Desconto Simples Racional e Comercial - Parte Equivalência de descontos Equivalência de capitais - Parte Equivalência de

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2 Sumário Razão... 4 Proporção - Parte Proporção - Parte Proporção - Parte Proporção - Parte Média Aritmética... 7 Média Aritmética Ponderada... 8 Grandezas Proporcionais... 9 Regra de Três Simples - Parte Regra de Três Simples - Parte Porcentagem - Parte Porcentagem - Parte Matemática Financeira Juros e Capitalização Simples Juros Simples - Parte Juros Simples - Parte Montante - Parte Montante - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Juro Composto - Parte Desconto Simples Desconto Simples Racional - Parte Desconto Simples Racional - Parte Desconto Simples Comercial Desconto Simples Racional e Comercial - Parte Desconto Simples Racional e Comercial - Parte

3 Desconto Simples Racional e Comercial - Parte Equivalência de descontos Equivalência de capitais - Parte Equivalência de capitais - Parte Séries de Pagamento - Parte Séries de Pagamento - Parte Séries Uniformes de Pagamento - Parte Séries Uniformes de Pagamento - Parte Séries Uniformes de Pagamento - Parte Séries Uniformes de Pagamento - Parte Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo Sistemas de Amortização de Dívidas Sistema PRICE Sistema SAC

4 Razão Nesta primeira semana, vamos conhecer alguns conceitos matemáticos que nos auxiliam no nosso cotidiano e que são fundamentais quando pretendemos estudar Matemática Financeira. Vamos começar falando sobre o conceito de razão. Quando falamos que um automóvel faz 11km com um litro de gasolina ou que um jogador de futebol fez 3 gols em dois jogos ou ainda dizemos que acertamos 18 questões de uma avaliação com 30 questões, estamos considerando quocientes ou razões. A razão entre dois números a e b, escrita a:b é a fração desde que tenhamos b diferente de zero. Assim, nas situações apresentadas podemos escrever: Um automóvel faz 11km com um litro de gasolina, o que significa que temos uma razão de 11km (distância) por 1l(quantidade de combustível) ou seja, 11:1 ou. Um jogador de futebol fez 3 gols em dois jogos, o que significa que temos 3 gols por 2 partidas, ou seja 3:2 ou. Acertamos 18 questões de uma avaliação com 30 questões, o que significa que temos um aproveitamento de 18 por 30 ou 18:30 ou. Muitos conceitos importantes são apresentados como razões, por exemplo: Escala: É a razão entre a medida do comprimento usado em um desenho e a medida do comprimento real. Densidade Demográfica: É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Taxa Percentual: É a razão entre um número e 100. Vale lembrar ainda que duas razões como a:b e b:a são denominadas razões inversas e sendo assim, podemos dizer que as razões 1:7 e 7:1 são razões inversas. O mesmo ocorre com as razões 2:3 e 3:2. Proporção - Parte 1 Outro conceito matemático importante nos nossos estudos é o conceito de proporção que significa a igualdade de duas razões com a, b, c e d todos diferentes de zero. 4

5 A proporção para d. pode ser lida da seguinte forma: a está para b assim como c está Os termos a e d da proporção são denominados extremos e os termos b e c são denominados meios. Você deve se lembrar de alguma vez ter ouvido "O produto dos extremos é igual ao produto dos meios". Esta expressão se refere a propriedade fundamental das proporções que em símbolos matemáticos pode ser representada por. Esta propriedade é muito utilizada na resolução de problemas, entre eles, os que envolvem divisão proporcional e regra de três. Proporção - Parte 2 Observe o seguinte problema: No dia 17 de novembro de 2010 a seleção Brasileira de futebol fez um jogo amistoso contra a seleção Argentina na cidade de Doha no Catar. Durante o jogo, um jornalista afirmou que a grande maioria dos moradores do Catar eram estrangeiros, mais precisamente, o jornalista disse que para cada pessoa natural do Catar haviam 7 estrangeiros. Considerando que havia torcedores no jogo Brasil x Argentina e mantida a proporção, você pode fazer uma estimativa de quantos torcedores no estádio eram de fato naturais do Catar? Este problema pode ser resolvido utilizando a propriedade fundamental das proporções. Observe a lista organizada com os dados fundamentais do problema: 7 pessoas estrangeiras 1 pessoa natural do Catar pessoas no estádio X pessoas naturais do Catar Manter a proporção Com estes dados podemos considerar que: Assim, podemos dizer que no estádio haviam cerca de 7143 pessoas naturais do Catar. 5

