Matemática Financeira Aplicada.

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1 Matemática Financeira Aplicada

2 Conceitos Básicos - Juros Simples - Juros Composto

3 Juros Simples: J = C x i x n M = C + J Juros Compostos M = C x (1 + i) n J = M C Exemplo: Aplicação de R$ 500,00, com taxa de juros de 5% a.m. durante 3 meses. Qual o montante e o valor dos juros ao final de 3 meses, no regime simples/composto de capitalização.

4 Desconto Desconto Comercial: Conhecido como desconto bancário ou por fora. A Referência é o valor Nominal do Título. Fórmulas de Cálculo: Cálculo do Valor Atual ou Valor Presente do título: A = N x (1 i x n). Sendo A o valor atual e N o valor nominal (valor de face) do Título. Cálculo direto do Desconto Comercial: D = N x i x n. Desconto Racional: Conhecido como desconto por dentro. A Referência é o Valor Atual do Título. Fórmula de Cálculo: A = N / 1 + i x n Em ambos os exemplos, para calcular o valor do desconto, depois de calculado o valor atual será: d = N A

5 Exemplo: Um Título de R$ 100,00 com vencimento para daqui a 2 meses, taxa de juros de 10% a.m. Qual o valor atual e do desconto. Desconto Comercial Desconto Racional N = 100,00, i = 10% a.m, n = 2 N = 100,00, i = 10% a.m e n = 2 A = 100 x (1 0,1 x 2) = 80,00 A = 100 / (1 + 0,1 x 2) = 83,33 d = = 20,00 d = ,33 = 16,67

6 Taxa Equivalente Duas taxas de juros são ditas equivalentes se aplicadas sobre um mesmo capital, em certo período de tempo, produzirem o mesmo montante. Por exemplo, 1% ao mês e 12,6825% ao ano, são equivalentes, pois: FV = 1.000(1+0,01) 12 =1.126,83 FV = (1+0,126825) 1 =1.126,83 Comparação de taxas: (1+i ) =(1+i ) 4 =(1+i ) 3 =(1+i ) 12 =(1+i ) 360 a.a a.t a.q a.m a.d (a.a.: ao ano; a.t.: ao trimestre; a.q.: ao quadrimestre; a.m.: ao mês; a.d.: ao dia)

7 Ou através da fórmula: prazo que eu quero i prazo que eu tenho i = Não se esquecendo que tanto o prazo que possui como o prazo que quer possuir, devem estar sempre na mesma unidade de tempo.

8 EXEMPLO A taxa anual de um CDB pré-fixado é de 11% ao ano. Qual seria a taxa equivalente para uma aplicação de 32 dias? Solução: Veja, o prazo que possuo é 32 dias e o prazo que quero possuir é 1 ano, que deve ser convertido para 360 dias para igualar com o prazo desejado que é menor, ou seja: i = 1+ Na HP 12 C, ficaria: Teclas (inserção de dados) Visor Significado 11 ENTER 11,00 introduz a taxa ao ano 100 0,11 taxa dividida por ,11 soma-se 1 a taxa de juros na fórmula 32 ENTER 32 introduz o prazo que quero 360 0, divisão pelo prazo que tenho x y 1, resultado de 0, (1,11) 1-0, subtrai-se 1, que é da fórmula 100 x 0,932 taxa de juros para 32 dias

9 Taxa Efetiva É o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos. É obtida pela expressão: i f q = 1+ i -1 Onde: q representa o número de períodos de capitalização dos juros e a taxa efetiva de juros i f

10 Exemplo Uma taxa de juros de 2% ao mês determina um montante efetivo de juros de 26,82% ao ano, isto é: 12 i = 1+ 0,02-1= 26,82% f ao ano Na HP 12 C: Teclas (inserção de dados) Visor Significado 0.02 ENTER 0,02 introduz a taxa de juros 1 + 1,02 soma-se 1 a taxa de juros na fórmula x 12 y 1,2682 resultado de 1-0,2682 subtrai-se 1, que é da fórmula (1,02) x 26,82 taxa ao ano

11 Fluxo de Caixa Valor Presente Valor Futuro + Taxa de Juros ( i %) Juros Juros J FV n Valor Presente PV Capital Inicial

12 Exemplo: l Qual o montante de uma aplicação a juros compostos de 12% ao ano no valor de R$ ,00 pelo prazo de 18 meses? PV = ,00 i = 12% ao ano N = 18 meses = 1,5 ano n FV = PV(1+i) FV = (1+ 0,12) FV =11.852,97 1,5

