Data de Equivalência no Futuro Data de Equivalência no Passado Equivalência de Capitais Desconto Comercial...

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1 Aula 22 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional simples e desconto comercial simples. 22. Juros Simples Introdução Taxas de Juros Taxa Nominal Taxa Efetiva Taxa Proporcional Taxa Equivalente Juros Simples Tipos de Juros Juros Exatos Juros Comerciais ou Ordinários Juros Bancários Descontos Simples Desconto Comercial ou por Fora (D c ) Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (D r ) Desconto Bancário (D B ) Equivalência de Capitais Desconto Racional Data de Equivalência no Futuro Data de Equivalência no Passado Equivalência de Capitais Desconto Comercial Data de Equivalência no Futuro Data de Equivalência no Passado Fluxos de Caixa e de Taxas Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos... 4

2 22. Juros Simples. E aí? Preparado para começar a longa viagem pelo mundo da matemática financeira? Então, vamos começar nossa jornada! 22.. Introdução O que são juros? Juros correspondem a uma remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i, durante determinado tempo t. Para representar os juros, podemos utilizar: Taxa Percentual: p% Taxa Unitária: 00 p Fator = + p% = + 00 p Exemplo: 20 20% (Taxa Percentual) = = 0,20 (Taxa Unitária) 00 Exemplo: Por quanto devemos multiplicar X para atualizá-lo após um aumento de 56%. Valor Corrigido de X = 00%.X + 56%.X = 56%.X =,56.X Exemplo: Por quanto devemos multiplicar X para atualizá-lo após uma redução de 56%. Valor Corrigido de X = 00%.X - 56%.X = 44%.X = 0,44.X Para calcular os percentuais acumulados, devemos multiplicar os fatores. Exemplo: Suponha que a inflação, em determinado trimestre, foi de 5%, 6% e 7% ao mês, respectivamente. Qual a inflação acumulada nesse trimestre? Considere um valor inicial de % x 00 = 05 (primeiro mês) % x 05 =,30 (segundo mês),3 + 7% x,3 = 9,09 (terceiro mês) Fator de Inflação (mês ) = + 5% =,05 Fator de Inflação (mês 2) = + 6% =,06 Fator de Inflação (mês 3) = + 7% =,07 Ou, calculamos os percentuais acumulados =,05 x,06 x,07 =,909 Índice de inflação no período =,909 = 0,909 = 9,09% Valor Corrigido = 00 x,909 = 9,09 2

3 Exemplo: Suponha que a inflação, em determinado bimestre, foi de 40%. Se, no primeiro mês, a inflação foi de 25%, qual foi a inflação do segundo mês? Considere um valor inicial de 00. Valor Corrigido Total no Bimestre = % x 00 = 40 Valor Corrigido no Primeiro Mês = % x 00 = 25 Deve-se, então, calcular o percentual de aumento de 25 para 40: Percentual = = = 0,2 = 2% Conferindo: Valor Corrigido no Segundo Mês = x 2% = 40 Ou Primeiro Mês 25% Fator (Mês ) = + 25% =,25 Segundo Mês Fator (Mês 2) = f,25 x f =,40, 4 0 f = =,2 Percentual =,2 = 2%, 2 5 Já caiu em prova!(atrfb-2009-esaf) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: a) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. Início do Período dólar = 2,50 reais real = 2, 5 0 Final do Período dólar = 2,00 reais real = = 0,50 dólar 2, 0 0 = 0,40 dólar Ou seja, no início do período real comprava 0,40 dólar e, no final do período, real comprava 0,50 dólar. 0, 5 0 0, 4 0 0, 0 Valorização do Real = = = = 25% 0, 4 0 0, 40 4 Ou seja, no início do período dólar comprava 2,50 reais e, no final do período, dólar comprava 2,00 reais. 2, 5 0 2, 0 0 0, 5 0 Desvalorização do Dólar = = = = 20% 2, 5 0 2, GABARITO: C 3

4 Nota: Para calcular o fator de ganho real, quando houver inflação, deve-se adotar a seguinte fórmula: Fator de Ganho Real = Fator de Ganho Nominal Fator de Inflação Exemplo: Alfeu, um grande investidor do mercado financeiro, aplicou na Bolsa de Valores, no mercado de opções de ações, obtendo um rendimento de 69%. A inflação do mesmo período foi de 30%. Qual ganho real de Alfeu neste investimento? Ganho Real = Fator de Ganho Nominal/Fator de Inflação + 69%, 6 9 Ganho Real = = =,3 + 30%,30 Percentual =,3 = 30% Já caiu em prova!(analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros de 8,80% ao período. Considerando que a inflação nesse período foi de %, a taxa real de juros foi: (A) 80,98% (B) 80,80% (C) 80,00% (D) 73,62% (E) 70,00% Fator de Ganho Nominal = + 8,80% = + 8,80/00 = + 0,880 Fator de Ganho Nominal =,880 Fator de Inflação = + % = + /00 = + 0,0 Fator de Inflação =,0 Fator de Ganho Real =,880/,0 =,80 Taxa Real de Juros = Fator de Ganho Real =,80 Taxa Real de Juros = 0,80 = 80% ao período GABARITO: C 4

5 Memorize para a prova: Juros: Taxa Percentual: p% Taxa Unitária: 00 p Fator = + p% = + 00 p Para calcular os percentuais acumulados, devemos multiplicar os fatores. Para calcular o fator de ganho real, quando houver inflação, deve-se adotar a seguinte fórmula: Fator de Ganho Real = Fator de Ganho Nominal Fator de Inflação Taxas de Juros Bom, agora vamos estudar os diferentes tipos de taxas de juros, que são as taxas de juros nominais, efetivas e equivalentes. Antes de começar, seguem as siglas que serão utilizadas. Siglas: a.a. = ao ano a.s. = ao semestre a.q. = ao quadrimestre a.t. = ao trimestre a.b. = ao bimestre a.m. = ao mês Taxa Nominal A taxa de juros nominal é a taxa definida para um período de tempo diferente do período de capitalização Taxa Efetiva A taxa efetiva corresponde à taxa correspondente ao período de capitalização. Exemplo: i = 48% ao ano com capitalização mensal. i = 48% ao ano taxa nominal i = 48%/2 = 4% ao mês taxa efetiva, tendo em vista que a capitalização é mensal.