6 Proporção - Parte 3 Vamos a mais um exemplo para que você entenda como se dá a resolução de problemas envolvendo proporcionalidades. Imagine que: Durante as eleições de 2010 foi feita uma pesquisa em uma cidade que possui 3450 eleitores. Nesta pesquisa foram entrevistadas 345 pessoas e destas pessoas 100 disseram que iriam votar no candidato A. Mantendo a proporcionalidade faça uma estimativa de quantos eleitores na cidade votam no candidato A. Para resolver este problema vamos considerar os seguintes dados: Eleitores que afirmaram votar no candidato A: 100 Número de pessoas entrevistadas: 345 Número total de eleitores: 3450 Estimativa de quantos votam em A na cidade: x Podemos então estimar que 1000 eleitores irão votar no candidato A. Proporção - Parte 4 E para finalizarmos nosso assunto sobre proporção, um último exemplo para fixarmos o que vimos até aqui. Dois amigos resolveram fazer uma sociedade. Combinaram que o lucro ou prejuízo seria dividido entre os dois de maneira proporcional, conforme o investimento inicial de cada um. O amigo A investiu inicialmente R$ ,00 enquanto que o amigo B investiu R$ ,00. Ao final do primeiro ano de funcionamento do empreendimento o lucro obtido foi de R$ ,00. Quanto desse lucro cabe a cada amigo? Para resolver este problema vamos considerar os seguintes dados: Amigo A investiu R$10.000,00 e deve receber a Amigo B investiu R$15.000,00 e deve receber b O total investido foi de R$25.000,00 Os amigos vão receber de lucro um total de R$30.000,00, ou seja, a+b= A divisão dos lucros deverá ser proporcional ao investimento 6

7 Observe que temos aqui as seguintes razões que são proporcionais: Considerando as razões obtidas e a propriedade fundamental das proporções faremos os seguintes cálculos: Concluímos então que o investidor A deve receber R$ ,00 do lucro obtido e o investidor B irá receber R$18.000,00. Observe que poderíamos fazer de outra maneira, usando a razão em que aparece o valor b: Média Aritmética Observe as seguintes tabelas com as notas de alunos de duas turmas de matemática: Notas da Turma 1 Notas da Turma 2 Aluno A 7,3 Aluno B 5,9 Aluno C 10,0 Aluno D 3,4 Aluno E 7,1 Aluno F 2,0 Aluno G 6,8 Aluno H 5,0 Aluno I 5,6 Aluno J 9,0 Aluno K 7,0 Aluno L 4,0 Aluno M 7,8 Aluno N 6,9 Aluno O 8,0 Que turma obteve o melhor desempenho? 7

8 Para responder esta questão usamos um conceito matemático muito utilizado na estatística e denominado Média. Vamos fazer os seguintes cálculos: Turma 1 Turma 2 Com estes resultados podemos comparar as turmas e ver que o desempenho médio da turma 2 foi melhor do que o da turma 1! O que fizemos em cada caso foi calcular a Média Aritmética que é o resultado da divisão da soma resultante adicionada aos "n" dados numéricos de conjunto pelo número de dados do conjunto. Média Aritmética Ponderada Outro tipo de média utilizada é a Média Aritmética Ponderada. Esta média é usada em situações nas quais os pesos dos dados do conjunto não são todos iguais. Observe o exemplo: No curso "S" a média final dos alunos é calculada da seguinte maneira: no primeiro semestre do curso os alunos fazem atividades avaliativas que somadas são denominadas Grau 1 que tem peso 1. No segundo semestre as atividades avaliativas são somadas e denominadas Grau 2 que tem peso 2. O aluno estará aprovado se ao final do ano obter média superior ou igual a 6,0. O aluno J somou todas as atividades que fez no primeiro semestre e obteve no grau 1 uma nota igual a 7,3. Na soma das atividades feitas no segundo semestre obteve nota igual a 5,7. J quer saber se está aprovado. O que fazer? Para calcular a média ele deve considerar o peso de cada grau. A média aritmética ponderada será calculada da seguinte forma: 8

9 Grandezas Proporcionais Antes de iniciar nosso estudo vamos lembrar que Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Como exemplos podemos citar: tempo, velocidade, temperatura, área, volume. Uma grandeza pode sofrer variações, ela pode aumentar ou diminuir. Observe a seguinte situação: Um determinado automóvel consome 1litro de gasolina a cada 12km rodados. Podemos considerar a seguinte tabela: Litros Quilômetros rodados Observe que aumentando a quantidade de quilômetros rodados vamos aumentar a quantidade de litros de gasolina consumida. Neste caso dizemos que as grandezas mantém uma proporcionalidade direta, ou seja, as grandezas volume (litros) e distância (quilômetros rodados) são exemplos de grandezas diretamente proporcionais. Observe agora uma outra situação: Uma viagem de Porto Alegre a Torres leva 2h se percorrermos a distância em uma velocidade constante de 100km/h. Se a velocidade diminuir para 80km/h o tempo de viagem aumenta para 2h30min. Neste caso entendemos que se diminuirmos a velocidade aumentaremos o tempo de viagem e as grandezas tempo e velocidade são exemplos de grandezas inversamente proporcionais. Vamos ver um exemplo: Uma empresa deseja distribuir aos seus funcionários um relatório, porém dispõe de apenas 3 máquinas copiadoras e cada máquina em funcionamento é capaz de fazer cópias por dia. Podemos dizer então que as 3 máquinas trabalhando juntas poderão fazer um total de cópias por dia. Observe que o número de cópias é diretamente proporcional ao número de máquinas em funcionamento. Após serem feitas as cópias do relatório será necessário grampear, porém observou-se que um funcionário leva 6h para grampear todos os relatórios, então se 4 funcionários trabalharem em conjunto o tempo gasto para grampear todos os relatórios será de 1h30min. Neste caso, o número de funcionários é inversamente proporcional ao tempo gasto para grampear os relatórios. 9

