Capital = 100 Juros simples Juros compostos Nº de anos Montante simples Montante composto

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1 Juros compostos Cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como juros sobre juros. Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a., teremos: Capital = 100 Juros simples Juros compostos Nº de anos Montante simples Montante composto ,1 * 100 = ,1 * 100 = 110, ,1 * 100 = ,1 * 110 = 121, ,1 * 100 = ,1 * 121 = 133, ,1 * 100 = ,1 + 0,1 * 133,1 = 146, ,1 * 100 = ,41 + 0,1 * 146,41 = 161,05 Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, portanto tem um crescimento muito mais rápido. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma: Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 1

2 FÓRMULA PARA CALCULAR JUROS COMPOSTOS Considere o capital inicial (principal C) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: Após o 1º mês, teremos: M 1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1) Após o 2º mês, teremos: M 2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1) 2 Após o 3º mês, teremos: M 3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1) 3... Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: De uma forma genérica, teremos para um principal C, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período t: onde: M = montante final C = capital i = taxa de juros t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Exemplo: se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, devemos considerar 2% ao mês durante. FÓRMULA PARA CALCULAR JUROS O valor dos juros é apurado pela diferença entre montante e capital, logo temos a expressão: FATOR DE CAPITALIZAÇÃO (FCC) Expressa o fator de cálculo do montante (valor futuro) no regime de juros compostos. É a derivação da fórmula já apresentada: 2

3 FATOR DE ATUALIZAÇÃO (FCA) Expressa o fator de cálculo do valor presente no regime de juros compostos. É a derivação da fórmula já mostrada: A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo se processa mediante a aplicação desses fatores: EXEMPLOS 1. Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicado a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante 1 ano? 2. Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ ,43. LOGARITMOS Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto: - Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25? Você deve estar pensando: -Mas isso eu resolvo com exponenciais!!! Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. O logaritmo serve para isso! Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma: 3

4 Onde é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25. Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2) para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2: Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver: Definição: em termos simples, é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No exemplo anterior,, temos então que a base é 5, o logaritmando é 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2. Note que, anteriormente, dissemos que x é o expoente de b, e na figura acima está escrito que x é o logaritmo. Isso acontece, pois o LOGARITMO É UM EXPOENTE. PROPRIEDADE DA POTÊNCIA DO LOGARITMO Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja: Exemplo: EXEMPLO 3. Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89. 4

5 EXERCÍCIOS 1. Determinar os juros de uma aplicação de R$ ,00, sendo a taxa de juros de 3,5% a.t. e o período de 2 anos e meio. a ,09 b ,87 c ,00 d ,23 2. Uma aplicação de R$ ,00 gerou um montante de R$ ,96 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo aproximado da aplicação. a. 18 meses aproximadamente b. 13 meses aproximadamente c. 16 meses aproximadamente d. 15 meses aproximadamente 3. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de R$ ,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? a ,23 b ,96 c ,22 d ,15 4. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa composta mensal cobrada pela loja? a. 9,6% a.m. b. 4% a.m. c. 6,4% a.m. d. 5% a.m. 5. Arthur deseja comprar um terrreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: Opção 1: pagar á vista, por R$ ,00. Opção 2: pagar a prazo, dando uma entrada de R$ ,00, e mais prestação de R$ ,00, para dali a 6 meses. Opção 3: pagar a prazo, dando uma entrada de R$ ,00, mais uma prestação de R$ ,00, para dali a 6 meses e outra de R$ ,00 para dali a 12 meses da data da compra. Opção 4: pagar a prazo, dando uma entrada de R$ ,00, e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ ,00. Opção 5: pagar a prazo, dalia a um ano, o valor de R$ ,00 5

6 Arthur tem o dinheiro para pagar á vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores a medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 6

F=1.038,50. F = P. (1+i) n F=1.000(1+0,12) 4/12. F = P. (1+i) n J=F-P J=1.000(1+0,02) 12 1.000 = 268,24

F=1.038,50. F = P. (1+i) n F=1.000(1+0,12) 4/12. F = P. (1+i) n J=F-P J=1.000(1+0,02) 12 1.000 = 268,24 1 Quais serão os juros pagos pelo empréstimo de $1. durante um ano a uma taxa de 2% am? P=1. i=2%am n=1 ano(=12meses) F = P. (1+i) n J=F-P J=1.(1+,2) 12 1. = 268,24 3 Qual será o montante pago pelo empréstimo

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