SÉRIES UNIFORMES. Fórmulas das séries antecipadas. Fórmulas das séries postecipadas ( ) [ ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )

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1 UNIÃO DE ENSINO SUPERIOR DE CAMPINA GRANDE FACULDADE DE CAMPINA GRANDE - FAC-CG CURSO: Graduação Tecnológica em Gestão Comercial Disciplina: Matemática Comercial e Financeira Prof.: Rosemberg Trindade SÉRIES UNIFORMES Estudaremos agora aplicações financeiras no regime de capitalização composta envolvendo séries uniformes. Nestas operações os pagamentos ou recebimentos ocorrem em séries periódicas e os valores são uniformes, ou seja, são iguais ao longo dos intervalos de tempo. Neste momento iremos estudar duas formas de séries uniformes: as postecipadas e antecipadas ambas finitas e não diferidas ou sem carência. Postecipadas são séries em que o pagamento da 1ª prestação ou parcela e efetuado no fim do primeiro período, as antecipadas seu pagamento é efetuado no início do primeiro período e são ditas não diferidas ou sem carência porque o prazo para o primeiro pagamento não é superior ao primeiro período. Para o cálculo através da fórmula (Método Algébrico) será necessário à utilização da calculadora financeira e o aluno necessitará conhecer algumas funções desta calculadora como: cálculos com função exponencial, logarítmica e inversa, além das operações de potenciação e radiciação com quaisquer expoentes e índices. Fórmulas das séries postecipadas [ ( ) ( ) ] ( ) [ ] ( ) Fórmulas das séries antecipadas [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] [ ( )] ( )

2 Apresentamos a seguir exemplos de problemas resolvidos pelo método algébrico, pela HP-12C e pelo Excel. Porém antes devemos nos atentar para alguns detalhes, por exemplo: a calculadora financeira HP-12C possui em sua programação padrão o idioma inglês então vale a pena observar a nomenclatura das variáveis que iremos utilizar. PMT: Pagamento periódico, valor das parcelas ou prestações. PV: Valor Presente (do inglês Present Value) ou Capital Inicial i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate) n: Número de períodos Na HP-12C cada uma das variáveis acima apresentadas são funções para cálculos financeiros, suas fórmulas de cálculos já estão programadas no software da calculadora bastando apenas que o usuário insira os valores de referência para que a mesma calcule o valor procurado. Exemplo: Se desejarmos achar o valor das prestações, inserimos os valores de VP, n e i nas teclas correspondentes a suas funções. Isso fará com que a calculadora armazene em sua memória as informações no registrador correspondente a variável inserida, e em seguida ao pressionarmos o botão PMT ela fará o cálculo das prestações nos retornando em seu visor o resultado correspondente. No Excel iremos utilizar o editor de fórmulas e escolher a função financeira desejada ver figura abaixo: 1 - Pressiona fx 2 - Escolhe a categoria financeira 3 - Escolhe a função desejada

3 PAGAMENTOS POSTECIPADOS esta situação ocorre quando o pagamento da primeira parcela ocorre n fim do primeiro período. Veja os exemplos abaixo: 1º Exemplo - Você pede emprestado a um banco o valor de R$ 1900,00 para serem pagos a juros compostos de 3% a.m., com prestações mensais iguais durante sete meses pagas ao final de cada mês. Qual o valor destas prestações? Como dados da questão temos: R$ 1900,00 É o valor tomado de empréstimo (Fluxo de caixa + entrada de dinheiro) 7 meses é o tempo (período) 3% a.m. é a taxa de juros que está na mesma unidade do tempo Usando a HP-12C faremos: [f] [CLX] 1900,00 [PV] Insere o valor presente 7 [n] Insere o período 3 [i] Insere a taxa de juros PMT Retorna o valor da prestação Neste caso a calculadora retorna -304,96 que é o valor a ser pago. (Fluxo de caixa saída de dinheiro) Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função PGTO e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel -304,96 que é o valor a ser pago. (Fluxo de caixa saída de dinheiro) Valor Presente 2º Exemplo: Você comprou um aparelho de TV por (0+5) prestações mensais iguais e postecipadas de R$ 263,79. A loja informou que a taxa cobrada seria de 10% a.m. a juros compostos, determine o valor do aparelho à vista.