10 Regra de Três Simples - Parte 1 Problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais em que conhecemos três elementos e procuramos o valor do quarto elemento, podem ser resolvidos utilizando a regra de três simples. Vejamos abaixo um exemplo do uso da regra de três: 1) Uma máquina produz, durante 4h de funcionamento, 560 peças de um determinado produto. Quantas peças a máquina produz em 10h? Podemos construir uma tabela com os dados do problema: Tempo Quantidade de peças 4 h h X Inicialmente observe que a grandeza é diretamente proporcional pois se, aumentarmos o número de horas de funcionamento da máquina, vamos aumentar a quantidade de peças produzidas. Podemos agora montar a proporção: Utilizando a propriedade fundamental das proporções temos que: Assim, concluímos que o número de peças produzidas em 10h é Regra de Três Simples - Parte 2 Observe mais um exemplo: 2) Para construir uma casa, 20 pedreiros levam 180 dias. Quantos dias 12 pedreiros levariam para construir a mesma casa? Assim, como no exemplo anterior, vamos montar uma tabela com os dados: 10

11 Pedreiros Tempo dias 12 X Neste exemplo observamos que se o número de pedreiros diminuir, então o número de dias para construir a casa irá aumentar. Temos aqui um exemplo de grandeza inversamente proporcional. A proporção agora fica um pouco diferente: Observe que a razão com o número de dias ficou invertida. Assim teremos: Porcentagem - Parte 1 A regra de três também é muito útil no cálculo de porcentagens. Vale lembrar que a expressão k% (k por cento) é denominada taxa percentual e é a razão entre número k e 100. Assim: Considerando o que foi colocado, podemos então afirmar que: 11

12 Vamos ver agora um exemplo da aplicação da proporção e do cálculo de porcentagens. 1) Paguei por uma geladeira, com desconto de 8%, um total de R$1840,00. Qual era o preço da geladeira sem o desconto? Observe a tabela com os dados do problema: Valor Taxa Percentual % (valor total desconto) X 100% A proporção fica: Assim, temos R$2.000,00 como valor da geladeira sem o desconto. De maneira mais prática você pode optar por dividir o valor com o desconto por 0,92. Observe: Porcentagem - Parte 2 Vamos ver mais um exemplo! 2) Ganho 6,5% de comissão nas vendas que faço, se vender $36.567,00, qual o valor da comissão? Observe a tabela com os dados do problema: Valor Taxa Percentual % (valor total) X 6,5% A proporção fica: 12

13 Assim, o valor da comissão será de R$2376,86. De maneira mais prática você pode optar por multiplicar o valor da venda por 0,065, observe: Matemática Financeira Para aproveitar ao máximo nossas cinco semanas é muito importante que você conheça alguns conceitos básicos e para facilitar o trabalho, preparamos uma lista de conceitos que você vai utilizar até o final desta disciplina. Esta lista pode ser vista como um dicionário básico de Matemática Financeira, mas vale observar que, ao longo do trabalho alguns desses conceitos serão relembrados e reforçados conforme a necessidade. Juro: É a quantia, em dinheiro, que se recebe (ou se paga) por emprestar certo valor durante um determinado período de tempo. Pode ser entendido, de forma mais simples, como o aluguel pago pelo uso de dinheiro. É representado pela letra J. Capital (principal, valor atual ou valor presente): É a quantidade de dinheiro, expresso em moeda corrente e disponível em determinada época. É representado por C, P, PV ou por VA. Prazo (n.º de período de tempo): É o espaço de tempo durante o qual fica aplicado certo Capital ou o tempo decorrido entre a data de aplicação e a data de resgate do Capital. É representado pela letra n. Taxa de Juro: É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um certo prazo e o capital inicialmente aplicado. É representada pela letra i. Juro Simples: É aquele obtido quando aplicamos a taxa de juros, durante todo o período de tempo, apenas sobre o capital inicialmente aplicado. Montante (ou valor futuro): É a soma do capital inicial com os juros referentes ao período da aplicação. É representado pela letra M, pela letra S, por VF ou ainda por FV. Juro Composto: É aquele que é obtido, a partir do 2.º período, sobre o montante do período anterior, ou seja, é aquele que a cada período o capital é somado com o juro produzido no período anterior. 13

