m. (100,00) (10 / 100) = $ 10,00 NOTA: Para transformar a taxa percentual em unitária basta dividir a notação da porcentagem por 100. Para transformar a taxa unitária em pecentual basta multiplicar por 100 e acrescentar " o símbolo que representa o porcento que é %. Ex. 3: 24% a.m. Taxa percentual a taxa unitária equivalente 24/100 = 0,24 a.m Nota: Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros Diagrama do Capital no Tempo Como os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo, o fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, permitindo assim, uma melhor visualização do que ocorre com o capital. Convenções: a) Reta horizontal: registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação, com a progressão de tempo dando-se da esquerda para a direita. 2

3 b) Períodos de tempo: aparecem em intervalos contíguos, de modo que cada número representa os períodos de tempo (datas) acumulados. O ponto zero indica o momento inicial. c) Setas: significam entradas de dinheiro (para cima) da linha de tempo ou saídas de dinheiro (para baixo) da linha de tempo. d) Tamanho das setas: deveria representar proporcionalmente o valor do capital que está entrando ou saindo Cálculo dos Juros No regime de juros simples somente o principal produz juros durante o período de tempo da transação. Os juros que um capital produz são constantes e proporcionais ao capital aplicado, na razão da taxa de juros. J = P i n Onde: J: Juros; Rendimento => [$] Expresso em valores monetários P: Principal ou Capital, ou Valor Atual de S, ou Valor Descontado de S (S = Montante final), ou Valor Presente de S. => [$] i: Taxa de Juros Unitária; Rentabilidade unitária => [ 1/tempo] n: Período de Tempo da Transação => [tempo]. Ex. 4: Um capital de $ ,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 10% a.m. durante 9 meses. Qual o valor dos juros? P=$ ,00 n= 9meses i=10%a.m. J=? Solução: J= Pin J= $ ,00 x 0,10/mês x 9 meses J = $ ,00 3

4 Ex. 5: Um investidor fez duas aplicações, sendo que uma delas o capital foi de $ 4.500,00 por 4,5 trimestres a uma taxa de 9% a.t. e a outra, o capital foi 50% superior, a taxa de 20% a.s., e o prazo de três semestres. Qual será o total de rendimento das duas aplicações se o regime for de juros simples? P 1 = $ 4.500,00 i 1 = 9% a.t. n 1 = 4,5 trim. P 2 = 4.500,00 + (50/100) (4.500,00) = $ 6.750,00 i 2 =20% a.s. n 2 =3sem. J1 + J2 =? Solução: J= Pin J1 + J2 = P 1 (i 1 ) (n 1 ) + P 2 (i 2 ) (n 2 ) J1 + J2 = 4.500,00 (0,09) (4,5) ,00 (0,2) (3) J1 + J2 = 1.822, ,00 J1 + J2 = $ 5.872, Fórmulas Derivadas Cálculo do Montante Montante é o capital acrescido dos Juros. Se S=P+J e; J=Pin, então: S = P + P i n colocando P em evidência fica: S= P[1+(i)(n)] Onde: S: a quantia, ou montante, ou valor acumulado de P, ou valor de maturidade de P, ou valor de vencimento => [$]. (1 + i n): fator de acumulação a juros simples, ou valor acumulado de $ 1,00. Ex. 6: Qual é o valor acumulado no final de 200 dias para um capital $ 6.900,00 que ficou aplicado a uma taxa de juros simples de 0,4% a.d.? P = $ 6.900,00 i = 0,4% a.d. n = 200 dias S=? 4

5 Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] S= $ 6.900,00 [1+ (0,004/dia) (200 dias)] S = $ ,00 Solução2: S= P+J S= $ 6.900,00 + [($ 6.900,00) (0,004/dia) (200 dias)] S = $ ,00 Ex. 7: Calcular o valor do montante e dos juros para um capital de $ 2.500,00, prazo de três meses e meio, e taxa de juros simples de 0,2 a.m.? P = $ 2.500,00 i = 0,2 a.m n = 3,5 meses. S=? J=? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] S= $ 2.500,00 [1+ (0,2/mês) (3,5 meses)] S = $ 4.250,00 J = Pin = S P J= (0,2) (3,5) = 4.250, ,00 J = $ 1.750,00 Solução2: S= P+J S= $ 2.500,00 + [($ 2.500,00) (0,20/mês) (3,5 meses)] S = $ 4.250,00 Ex. 8: Foram aplicados $ ,00 por cinco semestres e meio a uma taxa de juros simples de 24% a.s. Ao final do prazo, 2/5 do valor de resgate foi aplicado a uma taxa de juros simples de 7,5% a.m. e por 19 meses e o restante a uma taxa de juros simples de 8,5% a.t e por quatro trimestres. Calcular o valor resgatado das duas últimas aplicações? P = $ ,00 i = 24% a.s. n = 5,5 sem. P 2 =(2/5)S 1 i = 7,5% a.m. n=19m. P 3 =(3/5)S 1 i = 8,5% a.t. n=4trim. S 2 + S 3 =? Solução: S = P [1 + (i) (n)] S 1 = ,00 [1 + (0,24) (5,5)] = $ ,00 5