13 Fluxo de Caixa Representa uma série de pagamentos ou de recebimentos, que se estima ocorrer num determinado intervalo de tempo. Valor Presente: PV = PMT (1+i) n -1 (1+i) i Valor Futuro: FV = PMT (1+i) n -1 i

14 Séries de Pagamentos PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT n-1 n 1 o PMT tempo POSTECIPADA n (1+i) -1 n PV = PMT (1+i) -1 (1+i) n i FV = PMT i

15 EXEMPLOS 1.Um financiamento de um carro é feito por R$ ,00 em 12 parcelas mensais iguais no valor de R$ 1.272,85, sem entrada. Qual o valor da taxa de juros mensal cobrada? PV = n = 12 PMT = 1.272,85 i =? n (1+i) -1 PV = PMT (1+i) n i 12 (1+i) =1272,85 (1+i) 12 i i = 3,5%a.m f CLX 1 CHS PV PMT 2 n i

16 2. Uma loja de mercadoria anuncia a venda de um produto a vista por R$ 600,00 ou em 4 (0+4) parcelas mensais iguais sem entrada. Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, qual o valor das prestações? PV = 600 n = 4 i = 2% PMT =? PMT PMT PMT PMT n (1+i) -1 PV = PMT (1+i) n i PV = dias (1) (2) (3) (4) meses 4 (1+0,02) = PMT (1+0,02) 4 0,02 PMT =157,57 f CLX / 600 CHS PV / 2 i / 4 n / PMT (sem BEGIN)

17 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT n-1 n 1 o PMT tempo ANTECIPADA n (1+i) -1 PV = PMT (1+i) n-1 i

18 Exemplo: Uma loja de mercadoria anuncia a venda de um produto a vista por R$ 600,00 ou em 4 (1+3) parcelas mensais iguais sendo a primeira de entrada. Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, qual o valor das prestações? PV = 600 n = 4 i = 2% PMT =? PMT PMT PMT PMT dias (1) (2) (3) (4) meses n (1+i) -1 PV = PMT (1+i) n i 4 (1+0,02) = PMT (1+0,02) 3 0,02 PMT =154,49 PV = 600 f CLX / 600 CHS PV / 2 i / 4 n / g BEGIN / PMT

19 Exemplo prazo diferido Uma loja de mercadoria anuncia a venda de um produto a vista por R$ 600,00 ou em 4 (1+3) parcelas mensais iguais sendo uma de entrada. Se a entrada deverá ser paga daqui a 40 dias e as demais de 30 em 30 dias, e a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, qual o valor das prestações? PV = 600 PMT PMT PMT PMT dias (1) (2) (3) (4) meses FV = PV(1+i) f CLX / 600 CHS PV / 2 i / 40 ENTER 30 n FV n FV = 600(1+ 0,02) = 616,05 n (1+i) -1 PV = PMT (1+i) n i 4 (1+0,02) ,05 = PMT (1+0,02) 3 0,02 PMT =158,62 f CLX / 616,05 CHS PV 2 I / 4 n / g BEGIN / PMT

20 Período Singular de Juros É explicado quando o prazo do primeiro fluxo de caixa (PMT) for diferente dos demais prazos Quando o intervalo de tempo para pagamento da primeira prestação for menor que os demais prazos do fluxo, a série de caixa é considerada antecipada, devendo previamente serem pressionadas as teclas g BEG Em caso contrário, o fluxo será considerado postecipado, pressionando-se: g END

21 EXEMPLO 1. Admita um financiamento de $ ,00 a ser pago em 5 prestações mensais e iguais. A primeira prestação vence em 20 dias, e as demais a cada 30 dias. A taxa de juros é de 2% a.m. Determinar o valor das prestações. Solução: Com o uso da HP 12 C: Teclas (inserção de dados) Visor Significado f REG 0,00 limpa todos os registradores CHS PV ,00 introduz o valor presente 2.00 i 2,00 introduz a taxa mensal de juros 20 ENTER 20,00 introduz o prazo inicial 30 0,67 prazo singular 5 + n 5,67 somando com o prazo inteiro g BEG 5,67 aciona o flag da entrada da 1ª prestação PMT 4.215,25 valor da prestação

22 Sistema de Amortização Encargos: Juros sobre o saldo devedor; Saldo Devedor: Saldo devedor atualizado após o pagamento da prestação; Amortização: Pagamento do principal (capital inicial); Prestação: amortização + encargos;

23 TABELA PRICE O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do sistema francês. Esse nome se deve ao matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no Séc XVIII e que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou financiamentos). Em 1771, publicou Observations on Hevertionary Payments (observação sobre pagamentos com direito a devolução). Esta obra lança os fundamentos Científicos dos estudos atuariais, revolucionando a concepção das seguradoras inglesas.