14 Período Financeiro: É o período de tempo a que se refere a taxa de juros. Quando temos uma taxa de juros de 20% aa (% ao ano), o período financeiro será anual, mas se a taxa for de 15% am (% ao mês) o período financeiro será mensal. Pode-se usar ainda taxas bimestrais %ab, trimestrais %at, quadrimestrais %aq, semestrais %as ou diárias %ad. Juros e Capitalização Simples Juros Simples ou Capitalização Simples é quando a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, ou seja, não incide sobre os juros acumulados. Pode-se dizer que um capital, C, está aplicado a juros simples quando este capital permanecer igual durante todo o período de aplicação, produzindo, assim, juros constantes, isto é, o juro do primeiro período é igual ao do segundo período, que, por sua vez, será igual ao juro do terceiro período e assim sucessivamente. Vamos ver agora como se dá o cálculo dos Juros Simples. O valor dos juros é obtido através da equação: Na equação temos: J representa o juro simples C representa o capital i é taxa unitária de juros n é o prazo de tempo. Quando aplicamos a fórmula na resolução de problemas, costumamos escrever simplesmente (J = Cin) sem os símbolos de multiplicação. Juros Simples - Parte 1 Antes de vermos os exemplos vamos fazer algumas observações importantes sobre a taxa de juros e o prazo: 1) Quando usamos a fórmula para o cálculo de juros, devemos observar que o período da 14

15 taxa deve coincidir com a unidade do prazo da aplicação, isto é, devem estar na mesma unidade de tempo: i = taxa anual n = prazo anual i = taxa trimestral n = prazo trimestral 2) Quando resolvemos problemas de Matemática Financeira, observamos que a taxa de juros pode ser representada de duas formas, percentual e unitária. Na forma Percentual, que é expressa por um número acrescido do símbolo % e da unidade do prazo, por exemplo, 15%aa, que geralmente é utilizada na apresentação dos problemas. E na forma Unitária, que é a representação do resultado que obtemos quando dividimos o número por 100, por exemplo, 0,15aa. Esta forma é utilizada na solução dos problemas. 3) Para apresentar o prazo também podemos utilizar duas formas, prazo exato e comercial. O prazo Exato, leva em consideração o ano civil ou ano calendário, neste caso consideramos que o ano possui 365 dias ou 366 dias quando for bissexto e possui12 meses de 28, 29, 30 ou 31 dias. O prazo Comercial (ou bancário) é o ano matemático (não leva em consideração o calendário). Neste caso temos que o ano possui: 360 dias, 12 meses de 30 dias, 06 bimestres de 60 dias, 04 trimestres de 90 dias, 03 quadrimestres de 120 dias e 02 semestres de 180 dias. Juros Simples - Parte 2 Vamos ver dois exemplos que mostram perfeitamente o que vimos até aqui sobre Juros Simples. 1) Um capital de R$ 4.800,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 4%aa (ao ano). Determine os juros produzidos no prazo de 5 meses. Para resolver este problema consideramos os dados: Capital C = 4.800,00 Taxa de Juros i = 4%aa(ao ano) ou seja, i = 0,04aa Prazo n = 5 meses = 5/12 ano Juros? Aplicando a fórmula J = Cin temos: J=4800x0,04x(5/12)=80 15

16 Assim, concluimos que o valor correspondente aos juros é de R$80,00. 2) Qual deverá ser o capital aplicado a juros simples, à taxa de 1,4% am(ao mês), para obtermos R$400,00 de juros no prazo de 45 dias? Para resolver este problema montamos a seguinte tabela: Capital C =? Taxa de Juros i =1, 4%am(ao mês) ou seja, i = 0,014am Prazo n = 45 dias = 1,5mês (1mês+ ½ mês) Juros 400,00 Observe que agora queremos calcular o capital, devemos então mexer um pouquinho na fórmula: Agora temos: Assim, concluímos que o capital deve ser de R$19.047,62. Montante - Parte 1 Como já foi dito, Montante (ou valor futuro) é a soma do capital inicial com os juros referentes ao período da aplicação. O montante é representado pela letra M, o capital é representado pela letra C ( ou VF, ou FV) enquanto que os juros são apresentados pela letra J. Assim temos a seguinte fórmula para o cálculo do montante: M=C+J Ainda, se considerarmos que J=Cin, teremos que M=C+Cin. Colocando a variável C em evidência podemos escrever: 16