6 Taxa Proporcional A taxa proporcional é a taxa cuja razão entre elas e entre os períodos de tempo a que se referem são iguais. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i = 5% ao mês. 60% 2 = 60% = 5% x 2 5% 60% estão para 5%, assim como 2 meses ( ano) estão para mês. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i = 30% ao semestre. 60% 2 = 60% = 30% x 2 30% 60% estão para 30%, assim como 2 meses ( ano) estão para 6 meses ( semestre) Taxa Equivalente A taxa equivalente é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes e que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam o mesmo montante. + i eq = ( + i) t juros compostos + i eq = + i.t i eq = i.t juros simples Onde, i eq = taxa equivalente à taxa de juros i. t = período. Nota: Nos juros simples, as taxas equivalentes são iguais às taxas proporcionais (em valor). Nos juros compostos, que é assunto do próximo capítulo, esta situação não ocorre. Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de 5%. i = 5% ao mês (juros compostos) t = 3 (trimestre = 3 meses) + i eq = ( + 5%) 3 = (,05) 3 =,57625 i eq =,57625 = 0,57625 = 5,76% ao trimestre

7 Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal simples de 5%. i = 5% ao mês (juros simples) i eq = 5% x 3 = 5% ao trimestre (*) Repare que i = 5% ao trimestre é proporcional a i = 5% ao mês. 5% 3 5% = 5% = 5% x 3 5% estão para 5%, assim como 3 meses (trimestre) estão para mês. Exemplo: Calcular a taxa ao quadrimestre equivalente à taxa de 48% ao ano com capitalização mensal composta. i = 48% ao ano com capitalização mensal composta taxa nominal i = 48%/2 = 4% ao mês taxa efetiva t = 4 (quadrimestre = 4 meses) + i eq = ( + 4%) 4 = (,04) 4 =,69859 i eq =,69859 = 0,69859 = 6,99% ao quadrimestre Já caiu em prova!(atm-recife-2008-esaf) Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa A aplicou R$ ,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa B aplicou R$ ,00, à taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o principal. Ao final de (um) ano podemos afirmar que: a) O juro recebido pela pessoa A é maior do que o juro recebido pela pessoa B. b) Não há proporcionalidade entre juros de A e B. c) A taxa efetiva de juros de A é maior do que a taxa efetiva de B. d) A taxa nominal de B é maior do que a taxa nominal de A. e) Os montantes finais são iguais. Toda vez que o exercício trouxer uma taxa de juros em uma unidade de tempo (ex: semestral ou anual...) e disser que a capitalização para essa taxa é em outra unidade de tempo (ex: mês ou bimestre...), não podemos usar os valores dados sem antes transformá-los. Isso porque existe diferença entre Taxa Nominal e Taxa Efetiva. Vamos relembrar: I Taxas nominais são aquelas que estão definidas em um período de tempo diferente do período de capitalização. Nas fórmulas de matemática financeira sempre devemos usar a Taxa Efetiva, e não a Nominal. Por isso vamos aprender a transformar uma taxa nominal em efetiva. Pode ser transformada em taxa efetiva por meio do conceito de taxas proporcionais. 7

8 É muito simples transformá-la: usa-se uma Regra de Três Simples (diretamente proporcional): Exemplo: Taxa nominal = 4% ao ano, com capitalização semestral Como ano tem 2 semestres. A Regra de três fica: 4% ano 4% 2 semestres X semestre (que é o tempo de capitalização dada) Resolvendo: 2.X = 4x X = 4/2 Taxa Efetiva = 7% ao semestre II Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante. Exemplo: Juros Simples [Fórmula do Juro Simples: M = C ( + in), onde: M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros efetiva, n = período de tempo]: i = 2% ao ano i 2 = % ao mês Se aplicadas a um capital de R$ 0.000,00 por seis meses, o resultado será o mesmo montante, veja: M = C ( + in) M = x ( + 0,2 x ½) = M2 = x ( + 0,0 x 6) = Ou seja, as taxas i = 2% ao ano e i 2 = % ao mês são equivalentes, pois geram um mesmo montante ao final de um mesmo período. Agora vamos ver isso com Juros Compostos: Exemplo Juros Compostos: Uma empresa aplica R$ 300,00 à taxa de juros composto de 4% ao mês por 0 meses. Fórmula do Juro Composto M= C x (+i) n M = 300 x (+0,04) 0 M = 444,0733 Taxa proporcional é uma taxa linear, logo você tem que encontrar a taxa equivalente para 0 meses. Usando a fórmula dos Juros: J = M - C = C x (+i) n - C J = C [(+i) n - ] 8

9 Taxa equivalente = [(+0,04) 0 - )] x 00 Taxa equivalente = 48,02% para 0 meses (equivalente a 4% ao mês) III - Duas taxas são consideradas proporcionais quando houver uma relação de proporcionalidade entre elas e os prazos a que elas se referem. Irá se verificar a proporcionalidade quando i. n 2 = i 2. n (é uma regra de três simples) Exemplo: i = taxa anual = 2% n = prazo anual = ano (ou 2 meses) i 2 = taxa mensal = x% (desejo conhecer) n 2 = prazo mensal = mês Logo, usando a fórmula i. n 2 = i 2. n teremos 2%. = X.2 Portanto, X = % a.m. Isso quer dizer que em Juros Simples, 2% a.a é proporcional a % a.m. Com isso, no sistema de juros simples: taxas proporcionais = taxas equivalentes. Vamos ver no caso de Juros Compostos Exemplo: Se aplicarmos R$ 0.000,00 a uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal, o montante obtido no final de um ano será R$ 3.600,00. C = I = 36% ao ano c/ capitalização mensal = taxa nominal Ief = 36%/2 meses = 3% ao mês = taxa efetiva Fórmula de Juros Compostos: M = C x (+i) n Substituindo os valores para acharmos o Montante: M = x (,03) 2 = 4.257,6 9