24 Fluxo de Caixa e Análise de Investimento

25 Fluxo de Caixa na HP 12C a) f FIN ou f REG para zerar os registros b) g Cfo a parcela da data zero, também conhecido como valor atual c) g Cfj os demais valores, devendo obedecer rigorosamente à ordem cronológica. d) O fluxo máximo terá 20 valores diferentes ( Cfj), sendo que cada valor poderá ser repetido até 99 vezes ( Nj) e) g Nj número de repetições f) Devemos informar apenas um valor para cada data

26 Análise de Investimentos Métodos de avaliação de fluxos de caixa: Valor Presente Líquido NPV ( Net Present Value ) É uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos iguais ou diferentes a uma taxa conhecida, e deduzir o valor do fluxo inicial. n CF j NPV = - CF j j=1 (1+i) 0

27 Assim, ao analisar a conveniência da compra de um ativo, fixa-se a taxa mínima de retorno desejada, e com base nesta, calcula-se o valor presente das receitas liquidas estimada para os próximos meses ou anos, que são geradas pelo valor de compra do equipamento. Resumindo: Se NPV for negativo, a taxa de retorno apresenta-se menor do que a desejada. Se NPV for igual a zero, a taxa de retorno é igual à desejada. Se NPV for positivo, a taxa de retorno é maior do que a desejada

28 EXEMPLOS Admita agora, o seguinte fluxo de caixa não periódico: 100,00 100,00 100,00 100, Para uma taxa de juros de 2% ao mês, calcular o valor presente: PV = (1+ 0,02) 4 (1+ 0,02) 7 (1+ 0,02) (1+ 0,02) = $ 371,71

29 Teclas (inserção de dados) Visor Significado f REG 0,00 limpa todos os registradores 100 g CFj 100,00 valor do fluxo no 1º mês 0 g CFj 0,00 vlr. do fluxo no 2º mês (vlr. não informado, atribuí-se 0) 100 g CFj 100,00 valor do fluxo no 3º mês 2 g Nj 2,00 repete o fluxo de caixa acima por 2 meses 0 g CFj 0,00 como o vlr. do fluxo não é informado substitui-se por 0 2 g Nj 2,00 repete o fluxo acima por 2 meses 100 g CFj 100,00 valor do fluxo no 7º mês 2 i 2,00 taxa de juros de 2% ao mês f NPV 371,71 valor presente na data zero

30 Taxa Interna de Retorno- IRR ( Internal Rate of Return) É a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos, com o valor presente de um ou mais recebimentos. n CF j CF = 0 j j=1 (1+ i)

31 EXEMPLO Um investidor tem a oportunidade de adquirir uma propriedade por $ 9.900,00 e ele gostaria de ter um retorno de 12%. Ele espera poder vendê-la em 10 anos por $ ,00, e prevê que os fluxos de caixa anuais referentes aos aluguéis anuais e valor de venda são os apresentados na tabela abaixo: Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de caixa 1 $ $ 1.210,00 2 $ $ 1.200,00 3 $ $ 1.200,00 4 $ $ 750,00 5 $ $ ,00

32 Solução: Teclas (inserção de dados) Visor Significado f REG 0,00 limpa todos os registradores 9900 CHS g CFo ,00 valor do fluxo inicial 1700 g CFj 1.700,00 valor do fluxo no 1º ano 1400 g CFj 1.400,00 valor do fluxo no 2º ano 1300 g CFj 1.300,00 valor do fluxo no 3º ano 3 g Nj 3,00 repete o fluxo de caixa acima 1210 g CFj 1.210,00 valor do fluxo no 6º ano 1200 g CFj 1.200,00 valor do fluxo no 7º ano 2 g Nj 2,00 repete o fluxo de caixa acima 750 g CFj 750,00 valor do fluxo no 9º ano g CFj ,00 valor do fluxo no 10º ano 12 i 12,00 taxa de juros de 12% f NPV 997,71 valor presente na data zero Como o NPV é positivo, $ 997,71, conclui-se o investimento excedeu o retorno de 12% desejado; f IRR = 13,82%

33 Alterando as instruções de fluxo de caixa Com os fluxos de caixa já armazenados na calculadora, admita trocar o valor de CF 2 de $ 1.400,00 por $ 130,00 e calcular então o novo NPV e a nova IRR. Solução: 130 STO 2 12 i f NPV =- 14,73 Como este NPV é negativo, o investimento não alcançou a taxa desejada de 12%, apresentando um retorno de 11,97%.