17 Vamos aos exemplos. 1) Um empréstimo de R$ ,00 será pago no prazo de 5 meses, com juros simples de 15% as (ao semestre). Determine o valor da dívida na data do seu vencimento. Organizando os dados em uma tabela temos: Capital C = ,00 Taxa de Juros i =15%as ou i=15/6am=2,5%am=0,025am Prazo n = 5 meses Juros Não temos este dado, mas não será necessário! Montante Valor da dívida na data do vencimento? Utilizando a fórmula do montante temos: Assim, o valor pago na data do vencimento foi R$56.250,00. Montante - Parte 2 Mais um exemplo para enriquecermos nosso conhecimento. 2) Um empréstimo de R$ ,00 foi feito em 08/set/2009 e, em 08/set/2010, foi quitado, pelo valor de R$14.540,00. Determine o valor da taxa bimestral de juros aplicada. Observe a tabela: Capital C = ,00 Taxa de Juros i =? %ab (ao bimestre) Prazo n = 360 dias = 12 meses Juros Não temos este dado, mas não será necessário! Montante ,00 Vamos usar a fórmula do montante, que deverá ser reorganizada, observe: 17

18 Agora temos: Assim, a taxa mensal é de 0, e para determinarmos a taxa bimestral multiplicamos o resultado por 2. Então, resulta em uma taxa bimestral de 0,075666ab ou 7,57%ab. Juro Composto - Parte 1 Juro Composto ou Regime de Capitalização Composta Quando estudamos Juros Simples, vimos que neste regime os juros são calculados sempre sobre o valor inicial investido, denominado capital. No regime de Juro Composto os juros são capitalizados ao final de cada período, o que significa que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Vamos agora relembrar os principais conceitos e as suas representações: Valor Aplicado Montante Capital (C) ou Principal (P) ou Present Value (PV) ou Valor presente (VP) Montante (M) ou Future Value (FV) ou Valor Futuro (VF) Prazo da aplicação Prazo ou tempo ou período (n) Taxa de juros da aplicação Taxa de remuneração do capital ( i ) Valor monetário de juros ou Remuneração do capital Capital corrigido pela taxa de juros i ( j ) Vale salientar que as representações PV (Present Value) e FV (Future Value) se fazem necessárias visto que nas calculadoras financeiras disponíveis no mercado são estas as teclas que correspondem a Capital e Montante. A partir de agora será necessário que você possua, no mínimo, uma calculadora científica já que nas fórmulas que mais vamos utilizar no cálculo de juro composto aparecem as funções exponenciais e logarítmicas. 18

19 Juro Composto - Parte 2 Antes de apresentar as fórmulas utilizadas no regime de juros compostos vamos considerar a seguinte situação: Você possui um capital inicial de R$10.000,00. Vai aplicar este valor a uma taxa de 30%aa. Qual será seu rendimento ano a ano considerando a capitalização por juros simples e por juros compostos. E qual o rendimento após 5 anos? Qual o melhor sistema de capitalização? Para resolver este problema vamos montar duas tabelas e comparar os resultados. Tabela para resolução do problema proposto com juro simples - Lembre-se que na capitalização a juros simples somente o valor presente (VP) ou Principal (P) ou Capital (C) rende juros. Ano Capital, Principal, Valor Presente sobre o qual incide o juro em cada período Cálculo dos juros simples J=Cin Onde C=10.000,00, i=0,3 e Atualização de cada período Valor presente + juros ou M (montante) ou FV (valor futuro) no final de cada mês n = 1ano , , , , , , , , , , , , , , ,00 Vale lembrar que a fórmula utilizada para determinar o montante final, em cada ano, é M = C(1+in). Juro Composto - Parte 3 Tabela para resolução do problema proposto agora com juro composto. Lembre-se que no modelo de capitalização a juros compostos o montante é corrigido aplicando a taxa de juros sobre o montante encontrado no período anterior. 19

20 Ano Capital, Principal, Valor Presente sobre o qual incide o juro em cada período Cálculo dos juros simples J=Cin Onde C é o montante do período anterior, i=0,3 e Atualização de cada período Valor presente + juros ou M (montante) ou FV (valor futuro) no final de cada mês n = 1ano , , , , , , , , , , , , , , ,30 Vamos agora comparar os resultados obtidos na tabela com o cálculo a juros simples e com a tabela onde a taxa foi aplicada sobre o montante encontrado no período anterior. Ano Juros Simples Juros Composto , , , , , , , , , ,30 Observando os valores encontrados em ambas as tabelas podemos avaliar qual é o melhor modelo de capitalização. É possível perceber que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos que a juros simples. Juro Composto - Parte 4 Para os cálculos no regime de juros compostos temos a seguinte tabela de fórmulas: Calcular o valor futuro de uma aplicação capitalizada a juros compostos. Calcular o capital (valor presente). 20