10 Vamos à resolução da questão: A Questão nos deu: Pessoa A Pessoa B Capital Aplicado = C R$ ,00 R$ ,00 Taxa Nominal de juros i = 0,5% a.m i = 6% ao ano Capitalização Mensal mensal Taxa Efetiva = i i A = 0,5% a.m 6% ano 6% 2 meses i% mês 2xi = 6x i B = 0,5% a.m Período = n n = ano = 2 meses n = ano = 2 meses Conclusões que podemos Chegar Montante = M M = C x ( + i) n M A = ( + 0,005) 2 M A = ,63 M = C x ( + i) n M B = ( + 0,005) 2 M B = ,8 Juros = J J = M - C J A = , J A = ,63 J = M C J B = , J B = ,8 I Pessoa A : Aplicação Financeira = R$ ,00 Taxa Efetiva de Juros = 0,5% ao mês Capitalização Mensal Juros pagos junto com o principal M = C x ( + i) n M = Montante C = Capital Financiado i = taxa de juros n = período M = x ( + 0,005) 2 = x (,005) 2 J = x (,005) = x [(,005) 2 ] J = Juros II Pessoa B : Aplicação Financeira = R$ ,00 Taxa Nominal = 6% ao ano Regime de Capitalização de Juros Compostos Capitalização Mensal Juros pagos junto com o principal Taxa Efetiva = Taxa Nominal/n = 6% ao ano/2 meses = 0,5% ao mês M = x ( + 0,005) 2 = x (,005) 2 J = x (,005) = x [(,005) 2 ] 0

11 Análise das alternativas: a) O juro recebido pela pessoa A é maior do que o juro recebido pela pessoa B. Não é necessário fazer cálculo, pois: J (Pessoa A ) = x [(,005) 2 ] J (Pessoa B ) = x [(,005) 2 ] J (Pessoa A ) J (Pessoa B ) = = x [(,005) 2 ] x [(,005) 2 ] J (Pessoa A ) J (Pessoa B ) = x [(,005) 2 ] > 0 Logo, os juros recebidos pela pessoa A são maiores que os juros recebidos pela pessoa B. A alternativa está CORRETA. b) Não há proporcionalidade entre juros de A e B. Pessoa A : Taxa Efetiva de Juros = 0,5% ao mês Pessoa B : Taxa Nominal = 6% ao ano Taxa Efetiva de Juros = 6% ao ano/2 meses Taxa Efetiva de Juros = 0,5% ao mês (capitalização mensal) Taxa Nominal A = Taxa Efetiva A x 2 meses = Taxa Nominal A = 0,5% x 2 = 6% ao ano Logo, há proporcionalidade entre os juros de A e B. A alternativa está INCORRETA. c) A taxa efetiva de juros de A é maior do que a taxa efetiva de B. Taxa Efetiva de Juros de A = Taxa Efetiva de Juros de B = 0,5% ao mês. A alternativa está INCORRETA. d) A taxa nominal de B é maior do que a taxa nominal de A. Taxa Nominal de Juros de A = Taxa Nominal de Juros de B = 6% ao ano. A alternativa está INCORRETA. e) Os montantes finais são iguais. M (Pessoa A ) = x ( + 0,005) 2 M (Pessoa B ) = x ( + 0,005) 2 Logo, o montante final da pessoa A é maior que o montante final da pessoa B. A alternativa está INCORRETA. GABARITO: A

12 Memorize para a prova: Taxas de juros: Nominal: é a taxa definida para um período de tempo diferente do período de capitalização. Efetiva: corresponde à taxa correspondente ao período de capitalização. Proporcional: é a taxa cuja razão entre elas e entre os períodos de tempo a que se referem são iguais. Equivalente: é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes e que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam o mesmo montante. + i eq = ( + i) t juros compostos + i eq = + i.t i eq = i.t juros simples Juros Simples No regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.( + i. t) Exemplo: Se R$ 5.000,00 foram aplicados por 6 meses, à taxa de juros simples de 2% ao mês, calcule os juros recebidos e o montante. Capital Aplicado (C) = Taxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2%/00 = 0,02 ao mês Período (t) = 6 meses J = C. i. t = x 0,02 x 6 = 600 M = C + J = C. ( + i. t) = x ( + 0,02 x 6) = x,2 = Importante: O período deve estar sempre na mesma grandeza da taxa de juros. Se você for utilizar uma taxa de juros mensal na fórmula, por exemplo, o período deve estar em meses. Se você for utilizar uma taxa de juros semestral na fórmula, por exemplo, o período deve estar em semestres. E assim por diante.