34 OBSERVAÇÃO Há casos em que IRR não existe, ou então possui vários valores simultâneos. Isto geralmente ocorre quando o fluxo possui mais de uma inversão de sinal (os lançamentos do fluxo ora são positivos, ora são negativos). Em tais casos, o cálculo da IRR poderá ocasionar mensagens de erro (ERROR 3). É recomendado não usar a IRR em tais situações. O NPV geralmente constitui o melhor método de análise.

35 EXEMPLO 1. Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de $ ,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e consecutivos de $ 2.500,00, $ 3.800,00, $ 4.500,00 e $ 2.700, , (meses) 2.500, , , ,00 A formulação para o problema apresenta-se: ,00 = (1+IRR) 1 (1+IRR) 2 (1+IRR) 3 (1+IRR) 4

36 Na HP 12 C: Teclas (inserção de dados) Visor Significado CHS g CFo ,00 valor do fluxo inicial 2500 g CFj 2.500,00 valor do fluxo no 1º mês 3800 g CFj 3.800,00 valor do fluxo no 2º mês 4500 g CFj 4.500,00 valor do fluxo no 3º mês 2700 g CFj 2.700,00 valor do fluxo no 4º mês f IRR 2,47 2,47% taxa interna de retorno

37 Custo Equivalente Anual É uma medida que representa a distribuição uniforme dos fluxos de caixa por todos os anos de vigência do projeto. Essa medida é mais indicada para análise de projetos de investimento com períodos de vigências diferentes.

38 Para o projeto A, pode-se calcular o NPV equivalente uniforme Teclas (inserção de dados) Visor Significado f REG 0,00 limpa registros CHS PV -16,93 NPV do projeto 10 i 10,00 custo de capital 4 n 4,00 prazo do projeto g END PMT 5,34 custo equivalente anual Para o projeto B tem-se: NPV equivalente anual igual a $ 5,45. Obviamente quanto maior, mais atrativo é projeto, sendo o B o mais indicado.

39 Sistema de Prestação Constante - (PRICE) Adotado quando os períodos das prestações se apresentam menores que o da taxa de juros Tem como característica básica o uso da taxa proporcional (linear) simples ao invés da taxa equivalente composta de juros. Prestações são constantes, as amortizações variáveis, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo.

40 Empréstimo: $ ,00 Prazo: 4 meses Juros: 42,576%a.a

41 EXEMPLO 1. Taxa de juros contratada : 18% a.a Condições de pagamento : 4 prestações trimestrais iguais Valor do financiamento : $ ,00 Trimestre Saldo Devedor $ Amortização $ Juros $ Prestação $ , , , ,00 $ 8.362, , , ,45 $ 8.362, , ,62 704,69 $ 8.362, ,21 360,10 $ 8.362,31 TOTAL , ,20 $ ,24

42 Com o uso da HP 12 C: Teclas (inserção de dados) Visor Significado f REG 0,00 limpa todos os registradores CHS PV ,00 valor do financiamento 4.5 i 4,50 taxa de juros nominal 4 n 4,00 prazo do financiamento PMT 8.362,31 valor da prestação 1 f AMORT 1.350,00 1ª parcela de juros X<> y 7.012,31 1ª parcela de amortização RCL PV ,69 Saldo devedor após pagamento da prestação 1 f AMORT 1.034,45 2ª parcela de juros e assim por diante...

43 Sistema de Amortização Constante - SAC Este sistema permite alguns tipos de situações: Pagamento sem carência Pagamento com carência: 1. Com juros pagos durante a carência; 2. Com juros capitalizados (não pagos) durante a carência, vindo a pagar no vencimento da primeira prestação; 3. Com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.

44 CARACTERÍSTICAS A devolução do principal é feita em n parcelas iguais denominadas: parcelas de amortização. O valor da amortização é facilmente obtido através da divisão do capital emprestado pelo número de prestações. Os juros são calculados sobre o saldo devedor anterior sendo, portanto, de valor decrescente. A prestação é a soma da amortização com juros, constituindo uma progressão aritmética decrescente. Taxa efetiva

45 Empréstimo: $ ,00 Prazo: 4 meses Juros: 42,576%a.a

46 AMORTIZAÇÃO = = i = (1+ 0,42576) -1= 3%a.m JUROS = ,03 = 300 n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , ,00 300, , , ,00 225, , , ,00 150, , ,00 75, ,00