UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO DISCIPLINA: ECONOMIA DA ENGENHARIA I PROFESSOR JORGE JUNIOR E.MAIL: Apostila integralmente baseada no trabalho da Prof. Drª MÁRCIA REBELO DA SILVA (uso apenas para acompanhamento em sala de Aula, Todos os direitos autorais reservados à autora) AMORTIZAÇÃO Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos basicamente são desenvolvidos para operações de longo prazo - mais de três anos -, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas. Uma característica destes sistemas de amortização que serão estudados, é a utilização do critério de juros compostos, na qual os juros incidirão exclusivamente sobre o saldo devedor - montante - apurado em período imediatamente anterior Definições a) Mutuante ou credor: quem concede o empréstimo

2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 2 b) Mutuário ou devedor: quem recebe o empréstimo c) Taxa de juros: é a taxa de juros contrada entre as partes. Dependendo das condições adotadas pode-se referir ao custo efetivo do empréstimo ou não. d) IOF: é o imposto sobre operações financeiras. e) Prazo de utilização: é o intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor. Se o empréstimo for transferido em uma só parcela, este prazo é dito unitário. f) Prazo de Carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência, somente é pago os juros. g) Parcelas de Amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal - capital emprestado. h) Prazo de Amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações. i) Prestação: corresponde a soma de amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em um dado período. j) Planilha (ou Plano): quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao empréstimo, ou seja, cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos. k) Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com prazo de amortização. l) Saldo devedor: corresponde ao estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante de tempo. m) Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações Classificação das Modalidades de Amortização

3 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 3 Qualquer um dos sistemas de amortização pode ou não ter prazo de carência. O sistema americano sempre tem carência, o principal é devolvido em uma única vez. Os juros podem ser pagos ou capitalizados durante o prazo de carência, dependendo do acordo de financiamento. Os sistemas de amortização são os seguintes: a) Sistema de Amortização Constante - SAC (Sistema Hamburguês) As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período. Neste sistema as prestações são continuamente decrescentes. b) Sistema Francês de Amortização - SF As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal; e a dívida fica completamente saldada na última prestação. Este sistema, acrescida de certas peculiaridades de cálculo, é também conhecido como Sistema Price. c) Sistema Americano - SA Após certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale o desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por "sinking fund" na literatura americana e, na brasileira por "fundo de amortização". d) Sistema de Amortização Variável - SAV

4 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 4 O empréstimo é pago em parcelas iguais e periódicas que incluem juros antecipados e amortizações imediatas Sistema de Amortização Constante - SAC (Sistema Hamburguês) Por este sistema o credor exige devolução do principal em "n" parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização. Ex. 1: Uma indústria pega emprestado $ ,00 que são entregues no ato. Sabendo-se que o empréstimo deve ser pago dentro do prazo de dois anos em prestações semestrais pelo sistema de amortização constante sem carência e que nesta operação a uma taxa de juros cobrada foi de 10% a.s., construir a planilha financeira para esta operação. Solução: Am k = A / n Am k : Amortização do período k A : Valor Emprestado n : Número de Prestações k : Período k SAC Am k = Am k = 1 = Am k = 2 = = Am k = n Am k = $ ,00 Am k = $ ,00 /sem 4 Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior. J k = (i) (SD k - 1 ) J : Juros do período k i : Taxa de Juros SD k -1 : Saldo Devedor do período anterior ao período k

5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 5 J k = 1 = (i) (SD k = 0 ) J k = 1 = (0,10) ( ,00) = $ ,00 J k = 2 = (i) (SD k = 1 ) J k = 2 = (0,10) ( ,00) = $ ,00 J k = 3 = (i) (SD k = 2 ) J k = 3 = (0,10) ( ,00) = $ ,00 A prestação será: R k : R k = Am k + J k Pretação do período k R k = 1 = Am k = 1 + J k = 1 R k = 1 = $ ,00 + $ ,00 = $ ,00 R k = 2 = Am k = 2 + J k = 2 R k = 2 = $ ,00 + $ ,00 = $ ,00 R k = 3 = Am k = 3 + J k = 3 R k = 3 = $ ,00 + $ ,00 = $ ,00 SD k = (SD k -1 ) (Am k ) SD k : Saldo Devedor do período k SD k = 1 = (SD k = 0 ) (Am k =1 ) SD k = 1 = , ,00 = $ ,00 SD k = 2 = (SD k = 1 ) (Am k =2 ) SD k = 2 = , ,00 = $ ,00 SD k = 3 = (SD k = 2) (Am k =3 ) SD k = 3 = , ,00 = $ ,00