13 Exemplo: Se R$ 6.000,00 foram aplicados por 20 dias, à taxa de juros simples de 2% ao mês, calcule os juros recebidos e o montante. Capital Aplicado (C) = Taxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2%/00 = 0,02 ao mês Período (t) = 20 dias Como a taxa de juros simples informada é mensal, para o cálculo do período, também deverá ser utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias === mês 20 dias === Período (t) 20 x = 30 x t t = 20/30 = 2/3 mês J = C. i. t = x 0,02 x (2/3) = 80 M = C + J = C. ( + i. t) = ( + 0,02 x 2/3) = Já caiu em prova!(analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de, ao fim de 2 meses e 5 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 48% b) 0% c) 4% d) 54% e) 60% Juros Simples: M = C.( + i.n) Montante (M) =,.C n = 2 meses + 5 dias = 2 meses + 5/30 meses = 2,5 meses,.c = C.( + i.2,5), = + 2,5.i 2,5.i = 0, i = 0,04 = 4% ao mês = 4% x 2 = 48% ao ano GABARITO: A Memorize para a prova: Juros Simples: C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.( + i. t) 3

14 22.3..Tipos de Juros Juros Exatos Os juros exatos são calculados em relação ao ano civil (366 ou 365 dias, caso seja ou não bissexto). Os meses terão 28, 29, 30 ou 3 dias. Anos Bissextos = anos divisíveis por 4 Exemplos: 2000, 2004, 2008, Juros Comerciais ou Ordinários Os juros comerciais ou ordinários são calculados sobre o ano comercial (360 dias mês de 30 dias). Os meses terão 30 dias Juros Bancários Na modalidade de juros bancários, os meses terão 28, 29, 30 ou 3 dias e o ano terá 360 dias. Importante: Para calcular o número de dias da aplicação, há que se ressaltar que o dia da aplicação é contado e o dia do resgate não é contado. E se a pessoa aplicar e resgatar no mesmo dia? Haverá juros? Vejamos: como o dia da aplicação é o mesmo dia do resgate, e o dia da aplicação conta e o do resgate não, há uma contradição (risos), mas é claro que não conta. Se a pessoa aplicar e resgatar no mesmo dia, não há que se falar em juros. Exemplo: Se R$.000,00 foram aplicados de /04/03 até 23/06/03, à taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples exatos. Período (t) /04 até 30/04 ===== 20 dias conta o dia da aplicação 0/05 até 3/05 ===== 3 dias 0/06 até 23/06 ===== 22 dias não conta o dia do resgate Total 73 dias 2003 Não é bissexto 365 dias t = 73 dias/365 dias = 0,2 ano i =60% ao ano = 60/00 = 0,6 ao ano M = C. ( + i. t) =.000 x ( + 0,6 x 0,2) =.000 x,2 =.20 4

15 Exemplo: Se R$.000,00 foram aplicados de /04/03 até 23/06/03, à taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples comerciais. Período (t) /04 até 30/04 ===== 20 dias conta o dia da aplicação maio ===== 30 dias sempre 30 dias 0/06 até 23/06 ===== 22 dias não conta o dia do resgate Total 72 dias Ano = 360 dias (sempre) t = 72 dias/360 dias = 0,2 ano i =60% ao ano = 60/00 = 0,6 ao ano M = C. ( + i. t) =.000 x ( + 0,6 x 0,2) =.000 x,2 =.20 Exemplo: Se R$.000,00 foram aplicados de /04/03 até 23/06/03, à taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples bancários. Período (t) /04 até 30/04 ===== 20 dias conta o dia da aplicação 0/05 até 3/05 ===== 3 dias 0/06 até 23/06 ===== 22 dias não conta o dia do resgate Total 73 dias Ano = 360 dias (sempre) t = 73 dias/360 dias =0,203 ano i =60% a.a = 0,6 ao ano M = C. ( + i. t) =.000 x ( + 0,6 x 0,203) =.000 x,22 =.22 Já caiu em prova! (AFTN-998-Esaf) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.986,00 e) R$ 3.94,00 I Considerando que os juros simples ordinários são iguais aos juros comerciais: C = i = 36% ao ano Ano = 360 dias 5

16 Período Total: 05/maio a 30/maio ==== 26 dias o dia da aplicação é contado. junho ==== 30 dias julho ==== 30 dias agosto ==== 30 dias setembro ==== 30 dias outubro ==== 30 dias 0/nov a 25/nov ==== 24 dias o dia do resgate não é contado. Período Total 200 dias M = C.( + i.n) = C.( + 36% x 200/360) C = 4.000, alternativa b (ou seja, no gabarito antes dos recursos, a Esaf considerou que os juros ordinários equivalem aos juros comerciais). II Para fins didáticos, vamos calcular os juros exatos: C = i = 36% ao ano Ano = 365 dias Período Total: 05/maio a 3/maio ==== 27 dias o dia da aplicação é contado. junho ==== 30 dias julho ==== 3 dias agosto ==== 3 dias setembro ==== 30 dias outubro ==== 3 dias 0/nov a 25/nov ==== 24 dias o dia do resgate não é contado. Período Total 204 dias M = C.( + i.n) => = C.( + 36% x 204/365) C = 3.996, alternativa c. III Para fins didáticos, vamos calcular os juros bancários: C = i = 36% ao ano Ano = 360 dias Período Total: 05/maio a 3/maio ==== 27 dias o dia da aplicação é contado. junho ==== 30 dias julho ==== 3 dias agosto ==== 3 dias setembro ==== 30 dias outubro ==== 3 dias 0/nov a 25/nov ==== 24 dias o dia do resgate não é contado. Período Total 204 dias M = C.( + i.n) = C.( + 36% x 204/360) C = 3.986, alternativa d. GABARITO: B (antes dos recursos) e ANULADA (após os recursos) Memorize para a prova: 6

17 Juros exatos: são calculados em relação ao ano civil (366 ou 365 dias, caso seja ou não bissexto). Os meses terão 28, 29, 30 ou 3 dias. Juros comerciais ou ordinários: são calculados sobre o ano comercial (360 dias mês de 30 dias). Os meses terão 30 dias. Juros bancários: os meses terão 28, 29, 30 ou 3 dias e o ano terá 360 dias. Importante: Para calcular o número de dias da aplicação, há que se ressaltar que o dia da aplicação é contado e o dia do resgate não é contado Descontos Simples Primeiramente, precisamos entender o que é um desconto. Desconto é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título. Outros conceitos importantes: Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N): valor do título na data do vencimento. Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou Valor Resgatado (A D ): valor do título na data do resgate Desconto Comercial ou por Fora (D c ) O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. ( i D. t) Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual 7