21 O número de períodos da capitalização. Taxa de Juros compostos da capitalização. Lembrando que ln representa a função logaritmo neperiano. Lembrando que o valor do rendimento Juros (J) é a diferença entre o valor futuro (montante) e o valor presente (capital), também teremos a seguintes expressões para a determinação do rendimento de uma aplicação: Como você pode observar no formulário, a partir deste momento é necessário que você utilize uma calculadora científica ou então uma calculadora financeira. A expressão é denominada fator de capitalização. Juro Composto - Parte 5 Agora vamos ver alguns exemplos de aplicação do juro composto. 1) A juros compostos de 15% aa, qual é o montante que resulta ao aplicarmos R$3.800,00 em 7 anos? Temos que: M=?; C=3.800,00; n=7 anos; i=15%aa=0,15aa Então: 21

22 Observe que para que você possa calcular o valor de (1,15) 7 é necessário que tenhamos uma calculadora com a tecla y x ou então uma calculadora financeira. Com a calculadora científica continuamos o cálculo da seguinte forma: Temos então o montante de R$10.108,08. Caso você tenha uma calculadora financeira, você pode fazer os seguintes passos: Teclas Calculadora HP12c [f][fin] 3.800[CHS][PV] 15[i] 7[n] [FV] ,08 Função da tecla Apaga a memória financeira. Insere o valor do capital com sinal negativo. Insere a taxa de juros. Insere o número de períodos. Calcula o montante. Juro Composto - Parte 6 Mais um exemplo para fixarmos o conteúdo visto até aqui. 2) Qual é o capital que, em 5 anos, à taxa de juros composta de 20%aa, resulta em um montante de R$15.000,00? Temos que: M=15.000,00; C=?; n=5 anos; i=20%aa=0,2aa Temos: Assim, concluímos que o capital inicial era de R$6.028,13. Na calculadora financeira HP12c, você pode fazer os seguintes passos: 22

23 Teclas Calculadora HP12c [f][fin] [CHS][PV] 20[i] 5[n] [PV] 6.028,13 Função da tecla Apaga a memória financeira. Insere o valor do capital com sinal negativo. Insere a taxa de juros. Insere o número de períodos. Calcula o montante. Juro Composto - Parte 7 Como você já deve ter percebido é muito importante no nosso estudo conhecer e saber trabalhar com as taxas de juros apresentadas. Vamos conhecer os tipos de taxas existentes, veja: Taxas Efetivas: São aquelas em que a unidade do percentual é igual a unidade da capitalização. Taxas Nominais: São aquelas em que a unidade do percentual é diferente da unidade de capitalização. No mercado financeiro é bastante comum o uso de taxas nominais mas, para que possamos efetuar os cálculos pedidos é necessário utilizar sempre a taxa efetiva. Por este motivo é importante saber como fazemos a transformação de Taxas Nominais em Taxas Efetivas de mesma capitalização. Para efetuar a transformação basta transformar o percentual para a unidade de capitalização, multiplicando ou dividindo pelo fator de conversão. Veja alguns exemplos do que acabamos de falar. Indicada a taxa nominal basta calcular a taxa efetiva pedida em cada caso: 1) 8,5%at/a (8,5% ao trimestre com capitalização anual) em %aa/a (%ao ano com capitalização anual). Como cada ano possui 4 trimestres, basta multiplicar os 8,5 por 4 o que resulta em 34%aa/a. 2) 30%aa/m (30% ao ano com capitalização mensal) em %am/m(% ao mês com capitalização mensal). Como cada ano possui 12 meses, basta dividir os 30 por 12 resultando em 2,5%am/m. 23

24 Juro Composto - Parte 8 Equivalência de Taxas é quando duas ou mais taxas de juros referenciadas a períodos unitários diferentes são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por períodos de tempo iguais, produzem montantes iguais. Observe o exemplo a seguir: 1) A taxa de 4%am/m é equivalente à taxa de 60,103% aa/a, pois se aplicadas sobre um mesmo capital ( R$ 100,00 ), irão produzir montantes iguais no prazo de 1 ano. Comparando, os cálculos acima, concluímos que (1,04) 12 = (1,60103) 1, ou seja, o fator de capitalização de cada cálculo é igual. Assim, temos que as taxas apresentadas são equivalentes. Juro Composto - Parte 9 Para transformar taxa efetiva em outra taxa efetiva equivalente usamos a seguinte equação (apresentada em VIEIRA Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª. Edição 11ª. Reimpressão. São Paulo: Editora Atlas, 2010): Onde temos se apresentam as seguintes variáveis: q: prazo que quero t: prazo que tenho i q : taxa para o prazo que quero i t : taxa para o prazo que tenho Observe os exemplos: 24