4 Neste caso já sabemos o valor das prestações (PMT) queremos saber então o valor a vista que é o nosso VP. Então como dados temos: R$ 263,80 como nossas prestações, ou seja, PMT (Devemos inserir negativo, pelo fluxo de caixa saída de dinheiro). 5 meses é o nosso período 10% é a nossa taxa que está em meses. [f] [CLX] 263,79 [CHS] [PMT] Insere o valor da prestação 5 [n] Insere o período 10 [i] Insere a taxa de juros [PV] Retorna o valor do bem à vista Neste caso a calculadora retorna 1.000,00 que é o valor pago pelo bem à vista. (Fluxo de caixa + entrada de dinheiro, pois o bem foi recebido sem pagamento). Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função VP e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel -1000,00 que é o valor financiado. (Fluxo de caixa saída de dinheiro) Quantidade de Parcelas 3º Exemplo: Em quantas prestações mensais de R$ 125,00 será pago um eletrodoméstico que custa R$ 2.500,00 a uma taxa de 2% a.m. com pagamentos postecipados. Então como dados temos: R$ 125,00 como nossas prestações, ou seja, PMT (Devemos inserir negativo, pelo fluxo de caixa saída de dinheiro). R$ 2500 é o nosso valor presente PV (insere-se positivo pelo fluxo de caixa recebido um bem sem pagamento prévio)

5 2% é a nossa taxa que está em meses. [f] [CLX] 125,00 [CHS] [PMT] Insere o valor da prestação 2500,00 [PV] Insere o valor presente 2 [i] Insere a taxa de juros [n] Retorna o período ou quantidade Neste caso a calculadora retorna 26 que é a quantidade de parcelas a serem pagas. Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função NPER e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel retorna 25,79 que arredondamos para 26 por ser unidade de tempo e é o número de períodos da operação financeira Taxa de Juros 4º Exemplo: Um carro popular é vendido em uma loja especializada pelo valor de R$ ,00 em (0+24) prestações mensais fixas de R$ 1.123,71. Calcule a taxa de juros deste financiamento. Então como dados temos: R$ 1123,71 como nossas prestações, ou seja, PMT (Devemos inserir negativo, pelo fluxo de caixa saída de dinheiro). R$ ,00 é o nosso valor presente PV (insere-se positivo pelo fluxo de caixa recebido um bem sem pagamento prévio) 24 é a quantidade de parcelas [f] [CLX] 1123,71 [CHS] [PMT] Insere o valor da prestação 20600,00 [PV] Insere o valor presente 24 [n] Insere o período [i] Retorna a taxa de juros

6 Neste caso a calculadora retorna 2,28%, como o período foi inserido em meses a taxa está ao mês. Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função TAXA e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel retorna 0,02277 que arredondamos e transformamos para 2,28 % por ser unidade de taxa, como o período estava em meses à taxa é ao mês.

7 PAGAMENTOS ANTECIPADOS esta situação ocorre quando o pagamento da primeira parcela é efetuado no início do primeiro período. Para habilitarmos este cálculo na HP-12C devemos pressionar as teclas [g] [7], aparecerá no visor a indicação BEGIN, indicando que a partir deste momento os cálculos serão efetuados levando-se em consideração paramentos no começo do período, ou seja, antecipados. Para desabilitarmos basta teclarmos [g] [8]. Façamos os mesmos cálculos dos exemplos anteriores com esta função habilitada e vejamos se haverá alguma diferença. Iremos perceber que ao utilizar o pagamento antecipado será mais vantajoso para a parte que toma emprestado, pois os juros não incidem sobre a primeira parcela. Valor da Prestação Na calculadora HP-12C para obtermos o valor das prestações basta inserirmos o Valor presente ou futuro, o período e a taxa e pressionarmos a tecla PMT. Lembrando sempre que o tempo e a taxa tem que estar na mesma unidade de tempo. Veja os exemplos abaixo: Para todos os cálculos lembrem-se de habilitar a função Begin pressionando [g] [7] 5º Exemplo - Você pede emprestado a um banco o valor de R$ 1900,00 para serem pagos a juros compostos de 3% a.m., com prestações mensais iguais durante sete meses pagas no início de cada mês. Qual o valor destas prestações? Como dados da questão temos: R$ 1900,00 É o valor tomado de empréstimo (Fluxo de caixa + entrada de dinheiro) 7 meses é o tempo (período) 3% a.m. é a taxa de juros que está na mesma unidade do tempo Usando a HP-12C faremos: [f] [CLX] 1900,00 [PV] Insere o valor presente 7 [n] 3 [i] PMT Insere o período Insere a taxa de juros Retorna o valor da prestação Neste caso a calculadora retorna -296,08 que é o valor a ser pago. (Fluxo de caixa saída de dinheiro)