18 Nota: - Quanto maior o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, menor será o valor atual do referido título (maior o desconto). - Quanto menor o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, maior será o valor atual do referido título (menor o desconto). Exemplo: Suponha que um cheque de valor nominal R$ 20,00, com prazo de dois meses, foi descontado comercialmente em uma instituição financeira, com taxa mensal simples de 0%. Qual o valor do cheque hoje? Valor Nominal (N) = 20 Taxa de Desconto Comercial (i D ) = 0% ao mês = 0/00 = 0,0 ao mês Período (t) = 2 meses A D = N. ( i D. t) = 20 x ( 0,0 x 2) = 20 x 0,80 = 96 Taxa efetiva ou Taxa Implícita da Operação (i ef ): corresponde à taxa que deve ser aplicada ao valor atual para obter o valor nominal. i ef > i D N = A D. ( + i ef. t) No exemplo anterior, teríamos: 20 = 96.( + i ef x 2) + i ef x 2 = 20/96 2 x i ef =,25 i ef = 2,5% ao mês. Já caiu em prova!(afrf-2005-esaf) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ ,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ ,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Desconto Comercial Simples (D) i = 4% ao mês D = N.i D.t = N A D A D = N D = N N.i D.t = N.( i D.t) Dois títulos R$ ,00 (dois meses) e R$ ,00 (3 meses) substituir por um único com vencimento em 4 meses. N 8

19 0 2 meses 3 meses 4 meses Como a questão não informou sobre a data focal (data de referência), adotarei o momento 0: ( 4%.2) ( 4%.3) = N.( 4%.4) , ,88 = 0,84. N 0, 84. N = = N = ,80 GABARITO: A Já caiu em prova! (AFRF-2005-Esaf) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a: a) 9 % b) 8,24 % c) 7,4 % d) 22 % e) 24 % Taxa Efetiva de Juros Simples = 24% ao trimestre para operações de 5 meses Taxa Efetiva de Juros Simples = 24%/3 = 8% ao mês Taxa de Desconto Comercial Trimestral =? Vou aproveitar para deduzir a relação entre a taxa de juros efetiva e a taxa de desconto comercial: Desconto Comercial: D = N.i D.t = N A D A D = N D = N N.i D.t = N.( i D.t) (I) Taxa efetiva: taxa que utilizamos para partir do valor atual e chegar ao valor nominal (é a mesma taxa do desconto racional): N = A D.( + i ef.t) A D = N/( + i ef.t) (II) Substituindo (II) em (I): N/( + i ef.t) = N.( i D.t) ( i D.t).( + i ef.t) = 9

20 t = 5 meses; i ef = 8% ao mês: ( i D.5).( + 8%.5) =,4. ( i D.5) = 5.i D = /,4 = 0,743 5.i D = 0,743 = 0,2857 i D = 0,0574 = 5,74% ao mês = 5,74 x 3 = 7,43% ao trimestre GABARITO: C Memorize para a prova: Desconto: é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título. Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N): valor do título na data do vencimento. Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou Valor Resgatado (A D ): valor do título na data do resgate. Desconto comercial ou por fora: corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. ( i D. t) D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual Taxa efetiva ou Taxa Implícita da Operação (i ef ): corresponde à taxa que deve ser aplicada ao valor atual para obter o valor nominal. i ef > i D N = A D. ( + i ef. t) 20

21 Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (D r ) O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. D r = N - A d N = A d.( + i d. t) A d = N/( + i d. t) D r = N - N/( + i d. t) = [N. ( + i d. t) N]/( + i d. t) D r = [N + N. i d. t N]/ ( + i d. t) D r = N. i d. t/( + i d. t) ou D r = N A d = A d.( + i d. t) - A d = A d + A d. i d. t A d = A d. i d. t i d = i ef Exemplo: Suponha que um cheque de valor nominal R$ 20,00, com prazo de dois meses, foi descontado racionalmente em uma instituição financeira, com taxa mensal simples de 0%. Qual o valor do cheque hoje? Valor Nominal (N) = 20 Taxa de Desconto Comercial (i D ) = 0% ao mês = 0/00 = 0,0 ao mês Período (t) = 2 meses N = A d. ( + i d. t) 20 = A d x ( + 0,0 x 2) A d = 20/,2 = 00 Importante: Nas mesmas condições: Desconto Comercial > Desconto Racional Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional: D (Desconto Comercial) > D r (desconto racional) D c = N. i. t D r = N. i. t/( + i. t) D r = D c /( + i. t) D c = D r.( + i. t) D c /D r = ( + i. t) Exemplo: O quociente entre os descontos comercial e racional é de,0, nas mesmas condições de aplicação. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros simples for de 5% ao mês? Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao mês = 5/00 = 0,05 ao mês D c =,0 x D r D c /D r = ( + i. t) =,0 + 0,05 x t =,0 0,05 x t = 0,0 t = 2 meses 2

22 Nota: A fórmula abaixo, para cálculo do valor nominal a partir dos descontos comercial e racional, também pode ser útil na hora da prova: D c = N. i. t i. t = D c /N D r = N. i. t/( + i. t) D r = N. (D c /N)/( + D c /N) D r = D c /( + D c /N) D r. ( + D c /N) = D c D r + D r. D c /N = D c D r. D c /N = D c D r N. (D c D r ) = D c. D r D c. Dr N (Valor Nominal) = D D c r Exemplo: Determinado título foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, considerando uma determinada taxa de juros simples. Caso fosse utilizado o desconto comercial, o valor a ser descontado seria de R$ 00,00. Caso fosse utilizado o desconto racional, o valor a ser descontado seria de R$ 80,00. Calcule o valor nominal do título. Repare que aqui você poderia ficar em dúvida, pois não foi fornecida a taxa de juros e nem o valor atual. Mas, não há necessidade. Vejamos: Desconto Comercial (D c ) = R$ 00,00 Desconto Racional (D r ) = R$ 80,00 N (Valor Nominal) = D c. Dr = = = 400 D D c r Exemplo: Alfeu tem uma dívida de R$ 2.000,00 com vencimento para 30 dias, mas deseja substituir esse compromisso por um pagamento, no ato, de R$ 600,00 mais um título para 90 dias. Se a taxa de desconto comercial é de 6% ao mês e a data de referência é o instante 0, qual o valor desse novo título? dias N 90 dias Valor Nominal (N) = Taxa de Juros (i) = 6% ao mês = 6/00 = 0,06 ao mês Período (t) = 30 dias = mês D c = N. i. t = x 0,06 x = 20 A D = N D c = =