6 S 2 = (2/5) (42.688,00) [1 + (0,075) (19)] = $ ,36 S 3 = (3/5) (42.688,00) [1 + (0,085) (4)] = $ ,15 S 2 + S 3 = , ,15 S 2 + S 3 = $ , Cálculo do Capital; da Taxa de Juros e do Prazo Ex. 9: Calcular o capital que ficou aplicado a juros simples durante dois anos a uma taxa de 24% a.a., rendendo juros de $ 3.000,00? n = 2 anos J = $ 3.000,00 i = 24% a.a. P=? Solução: J=Pin 3.000,00 =P [(0,24) (2)] 3.000,00 =P (0,48) 3.000,00 / 0,48 = P P = $ 6.250,00 Ex. 10: Sabendo-se que o valor recebido no final de uma aplicação a uma taxa de juros simples de 0,70 a.s. por 3,5 semestres foi $ ,00, qual foi o valor aplicado? i = 0,70 a.s. n = 3,5 sem. S = $ ,00 P=? Solução: S = P [1 + (i) (n)] ,00 = P [1 + (0,70) (3,5)] ,00 = P (1 + 2,45) ,00 / 3,45 = P P = $ 3.478,26 Ex. 11: Um investidor fez duas aplicações diferentes a mesma taxa de juros simples de 10% a.m., sendo que uma das aplicações foi por 11 meses e a outra por 17 meses. Se o total dos juros foi de $ ,00 e o total das aplicações $ ,00, qual foi o valor de cada aplicação? i = 10% a.m. n 1 = 11 meses. n 2 = 17 meses. 6

7 J1 + J2 = $ ,00 P1 + P2 = $ ,00 P 1 =? P 2 =? Solução: J= Pin P 1 (i) (n 1 ) + P 2 (i) (n 2 ) = ,00 P 1 (0,1) (11) + P 2 (0,1) (17) = ,00 P 1 (1,1) + P 2 (1,7) = ,00 1,1 (22.000,00 P 2 ) + 1,7 P 2 = , ,00 1,1 P 2 + 1,7 P2 = ,00 0,6 P 2 = 7.800,00 P 2 = $ ,00 P 1 + P 2 = $ ,00 P 1 = $ ,00 $ ,00 P 1 = $ 9.000,00 Ex. 12: Um capital de $ 3.450,00 foi aplicado durante 3 anos, rendeu de juros simples $ 669,65, qual foi a taxa de juros anual? P = $ 3.450,00 n = 3 anos J = $ 669,65 i =? (a.a) Solução: J= Pin $ 669,65 = ($ 3.450,00) (i) (3 anos) i= ($ 669,65) / [($ 3.450,00) (3 anos)] i = 0,0647 a.a. = 6,47% a.a. Nota: A taxa encontrada através das fórmulas será sempre unitária. Para encontrar a taxa percentual é necessário fazer a conversão. Ex. 13: Por uma aplicação de $ 2.000,00 por sete meses o montante foi $ 7.500,00. Qual foi a taxa de juros simples da aplicação? P = $ 2.000,00 n = 7 meses S = $ 7.500,00 i =? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] $ 7.500,00 = $ 2.000,00 [1 + (i) 7 meses] $ 7.500,00 = 1 + (i) (7 meses) $ 2.000,00 7