25 a) Determinar a taxa para 195 dias, equivalente a 72%aa: b) Determinar a taxa para 35 dias, equivalente a 15%at: Desconto Simples Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação de crédito em que negociamos títulos (ou são descontados títulos) de emissão ou endosso, antes da data do vencimento. Um desconto pelo pagamento antecipado de um título pode ser entendido como uma recompensa pela antecipação de uma dívida. Chamamos valor nominal o valor de resgate ou também chamado de valor definido pelo título na data de vencimento, no estudo que estamos realizando podemos chamá-lo de montante da operação. O valor descontado de um título é o valor atual na data de desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto. Assim, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e seu valor atualizado apurado n períodos antes do vencimento. Valor descontado = valor nominal desconto As operações de desconto podem ser realizadas sob o regime de juro simples ou composto. O regime de juros simples é usado com frequência nas operações de curto prazo e será a proposta de trabalho que desenvolveremos durante esse curso. 25

26 Desconto Simples Racional - Parte 1 Na modalidade de desconto simples racional, também conhecido como desconto matemático ou por dentro, o valor do desconto é calculado a juros simples da seguinte maneira: Onde: i é a taxa de juros simples n é o prazo a decorrer até o vencimento do título Vr é o valor atual ou valor líquido liberado na data do desconto (capital) N é o valor nominal, valor de resgate Observe que se consideramos que N ou valor nominal é o montante (M) da operação a juros simples temos a seguinte igualdade: A partir daí podemos dizer que o desconto simples racional é uma aplicação particular de juro simples sobre o valor atual do título. Desconto Simples Racional - Parte 2 Considerando como base a igualdade a resolução de problemas de desconto racional: temos as seguintes expressões para Cálculo do valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação - 26

27 Cálculo do valor nominal (resgate) - Cálculo da taxa de desconto - Cálculo do prazo de antecipação (resgate) - Desconto Simples Comercial O desconto simples comercial, também conhecido como desconto bancário ou por fora, é calculado multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Onde: d representa a taxa de desconto comercial n é o prazo a decorrer até o vencimento do título N é o valor nominal, valor de resgate Considerando que o valor do desconto é sempre igual a diferença entre o valor nominal e o valor liberado pelo título, obtemos uma expressão para o valor liberado (Vc - valor descontado ou valor atual), observe: 27

28 Também no desconto comercial obtemos fórmulas para novos cálculos a partir das igualdades e. Observe: Cálculo do Valor Nominal (resgate) - Cálculo da Taxa de Desconto - Prazo de antecipação (resgate) - Desconto Simples Racional e Comercial - Parte 1 Considerando as informações obtidas sobre cada modalidade de desconto, podemos fazer a seguinte tabela comparativa dos dois modelos. Observe: Desconto Simples Racional Desconto sobre o capital liberado na transação. Dr é o desconto racional. Desconto Simples Comercial Desconto sobre o montante da transação. Dc é o desconto comercial. i é a taxa de juros; i é a taxa de juros. n é o prazo a decorrer até o vencimento. n é o prazo a decorrer até o vencimento. Cálculo do desconto racional: Cálculo do desconto comercial: Ou Cálculo do valor atual, com desconto racional na data da operação: Cálculo do valor atual, com desconto comercial na data da operação: 28

29 Cálculo do valor nominal ou valor de resgate: Cálculo do valor nominal ou valor de resgate: Cálculo da Taxa de desconto: Cálculo da Taxa de desconto: Cálculo do prazo de antecipação (resgate): Cálculo do prazo de antecipação (resgate): Desconto Simples Racional e Comercial - Parte 2 Agora vamos ver um exemplo. 1) Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 com vencimento em um ano será liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa nominal de juros é de 42%aa, queremos determinar o desconto e o valor descontado dessa operação nas duas modalidades de desconto simples. 29

30 1ª modalidade: Desconto Simples Racional Assim, concluímos que a antecipação em 3 meses para o pagamento do título fornece um desconto de R$380,10 no valor nominal do título. E o valor com desconto (efetivamente pago) foi de: 2ª modalidade: Desconto Simples Comercial A antecipação em 3 meses para o pagamento do título fornece um desconto de R$ 420,00 no valor nominal do título. Observe o valor maior pois foi aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate). O valor com desconto ou efetivamente pago foi de: Desconto Simples Racional e Comercial - Parte 3 Mais um exemplo. 2) Determinar a taxa mensal de desconto racional e a taxa de desconto comercial de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo que seu valor nominal é R$ ,00 e seu valor atual na data de desconto de R$ ,10. 30