23 Valor Nominal = N Taxa de Juros (i) = 6% ao mês Período (t) = 90 dias = 3 meses D c = N. i. t = N x 6% x 3 = 0,8 x N A D = N D c = N 0,8 x N = 0,82 x N No momento 0 (referência): ,82 x N =.880 0,82 x N =.280 N =.280/0,82 N = R$.560,98 Já caiu em prova!(analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007-Cesgranrio) Seja um título com valor nominal de R$ 4.800,00, vencível em dois meses, que está sendo liquidado agora. Sendo de 0% a.m. a taxa de desconto simples adotada, é correto afirmar que o desconto: (A) comercial ou por fora é de R$ 960,00. (B) comercial ou por fora é de R$ 480,00. (C) comercial ou por fora é de R$ 200,00. (D) racional ou por dentro é de R$.008,00. (E) racional ou por dentro é de R$ 480,00. A questão definiu: Desconto Simples Desconto Comercial ou por Fora (D): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. A D = N D = N N.i D. t = N. ( i D. t) Valor Nominal (N) = R$ 4.800,00 Períodos (t) = 2 meses Taxa de Desconto Simples (i D ) = 0% ao mês = 0/00 = 0,0 ao mês D = N.i D. t D = x 0,0 x 2 D = x 0,20 D = 960,00 (desconto comercial ou por fora ) alternativa a. Já achamos a resposta, mas, para fins didáticos, vamos calcular também o desconto racional. Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (D r ): é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. D r = N - A d N = A d. ( + i d. t) A d = N/( + i d. t) 23

24 Valor Nominal (N) = R$ 4.800,00 Períodos (t) = 2 meses Taxa de Desconto Simples (i D ) = 0% ao mês = 0/00 = 0,0 ao mês D r = N - A d D r = N N/( + i d. t) D r = /( + 0,0 x 2) D r = x ( /,20) D r = x (,20 )/,20 D r = x 0,20/,20 D r = x /6 D r = 800,00 (desconto racional ou por dentro ) GABARITO: A Memorize para a prova: Desconto racional, matemático ou por dentro: é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. D r = N - A d N = A d.( + i d. t) A d = N/( + i d. t) D r = N - N/( + i d. t) = [N. ( + i d. t) N]/( + i d. t) D r = [N + N. i d. t N]/ ( + i d. t) D r = N. i d. t/( + i d. t) ou D r = N A d = A d.( + i d. t) - A d = A d + A d. i d. t A d = A d. i d. t i d = i ef Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional: D c /D r = ( + i. t) N (Valor Nominal) = D c. Dr D D c r Desconto Bancário (D B ) O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas bancárias sobre o valor nominal. D B = D c + e. N = N. i. t + e. N = N. (i. t + e) A = N - D B Onde, e = encargos bancários 24

25 Exemplo: Determine o desconto bancário simples de uma duplicata resgatada 6 meses antes do prazo de vencimento, sabendo-se que a o valor nominal do título é de R$ 0.000,00, a taxa utilizada é de 20% ao ano e os encargos bancários são de 2% sobre o valor nominal. Taxa de Juros (i) = 20% ao ano = 0% ao mês Valor Nominal (N) = Período (t) = 6 meses Encargos Bancários (e) = 2% D B = D c + e. N = N. i. t + e. N = N. (i. t + e) = x (0% x 6 + 2%) D B = x 62% = Já caiu em prova! (Bndes-Administração-2009-Cesgranrio) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 8% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de % sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) 5.04 (B) 5.9 (C) (D) (E) A questão definiu: Desconto Comercial Simples com encargos = Desconto Bancário (D B ) D B = D c + e. N = N. i. t + e. N = N. (i. t + e) A = N - D B Valor Nominal = Valor de Face = N Valor Atual (A) = Valor Líquido Recebido = R$ 4.620,00 Período (n) = 2 meses e 20 dias = /30 = 2 + 0,67 = 2,6667 meses Taxa de Juros Simples (i) = 8% ao ano = 8%/2 meses =,5% ao mês Desconto Comercial (D C ) = N.i. t = N x 2,6667 x,5% = 0,04 x N Encargos (e) = Retenção + IOF = 7% + % = 8% A = N D B = N (D c + e. N) = N (0,04 x N + 8% x N) = N 0,04 x N 0,08 x N = N 0,2 x N = 0,88 x N N = 4.620/0,88 N = GABARITO: C 25

26 Memorize para a prova: Desconto bancário: corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas bancárias sobre o valor nominal. D B = D c + e. N = N. i. t + e. N = N. (i. t + e) A = N - D B Onde, e = encargos bancários Equivalência de Capitais Desconto Racional Importante: Para os juros simples, a menos que o enunciado especifique algo em contrário, deveremos utilizar a data focal (data de referência) no momento zero (os juros são sempre calculados sobre o capital inicial) Data de Equivalência no Futuro A N N = A. ( + i. t) T N = valor nominal A = valor atual i = taxa de juros t = período T + t Data de Equivalência no Passado A N A = N/( + i. t) T T + t Exemplo: Luíza adquiriu um equipamento e vai pagá-lo em duas prestações iguais de R$ 3.564,00 com vencimentos em 30 e 60 dias, calculadas a juros simples, a uma taxa mensal de 0%. Na data do vencimento da primeira prestação, Luíza propõe uma repactuação da dívida, em pagamentos iguais, com vencimento ao final de 60 e 90 dias, mantidos o sistema de capitalização e a taxa mensal de juros. Se a proposta apresentada mantém o valor à vista do equipamento, calcule o valor dessa nova prestação, desprezando os centavos, utilizando desconto simples racional. Prestações (duas) =