8 3,75= 1+(7)(i) meses 3,75 1 = (7) (i) meses. 2,75/7 meses = i i = 0,3929 a.m. = 39,29% a.m. Solução2: J= Pin = S P J= $ 7.500,00 $ 2.000,00 J = $ 5.500,00 J= Pin 5.500,00 = ($ 2.000,00) (i) (7 meses) i = $ 5.500,00 ($ 2.000,00) (7 meses) i = 0,3929 a.m. = 39,29% a.m. Ex. 14: Se o valor de resgate de uma aplicação for 45% superior ao valor aplicado e o prazo da aplicação for de 3,5 anos, qual será a rentabilidade em regime de capitalização simples? S=P+0,45P= 1,45P n=3,5anos i=? Solução: S = P [1 + (i) (n)] 1,45P = P [1+(i) (3,5)] 1,45 = 1+(i) (3,5) 1,45 1 = 3,5 i I = 0,45 / 3,5 i = 0,1286 a.a. = 12,86% a.a Ex. 15: Por quanto tempo foi aplicado um capital de $ 1.500,00, sabendo-se que rendeu um montante de juros simples de $ 3.000,00 à taxa de 48% a.t. P = $ 1.500,00 J = $ 3.000,00 i = 48% a.t. n=? Solução: J= Pin $ 3.000,00 = ($ 1.500,00) (0,48 / trim) (n)] n= ($ 3.000,00) (trim) ($ 1.500,00) (0,48) n = 4,167 trim 8

9 Ex. 16: Telma investiu $ 1.000,00 a uma taxa de 20% a.s. a juros simples. O montante gerado foi $ 3.000,00? Por quanto tempo ficou investido o dinheiro? P = $ 1.000,00 i = 20% a.s. S = $ 3.000,00. n=? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] $ 3.000,00 = $ 1.000,00 [1 + (0,20/sem) (n)] $ 3.000,00 = 1 + (0,20/sem) (n) $ 1.000,00 3,0 = 1 + (0,20/sem) (n) 3,0 1 = (0,20/sem) (n) 2,0 sem = n 0,20 n = 10 sem Solução2: J=S P= Pi n J = 3.000, ,00 = 2.000,00 = (1.000,00) (0,20) (n) n= (2.000,00) / [(1.000,00) (0,20)] n = 10 sem Homogeneidade entre Taxa e Tempo Nos cálculos financeiros, devemos estar atentos para o fato de que a taxa de juros e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo expressa pelo período financeiro, isto é, se a taxa de juros for ao ano, o tempo deverá ser em anos; ou se o tempo é expresso em meses a taxa de juros terá quer ser em meses. Mas por hipótese se isto não ocorrer, podemos transformar o tempo ou a taxa para podermos obter a homogeneidade entre as unidades de tempo. 9

10 Ex. 17: O juro simples de um capital de $ 2.000,00 colocado à taxa de 10% a.a., durante seis meses será igual a: P = $ 2.000,00 i = 10% a.a. n = 6 meses J=? Solução 1: J = P i n (Mudando o tempo) n = 6 meses n= (6 meses) (1 ano/12 meses) = 0,5 anos J= ($ 2.000,00) (0,10/ano) (0,5 anos) J = $ 100,00 Solução 2: J = P i n (Mudando a taxa) i = 10% a.a. = (0,10/ano) (1 ano /12 meses) i = (0,10) / (12 meses) J= ($ 2.000,00) (0,10/12 meses) (6 meses) J = $ 100,00 Nota: Quando multiplicamos a equação por uma unidade não promovemos alteração, neste caso como "1 ano = 12 meses", então, "1ano / 12 meses = 1 unidade" Solução3: J= P i n J= ($ 2.000,00) (0,10) (6 meses) 1 ano ano 12 meses J = $ 100,00 Ex. 18: Um capital de $ 4.500,00 aplicado durante seis trimestres rende de juros simples de $ 2.000,00. Qual é a taxa de juros anual? P = $ 4.500,00 n = 6 trim. J = $ 2.000,00 i =? (a.a) n = (6 trim) (1 ano/4 trim) = 1,5 anos Solução1: J=Pin (Muda-se o prazo da aplicação) $ 2.000,00 = ($ 4.500,00) (i) (1,5 anos). i = 0,2963 a.a = 29,63 % a.a 10