6 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 6 Plano de Amortização: Sem. Amortização. Juros. ( J k ) Prestação Saldo Devedor (k) (Am k ) (R k ) (SD k ) , , , , , , , , , , , , , , , ,00 - Total , Sistema Francês - SF O sistema francês de amortização é amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, onde as prestações são iguais, periódicas e sucessivas. Em outras palavras, se equivalem ao modelo básico de uma anuidade. Será admitido que a taxa de juros seja referida ao período de amortização (a menos que seja dito o contrário). A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i R k = Am k + J k J k = (i) SD k 1 Ex. 2: Uma firma pega emprestado em uma instituição financeira $ ,00, que são entregues no ato, sem prazo de carência, Sabendo que a instituição utiliza o sistema francês de amortização; a taxa contratada foi de 15% a.a; e a

7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 7 instituição quer a devolução em cinco prestações anuais, construir o plano de amortização. Solução: O principal é devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas => Modelo Básico de uma Anuidade. Valor Emprestado = A = $ ,00 A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i ,00 = R a 5 15% = R [1 (1 + 0,15) 5 ] 0, ,00 = R (3,35216) J k =1 = (i) SD k =0 R = $ ,67/ano J k = 1 = (0,15) ( ,00) = $ ,00 R k = Am k + J k Am k = R k J k Am k = 1 = , ,00 = $ ,67 SD k = 1 = SD k =0 Am k = 1 SD k = 1 = , ,67 = $ ,33 J k = 2 = (0,15) ( ,67) = $ ,80,00 Am k = 2 = , ,80 = $ ,87 SD k = 2 = , ,87 = $ ,46 J k = 3 = (0,15) ( ,47) = $ ,47 Am k = 3 = , ,47 = $ ,20 SD k = 3 = , ,20 = $ ,26

8 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 8 Plano de Amortização: Anos Amortização Juros (15%) Prestação Saldo Devedor (K) (Am k ) (J k ) (R k ) (SD k ) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,43* , ,64* Total , , ,32 Nota: (*) Como o SD k = 5 tem que ser zero, portanto, fizemos um pequeno ajuste nos períodos com *. A diferença é devido ao arredondamento dos valores Sistema Francês, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período a que se refere a amortização - Planilha calculada com Taxa Efetiva Para a resolução da planilha nestas condições se refere ao modelo genérico de anuidade correspondente. Para se calcular as prestações admiti-se que o prazo total do financiamento seje dividido em n períodos e que a taxa de juros i seje referida a estes períodos. Tendo-se um principal P e m amortizações (m < n), para o cálculo das prestações, deve ser determinado a taxa de juros efetiva i' correspondente ao período a que se refere a amortização. A prestação então será: R = (P) / (a m i' )

9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 9 A construção da planilha é o mesmo procedimento já visto para o sistema financeiro. Ex. 3: Foi emprestado a importância de $ ,00 para uma empresa a qual deve fazer a amortização em 5 parcelas trimestrais pelo SF, sem carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 24% a.s. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, construir a planilha. Solução: A = $ ,00 A taxa é 24% a.s., e a amortização é ao trimestre (1 + i t ) 2 = (1 + i s ) (1 + i t ) 2 = (1 + 0,24) i t = 1,24 1/2 1 A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i 5 parcelas trimestrais sem carência i t = 11,36% a.t ,00 = R k a 5 11,36%= = R [1 (1 + 0,1136) 5 ] R k = $ ,22 0,1136 J k = (i) (SD k 1 ) J k = 1 = (i) (SD k = 0 ) J k = 1 = (0,1136) ( ,00) = $ ,00 Am k = R k J k Am k = 1 = R k J k = 1 Am k = 1 = , ,00 = $ ,22 SD k = 1 = SD k = 0 Am k = 1 SD k = SD k - 1 Am k SD k = 1 = , ,22 = $ ,78 J k = 2 = (i) (SD k = 1 ) J k = 2 = (0,1136) ( ,78) = $ ,33 Am k = 2 = R k J k = 2 Am k = 2 = , ,33 = $ ,89