27 Taxa de Juros (i) = 0% ao mês (juros simples) = 0/00 = 0,0 ao mês Data Focal t = 30 dias = mês => P = t 2 = 60 dias = 2 meses => P 2 = t 3 = 90 dias = 3 meses => P t 4 = 20 dias = 4 meses => P P Repare que os vencimentos das novas prestações correspondem a 90 dias (60 dias após a data de vencimento da primeira prestação) e 20 dias (90 dias após a data de vencimento da primeira prestação) ,0 0,0 2 = P + 0,0 3 0, , = P +, 2, 3 +, 4 +, 2 3, P 3.564, = 3,, 4, 2 P, = P= = 4.86, 4 8 Já caiu em prova!(aftn-996-esaf) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 0º mês; a segunda ao final de 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 0.752,3 d) $.200,00 e) $ 2.933,60 60 dias = 2 meses 90 dias = 3 meses Juros simples = 2% ao mês Substituir o pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias, por um pagamento em três prestações iguais:

28 a primeira ao final do 0º mês; a segunda ao final de 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. 0 Como a questão não definiu, utilizaremos a data focal no mês zero: P P P P P + = % + 3 2% + 0 2% % % P P P P P + = + +, 0 4 2, 40, 0 6, 2 0 P. +.,0 = P , 40,0 6, 2, P, = 9 P 0 P =. =.200,00, , GABARITO: D P = Memorize para a prova: Equivalência de Capitais Desconto Racional Para os juros simples, a menos que o enunciado especifique algo em contrário, deveremos utilizar a data focal (data de referência) no momento zero (os juros são sempre calculados sobre o capital inicial). Data de Equivalência no Futuro: N = A. ( + i. t) Data de Equivalência no Passado: A = N/( + i. t) Nubia Alves d : Nubia Alves de Oliveira, CPF: Nubia Alves d : Nubia Alves de Oliveira, CPF: P 28 O conteúdo deste curso é de uso exclusivo de Nubia Alves de Oliveira, CPF: , vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição, sujeitando-se os infratores à responsabilização civil e criminal.

29 22.5. Equivalência de Capitais Desconto Comercial Data de Equivalência no Futuro A N N = A/( i. t) T T + t N = valor nominal A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalência no Passado A N A = N. ( i. t) T T + t Memorize para a prova: Equivalência de Capitais Desconto Comercail Para os juros simples, a menos que o enunciado especifique algo em contrário, deveremos utilizar a data focal (data de referência) no momento zero (os juros são sempre calculados sobre o capital inicial). Data de Equivalência no Futuro: N = A/( i. t) Data de Equivalência no Passado: A = N. ( i. t) Já caiu em prova! (AFRF-2005-Esaf) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ ,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ ,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Desconto Comercial Simples (D) 29

30 Taxa de Juros (i) = 4% ao mês = 4/00 = 0,04 ao mês D = N. i D. t = N A D A D = N D = N N. i D. t = N. ( i D. t) Dois títulos R$ ,00 (2 meses) e R$ ,00 (3 meses) substituir por um único com vencimento em 4 meses. N 0 2 meses 3 meses 4 meses Como a questão não informou sobre a data focal (data de referência), deve ser adotado o momento 0: ( 0, 04 2) ( 0, 04 3) = N ( 0,04 4) , ,88 = 0,84 N 0, 84 N = = N = ,80 GABARITO: A Fluxos de Caixa e de Taxas Os fluxos de caixa e de taxas permitem o cálculo da taxa média, do capital médio e do tempo médio, conforme abaixo: Taxa Média (i m ): i m = C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t C. t + C. t C. t 2 2 n n n n n Capital Médio (C m ): Tempo Médio (t m ): t C m m C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t = i. t + i. t i. t n n n C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t = C. i + C. i C. i 30 n n n n n Exemplo: Calcular os juros totais recebidos de acordo com o fluxo de caixa abaixo e a taxa média nas seguintes condições: C = 200; i = 4% ao mês; t = 4 meses C 2 = 00; i 2 = 0% ao mês; t 2 = 6 meses C 3 = 400; i 3 = 3% ao mês; t 3 = 9 meses Jm = 200 4% % % 9 = = 200 n n

31 Cálculo da taxa média: 200 = 200 x i m x x i m x x i m x 9 = x i m i m = 4% ao mês ou C. i. t + C. i. t C. i. t 200 i n n n m = = = C. t + C 2. t C n. tn % ao mês Exemplo: Calcular o prazo médio dos investimentos nas seguintes condições: C = 200; i = 4% ao mês; t = 4 meses C 2 = 00; i 2 = 0% ao mês; t 2 = 6 meses C 3 = 400; i 3 = 3% ao mês; t 3 = 9 meses Jm = 200 4% % % 9 = = 200 Cálculo do prazo médio: t C. i. t + C. i. t C. i. t 200 C. i + C. i C. i 200.4% % % n n n m = = 2 2 n n t m = = = 6, 67meses Exemplo: Calcular o capital médio dos investimentos nas seguintes condições: C = 200; i = 4% ao mês; t = 4 meses C 2 = 00; i 2 = 0% ao mês; t 2 = 6 meses C 3 = 400; i 3 = 3% ao mês; t 3 = 9 meses Jm = 200 4% % % 9 = = 200 Cálculo do capital médio: C C. i. t + C. i. t C. i. t 200 i. t + i. t i. t 4%.4 + 0%.6 + 3% n n n m = = 2 2 n n Cm = = = 94,7 0,6 + 0,6 + 0, 27,03 3