8 Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função PGTO e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel -296,08 que é o valor a ser pago. (Fluxo de caixa saída de dinheiro) Valor Presente 6º Exemplo: Você comprou um aparelho de TV por (1+4) prestações mensais iguais e antecipadas de R$ 239,82. A loja informou que a taxa cobrada seria de 10% a.m. a juros compostos, determine o valor do aparelho à vista. Neste caso já sabemos o valor das prestações (PMT) queremos saber então o valor a vista que é o nosso VP. Então como dados temos: R$ 239,82 como nossas prestações, ou seja, PMT (Devemos inserir negativo, pelo fluxo de caixa saída de dinheiro). 5 meses é o nosso período 10% é a nossa taxa que está em meses. [f] [CLX] 239,82 [CHS] [PMT] Insere o valor da prestação 5 [n] Insere o período 10 [i] Insere a taxa de juros [PV] Retorna o valor do bem à vista Neste caso a calculadora retorna 1.000,00 que é o valor pago pelo bem à vista. (Fluxo de caixa + entrada de dinheiro, pois o bem foi recebido sem pagamento). Note que para termos o mesmo valor presente a prestação diminuiu. Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função VP e lançaremos os valores conforme figura a seguir:

9 Neste caso o Excel -1000,00 que é o valor financiado. (Fluxo de caixa saída de dinheiro) Quantidade de Parcelas 7º Exemplo: Em quantas prestações mensais de R$ 121,81 será pago um eletrodoméstico que custa R$ 2.500,00 a uma taxa de 2% a.m. com pagamentos antecipados. Então como dados temos: R$ 121,81 como nossas prestações, ou seja, PMT (Devemos inserir negativo, pelo fluxo de caixa saída de dinheiro). R$ 2500 é o nosso valor presente PV (insere-se positivo pelo fluxo de caixa recebido um bem sem pagamento prévio) 2% é a nossa taxa que está em meses. [f] [CLX] 121,81 [CHS] [PMT] Insere o valor da prestação 2500,00 [PV] Insere o valor presente 2 [i] Insere a taxa de juros [n] Retorna o período ou quantidade

10 Neste caso a calculadora retorna 26 que é a quantidade de parcelas a serem pagas. Note que a prestação foi menor do que no exemplo postecipado para utilizarmos o mesmo valor presente e a mesma taxa. Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função NPER e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel retorna 25,79 que arredondamos para 26 por ser unidade de tempo e é o número de períodos da operação financeira Taxa de Juros 8º Exemplo: Um carro popular é vendido em uma loja especializada pelo valor de R$ ,00 em (1+23) prestações fixas de R$ 1.098,94. Calcule a taxa de juros deste financiamento. Então como dados temos: R$ 1098,94 como nossas prestações, ou seja, PMT (Devemos inserir negativo, pelo fluxo de caixa saída de dinheiro). R$ ,00 é o nosso valor presente PV (insere-se positivo pelo fluxo de caixa recebido um bem sem pagamento prévio) 24 é a quantidade de parcelas [f] [CLX] 1098,94 [CHS] [PMT] Insere o valor da prestação 20600,00 [PV] Insere o valor presente 24 [n] Insere o período [i] Retorna a taxa de juros Neste caso a calculadora retorna 2,28%, como o período foi inserido em meses a taxa está ao mês. Percebemos mais uma vez que a prestação é menor para mantermos os

11 outros valores. Usando o Excel através do editor de fórmulas buscamos a função TAXA e lançaremos os valores conforme figura a seguir: Neste caso o Excel retorna 0,02277 que arredondamos e transformamos para 2,28 % por ser unidade de taxa, como o período estava em meses, à taxa é ao mês.

12 REFERÊNCIAS: BRUNI, A. L. Matemática Financeira: com HP-12C e Excel. 5ª Ed. São Paulo: Atlas, GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP-12C e Excel: Uma abordagem descomplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.