11 Solução2: J= Pin (Utiliza o período de aplicação em trimestres e depois de calculado a taxa de juros muda-se a taxa) $ 2.000,00 = ($ 4.500,00) (i) (6 trim.) i= (0,0741 / trim) (4 trim / ano) i = 0,2963 a.a = 29,63 % a.a. Solução3: J= P i n ($ 2.000,00) = $ 4.500,00 (i) (6 trim) (1 ano/4 trim) i= (0,0741) (4/ano) i = 0,2963 a.a = 29,63 % a.a Considerações sobre Taxas de Juro Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos. Ex. 19: Verificar se 12 % a.s. e 24 % a.a. são proporcionais. Solução: (1) (0,12/sem) (ano/0,24) = (0,50) (ano/sem) (= quociente entre as taxas) (2) (1 ano/2 sem) = (0,50) (ano/sem) (= quociente entre os períodos) Como: (1) = (2) que são proporcionais. Ex. 20: Verificar se 18 a.a. e 3% a.t. são proporcionais Solução: (1) (0,18/ano) (trim/0,03) = (6 trim/1 ano) (= quociente entre as taxas) (2) 4 trim/1 ano (= quociente entre os períodos) Como: (1) não é igual a (2) que não são proporcionais. 11

12 1.8.2 Taxas Equivalentes: Duas taxas são ditas equivalentes se aplicadas a um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo período de tempo, ambas taxas produzirem o mesmo montante. Nota: No Regime de Juros Simples as taxas proporcionais são igualmente equivalentes. Ex. 21: Verificar se 12 % a.s. e 24 % a.a. são equivalentes. Solução: (1) P=$1,00 i=12%a.s. n=1ano (2) P=$1,00 i=24%a.a. n=1ano (1) S = $ 1,00 [1 + (0,12/sem) (2 sem)] = $ 1,24 (2) S = $ 1,00 [1 + (0,24/ano) (1 ano)] = $ 1,24 Como: (1) = (2) são equivalentes; e se são equivalentes também são proporcionais (em regime de juros simples) Taxa Nominal e Taxa Efetiva A taxa nominal é aquela adotada geralmente nas operações financeiras. A taxa efetiva é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Assim sendo, nem sempre a taxa efetiva é igual a taxa nominal. Os juros antecipados, os impostos, as taxas, as comissões, os artifícios usados nos cálculos de juros fazem com que tanto no regime de capitalização a juros simples quanto no regime de capitalização a juros compostos as taxas efetivas e nominais difiram. Ex. 22: Em uma aplicação de $ ,00 por oito meses a taxa de juros simples de 84% a.a. é pago uma alíquota de 15% de Imposto de Renda. Qual é a rentabilidade efetiva? P = $ ,00 n = 8 meses i = 84% a.a. i ef =? IR = 15% (alíquota de IR é sobre o rendimento que é os Juros) 12

13 Solução: J=Pin J = (10.000,00) (8) (0,84/12) J = $ 5.600,00 IR = (0,15) (5.600,00) IR = $ 840,00 J L =J IR J L = 5.600,00 840,00 J L = $ 4.760,00 J L = P i ef n 4.760,00 = ,00 (i ef ) (8) i ef = 5,95% a.m. Ex. 23: Uma televisão está sendo vendida por $ 760,00 à vista, mas em 2 vezes (um pagamento na compra e outro 30 dias após) terá que pagar a mais 10% sobre o preço à vista. Qual a taxa efetiva que está sendo cobrada, se o regime for de capitalização simples? Preço à vista = $ 760,00 Preço em 2 vezes = 760,00 + 0,10 (760,00) = $ 418,00 2 Parte financiada = 760,00 418,00 = $ 342,00 $ 760,00 $ 418,00 $ 418,00 Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] 418,00 = 342,00 [1 + (i) (1)] i ef = 0,2222 a.m. = 22,22% a.m. Solução2: J= Pin 418,00 342,00 = 342,00 (i) (1) 76,00 / 342,00 = i 13

14 i f = 0,2222 a.m. = 22,22% a.m. Ex. 24: Um varejista pagou por um empréstimo de $ ,00 de oito meses uma taxa de 35% a.a. de juros simples. Se os juros fossem pagos antecipadamente, qual seria a taxa efetiva cobrada no empréstimo? P = $ ,00 n = 8 meses. i = 35% a.a. i ef =? Solução1: J=Pin J= ,00 (0,35) (8/12) J = $ 3.467, ,33 = (14.860, ,33) (i ef ) (8) i ef = 0,038 a.m. = 3,80% a.m. Solução 2: S = P [1 + (i) (n)] ,00 = (14.860, ,33) [1 + (i ef ) (8)] ,00 = 1 + (i ef ) (8) , ,33 1,3043= 1 + (i ef ) (8) 0,3043 / 8 = i ef i ef = 0,038 a.m. = 3,80% a.m 14

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