32 Memorize para a prova: Taxa Média (i m ): i m = C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t C. t + C. t C. t 2 2 n n n n n Capital Médio (C m ): Tempo Médio (t m ): t C m m C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t = i. t + i. t i. t 2 2 n n n n C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t = C. i + C. i C. i 2 2 n n n n n n Memorize para a prova Juros: Taxa Percentual: p% p Taxa Unitária: 00 p Fator = + p% = + 00 Para calcular os percentuais acumulados, devemos multiplicar os fatores. Para calcular o fator de ganho real, quando houver inflação, deve-se adotar a seguinte fórmula: Fator de Ganho Real = Fator de Ganho Nominal Fator de Inflação Taxas de juros: Nominal: é a taxa definida para um período de tempo diferente do período de capitalização. Efetiva: corresponde à taxa correspondente ao período de capitalização. Proporcional: é a taxa cuja razão entre elas e entre os períodos de tempo a que se referem são iguais. Equivalente: é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes e que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam o mesmo montante. + i eq = ( + i) t juros compostos + i eq = + i.t i eq = i.t juros simples Juros Simples: 32

33 C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.( + i. t) Juros exatos: são calculados em relação ao ano civil (366 ou 365 dias, caso seja ou não bissexto). Os meses terão 28, 29, 30 ou 3 dias. Juros comerciais ou ordinários: são calculados sobre o ano comercial (360 dias mês de 30 dias). Os meses terão 30 dias. Juros bancários: os meses terão 28, 29, 30 ou 3 dias e o ano terá 360 dias. Importante: Para calcular o número de dias da aplicação, há que se ressaltar que o dia da aplicação é contado e o dia do resgate não é contado. Desconto: é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título. Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N): valor do título na data do vencimento. Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou Valor Resgatado (A D ): valor do título na data do resgate. Desconto comercial ou por fora: corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. ( i D. t) D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual Taxa efetiva ou Taxa Implícita da Operação (i ef ): corresponde à taxa que deve ser aplicada ao valor atual para obter o valor nominal. i ef > i D N = A D. ( + i ef. t) Desconto racional, matemático ou por dentro: é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, 33

34 resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. D r = N - A d N = A d.( + i d. t) A d = N/( + i d. t) D r = N - N/( + i d. t) = [N. ( + i d. t) N]/( + i d. t) D r = [N + N. i d. t N]/ ( + i d. t) D r = N. i d. t/( + i d. t) ou D r = N A d = A d.( + i d. t) - A d = A d + A d. i d. t A d = A d. i d. t i d = i ef Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional: D c /D r = ( + i. t) N (Valor Nominal) = D c. Dr D D c r Desconto bancário: corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas bancárias sobre o valor nominal. D B = D c + e. N = N. i. t + e. N = N. (i. t + e) A = N - D B Onde, e = encargos bancários Equivalência de Capitais Desconto Racional Para os juros simples, a menos que o enunciado especifique algo em contrário, deveremos utilizar a data focal (data de referência) no momento zero (os juros são sempre calculados sobre o capital inicial). Data de Equivalência no Futuro: N = A. ( + i. t) Data de Equivalência no Passado: A = N/( + i. t) Equivalência de Capitais Desconto Comercail Para os juros simples, a menos que o enunciado especifique algo em contrário, deveremos utilizar a data focal (data de referência) no momento zero (os juros são sempre calculados sobre o capital inicial). Data de Equivalência no Futuro: N = A/( i. t) Data de Equivalência no Passado: A = N. ( i. t) Taxa Média (i m ): i m = C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t C. t + C. t C. t 2 2 n n n n n 34

35 Capital Médio (C m ): Tempo Médio (t m ): t C m m C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t = i. t + i. t i. t n n n n C. i. t + C 2. i 2. t C. i. t = C. i + C. i C. i n n n n n n 35

36 22.8. Exercícios de Fixação.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-200-FCC) Raul pretende comprar um microcomputador em uma loja em que o preço de tabela é R$ 2 000,00. O vendedor lhe fez duas propostas de pagamento: uma, à vista, com desconto de X% sobre o preço de tabela; outra, em duas parcelas de R$ 000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda mês após a compra. Mesmo dispondo do dinheiro para a compra à vista, Raul pensou na opção da compra a prazo, que lhe permitiria aplicar a diferença entre o preço à vista e o valor da primeira parcela, a uma taxa de 0% ao mês. Nessas condições, o menor número inteiro X, que tornaria a proposta de compra à vista mais vantajosa, é (A) 5 (B) 8 (C) 0 (D) 2 (E) 5 2.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-200-FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 4.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de (A) R$ 5.000,00. (B) R$ 5.500,00. (C) R$ 6.000,00. (D) R$ 7.360,00. (E) R$ 8.000,00. 3.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-200-FCC) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ 2.000,00. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a 36

37 (A) R$.260,00. (B) R$.268,80. (C) R$.272,60. (D) R$.276,40. (E) R$.278,90. 4.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-200-FCC) Uma pessoa aplica, na data de hoje, os seguintes capitais: I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 8 meses. II. R$ 0.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano. O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao item I é igual a (A) 2%. (B) 5%. (C) 8%. (D) 27%. (E) 24%. 5.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-200-FCC) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 3.900,00. Considere que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. 6.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-200-FCC) Uma aplicação no valor de R$ ,00 resultou, depois de um ano, em um montante igual a R$ ,00. Se a taxa de inflação deste período foi de 5% significa que a taxa anual real referente à aplicação foi de (A) 5,6%. (B) 5,8%. (C) 6,0%. (D) 6,3%. (E) 6,5%. 37

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