Juros Compostos. Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

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1 Introdução a Matemática Financeira Profº.: Ramon S. de Freitas Juros Compostos Juro composto é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Seja um capital C aplicado à taxa i durante um período n de tempo. No sistema de capitalização composta, temos: Para n = 1, temos: M 1 = C.(1+i) Para n = 2, temos: M 2 = M 1.(1+i) = C.(1+i).(1+i) = C.(1+i) 2 Para n = 3, temos: M 3 = M 2.(1+i) = C.(1+i) 2.(1+i) = C.(1+i) 3... E assim, sucessivamente. A fórmula geral do montante composto é: M = C.(1+i) n. O juro composto, é: J c = M C = C.(1+i) n - C Apesar de para mostrar a relação, termos utilizado os valores de n no conjunto dos números inteiros, podemos trabalhar da mesma forma com n sendo um valor racional, ou seja, inteiro ou fracionário. Exemplo: Aplicando-se R$ ,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do problema: C = R$ ,00 i = 17% a. m n = 1 ano = 12 meses Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante: Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos: Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

2 Logo o montante a receber será de R$ ,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então: J = , ,00 = 3362,96 Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ ,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros. Exemplo: Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 i = 4% = 0,04 n = 12 M = C (1 + i) n M = 600 (1 + 0,04) 12 M = 600 (1,04) 12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62 O fator (1,04) 12 i = 4%. pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e (1 + i)n n i 2% 3% 4% 5% 9 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C (1 + i) n M = 500 (1,05) 8 M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738, J = R$ 238,73 3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03

3 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C (1 + i) n 477,62 = C (1,03) 6 477,62 C = 1, C = R$ 400,00 Taxa Nominal e Taxa Efetiva É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do período de capitalização. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalização dos juros feita mensalmente. Essa taxa anual e chamada nominal. TAXA NOMINAL: quando sua unidade de tempo difere da unidade do período de capitalização. TAXA EFETIVA: quando sua unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. A TAXA NOMINAL não é utilizada nos cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por convenção, a passagem da TAXA NOMINAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcional. Exemplos: Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Temos que 36% a.a. é a taxa nominal; a taxa efetiva é portanto, 36% 12 = 3% ao mês. Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mensal, temos que 15% ao semestre é a taxa nominal; a taxa efetiva será 15% 6 = 2,5% ao mês. Taxas Equivalentes Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento. Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. capitalização composta, não. No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa rendimento, em um trimestre, de: Na o Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1) 3 M = 10 1,331 M = R$ 133,10. Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim:

4 Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + i a = (1 + i m ) 12 Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + i a = (1 + i t ) 4 Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + i m ) 6 = 1 + i s Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade cabe na maior. Exemplos: 1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano. Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês. C = R$ i = 5% = 0,05 n = 12 M = C (1 + i) n M = (1,05) 12 M = ,79586 M = R$ 2.693,78 2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o valor do montante? Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% 6 = 2% ao bimestre. C = R$ 800 i = 2% = 0,02 n = 9 M = C (1 + i)n M = 800 (1,02)9 M = 800 1,19509 M = R$ 956,07 3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital? Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% 2 = 6% ao semestre. M = R$ 1.969,93 i = 6% = 0,06

5 n = 10 C = M (1 + i) -n C = 1.969,93 (1,06) -10 C = 1.969,93 0,55839 C = R$ 1.100,00 4) Qual a taxa anual equivalente a: a) 3% ao mês; b) 30% ao semestre com capitalização bimestral a) i a =?; i m = 3% Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos: 1 + i a = (1 + i m ) i a = (1,03) i a = 1,42576 i a = 1, i a = 0,42576 = 42,57% b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 30% 3 = 10% ao bimestre. Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos: 1 + ia = (1 + ib) ia = (1,1) ia = 1,77156 ia = 1, ia = 0,77156 = 77,15% 5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal? Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos: (1 + im) 6 = 1 + is (1 + im) 6 = 1,9738 im = 12%

6 Desconto Racional Composto Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia CAPITAL VALOR ATUAL MONTANTE VALOR NOMINAL Se para o cálculo do montante composto dizemos que M = C (1 + i) n, então, para o cálculo do valor atual racional compostos, vamos dizer que: N = A (1 + i) n N A = n A = ( 1 i ) N 1 ( 1 i ) n ou ainda A = N (1 + i) -n Exemplos: 1) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual o valor atual? N = R$ n = 3 i = 10% = 0,1 Substituindo os dados do problema em A = A = N (1 + i) -n A = N (1,1) -3 A = ,75131 A = R$ 751,31 N ( 1 i) n ou A = N (1 + i) -n, temos: 2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto? A = R$ 1.645,41 n = 4 i = 5% = 0,05 Substituindo os dados em A = N A = ( 1 i) n N ( 1 i) n, temos:

7 N 1.645,41 = 4 (1,05) 1.645,41 = N 1,21551 N = R$ 2.000,00 Exercícios: 1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 4% am e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses 2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ ,00 acumula um montante de R$ ,00 à taxa efetiva de 15% am? 3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ ,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de: a) 13% at b) 18% aa c) 14% as d) 12% am 4 - (fácil) Um capital de R$ ,31 aplicado por 6 meses resultou em R$ ,00. Qual a taxa efetiva ganha? 5 - (fácil) Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa de 3% aa? 6 - (fácil) A rentabilidade efetiva de um investimento è de 10% aa. Se os juros ganhos forem de R$ ,00, sobre um capital investido de R$ ,00, quanto tempo o capital ficará aplicado? 7 - (fácil) Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% am? 8 - (fácil) Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de R$ 8.000,00, aplicado a juros efetivos de 4% am, e seu montante seja igual a 4/10? 9 - (fácil) Calcular o rendimento de um capital de R$ 7.000,00 aplicado à taxa efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano. (considere ano civil entre as datas) (fácil) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? 11 - (média) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada? 12 - (média) Por um equipamento de R$ ,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ ,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do segundo pagamento.

8 13 - (média) Um capital de R$ ,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses (fácil) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? 15 - (fácil) Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$ 2.000,00 contratado à taxa efetiva de 5% am pelo prazo de 25 dias.