10 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 10 SD k = 2 = SD k = 1 Am k = 2 SD k = 2 = , ,89 = $ ,89 Plano de Amortização: Trim. Amortização Juros:11,36% Prestação Saldo Devedor (K) (Am k ) (J k ) (R k ) (SD k ) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,31* 6.962, ,23* Total , , ,11 (*) Ajuste Sistema Francês, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período a que se refere a amortização Sistema Price O Sistema Price também conhecido como "Tabela Price" (lê-se "praice") representa uma variante do Sistema Francês. Este sistema é fundamentalmente adotado quando os períodos das prestações (geralmente mensais) se forem menores que o da taxa de juros, tem como característica básica o uso da taxa proporcional simples e não o da taxa equivalente composta de juros. Ex. 4: O Banco de Desenvolvimento emprestou para as Industrias Kroll $ ,00 que foram entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a

11 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 11 taxa de juros cobrada pelo banco é de 36% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em oito parcelas mensais, construir a plano de amortização. Solução: i = 36% a.a. Tabela Price 8 parcelas mensais Taxa proporcional mensal 36%/12 = 3% a.m. A = R a n i = R [1 (1 + i) n ] i ,00 = R k a 8 3% R k = $ ,64 J k = (i) SD k -1 J k = 1 = (i) SD k = 0 = (0,03) ( ,00) = $ 3.000,00 Am k = R k J k Am k = 1 = R k = 1 J k = 1 Am k = 1 = , ,00 = $ ,64 SD k = SD k Am k SD k = 1 = SD k = 0 Am k = 1 SD k = 1 = , ,64 = $ ,36 J k = 2 = (i) SD k = 1 J k = 2 = (0,03) (88.754,36) = $ 2.662,63 Am k = 2 = R k J k = 2 Am k = 2 = , ,63 = $ ,01 SD k = 2 = SD k = 1 Am k = 2 SD k = 2 = , ,01 = $ ,35

12 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 12 Plano de Amortização: Mês (K) Amortização (Am k ) Juros: 3% (J k ) Prestação (R k ) Saldo Devedor (SD k ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,88 817, , , ,71* 414, ,63* Total , , ,11 (*) Ajuste 5.5- Sistema Americano - SA Este sistema é pouco difundido no mercado brasileiro mas muito adotado internacionalmente, estipula que o mutuário deve devolver o capital emprestado em uma só parcela ao final do período contratado. De acordo com a característica básica do Sistema Americano não é previsto amortizações intermediárias durante o empréstimo. Os juros geralmente são pagos periodicamente.

13 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 13 Ex. 5: Supondo que são tomados emprestados $ ,00, que devem ser amortizados pelo Sistema Americano ao final do 3 o. ano, e que os juros são pagos semestralmente à taxa de 15% a.s, elabore a planilha financeira. Solução: P = $ ,00 Carência = 3 anos = 6 sem. i = 15% a.s. J k = (i) SD k J k = 1 = (0,15) (50.000,00) = $ 7.500,00 J k = 1 = J k = 2 = = J k = 6 Am k =1 = = Am k = 5 = 0 R k = Am k + J k R k = 1 = ,00 = $ 7.500,00 R k = 1 = R k = 2 = = R k = 5 SD k = SD k - 1 A k SD k = 1 = ,00 0 = $ ,00 SD k = 1 = SD k = 2 = = SD k = 5 Am k = 6 = ,00 R k = 6 = Am k = 6 + J k = 6 = , ,00 = ,00

14 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 14 Plano de Amortização: Sem. Amortização Juros Prestação Saldo Devedor (K) (Am k ) (J k ) (R k ) (SD k ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , ,00 Ex. 6: Mesmo exemplo do ítem anterior, mas em que se admite a capitalização dos juros durante a carência. P = $ ,00 Carência = 3 anos = 6 sem. i = 15%a.s. Solução: J k = (i) SD k - 1 SD k = P (1 + i) n = k SD k = 1 = ,00 (1 + 0,15) = $ ,00 SD k = 2 = ,00 (1 + 0,15) 2 = $ ,00 R k =1 = R k =2 = = R k =5 = 0 R k = 6 = SD k = 6 = ,00 (1 + 0,15) 6 = $ ,04 J k = 6 = R k = 6 Am k = 6 = , ,00 = $ ,04 Ou: J k = 6 = P [(1 + i) n = k 1]

15 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 15 J k = 6 = ,00 [(1 + 0,15) 6 1] = $ ,04 Plano de Amortização: Sem. (K) Amortização (Am k ) Juros (J k ) Prestação (R k ) Saldo Devedor (SD k ) , , , , , , , , ,04 Total , , ,04

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