31 1ª modalidade: Desconto Simples Racional Temos: Vr=R$24.436,10; N=R$26.000,00; n= 60 dias = 2 meses Assim, concluímos que a liquidação 2 meses (60 dias) antes do vencimento foi efetuada pela taxa mensal de desconto racional de 3,2%am. 2ª modalidade: Desconto Simples Comercial Temos: Vc=R$24.436,10; N=R$26.000,00; n= 60 dias = 2 meses Neste caso temos que a liquidação 2 meses (60 dias) antes do vencimento foi efetuada pela taxa mensal de desconto comercial de 3%am. Equivalência de descontos Dizemos que o desconto simples racional e o comercial são equivalentes ou proporcionais sempre que houver a redução de um título ao seu valor atual, seja pelo método racional ou comercial, produzir a mesma taxa, ou seja, a taxa no desconto racional i é igual a d que é a taxa no desconto comercial. Observe que para que os descontos sejam equivalentes ou proporcionais exigimos também que tenhamos a mesma dívida (N) e o mesmo prazo de antecipação (n). Observe que: e Considerando que são descontos equivalentes, teremos as seguintes igualdades: 31

32 Onde a expressão descontos. é uma constante de proporcionalidade que existe entre os Para exemplificar, vamos considerar o primeiro exemplo que apresentamos para o cálculo do desconto: Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 com vencimento em um ano será liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa nominal de juros é de 42%aa, queremos determinar o desconto e o valor descontado dessa operação nas duas modalidades de desconto simples. Encontramos os seguintes valores: Assim, temos que desconto comercial é 1,105 vezes maior que o desconto racional, ou ou seja, o ainda menor do que o desconto comercial., o desconto racional é 1,105 vezes Equivalência de capitais - Parte 1 Em determinados momentos pode ser necessário que uma dívida seja negociada (ou trocada por outra) em outra data. Para que isso possa ser feito sem que se tenha prejuízo, seja da parte do credor (que deve receber a quantia) ou do devedor (quem deve pagar a dívida), após determinada uma data aplica-se o conceito de capitais equivalentes. Dois ou mais capitais, com datas de vencimentos diferentes, são considerados equivalentes quando, transportados para uma mesma data, aplicados à mesma taxa de juros, produzirem, nessa nova data, valores iguais. 32

33 Inicialmente, devemos escolher uma data, que é chamada de data focal, e então, encontrar os valores atuais de cada uma das parcelas envolvidas na operação, formandose a denominada equação de equivalência de capitais, onde a soma do valor devido deve ser igual à soma do valor que se passará a dever. Equivalência de capitais - Parte 2 Vamos ver um exemplo?! Observe! 1) Uma pessoa possui uma dívida de R$ 4.500,00 com vencimento previsto para daqui a 4 meses, desejando substituir esta dívida por outra dívida com vencimento previsto para 10 meses, propõe ao credor a substituição da dívida atual por uma nova dívida. O credor afirma que concorda com o pagamento na nova data se na operação for aplicada uma taxa de desconto de 3%am. Encontre o novo valor a ser pago pelo devedor ao credor. Vamos chamar de: V1 e V2 os valores atuais da dívida que devem ser igualados pois os mesmos devem ser equivalentes. N1 e N2 os valores nominais da dívida (onde, neste caso, conhecemos um e queremos calcular o outro). n1 e n2 os prazos considerados para pagamento da dívida (um é a data do vencimento e o outro a nova data de vencimento). d a taxa de desconto utilizada que deve ser a mesma. Temos então: Assim, podemos dizer que o valor nominal da nova dívida será de R$5.657,14. 33

34 Séries de Pagamento - Parte 1 Fluxo de Caixa pode ser entendido como séries de pagamentos ou recebimentos que ocorre num determinado intervalo de tempo. Trata-se da movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo. O fluxo de caixa pode ser representado graficamente. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos em análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Até o momento, estudamos situações onde foi realizado um pagamento/recebimento, agora verificaremos o que ocorre quando é efetuado mais de um pagamento/recebimento. Chamaremos de anuidades, rendas certas, prestações ou séries de pagamentos as sucessões de pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas pré-determinadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital. Trataremos como séries de pagamentos todas as operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados, os quais chamaremos de PMT1, PMT2, PMT3 e que poderão ocorrer em datas pré-estabelecidas em um fluxo de caixa. Séries de Pagamento - Parte 2 Séries de pagamento certas ou determinísticas são aquelas cuja duração e pagamentos são pré-determinados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazos de duração e taxas de juros são fixos e imutáveis. Esse tipo de situação é estudado na matemática financeira. 34

35 Séries de pagamento aleatórios ou probabilísticos é quando os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, no seguro de vida. Os valores dos pagamentos (mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data do recebimento. Esse tipo de situação é estudado na matemática atuarial. As anuidades podem ser classificadas da seguinte maneira: Quanto a: Periodicidade Periódicas (uniformes): Quando o intervalo de tempo entre as parcelas é igual. Não-periódicas: Quando o intervalo entre as parcelas não é igual. Ao prazo (tempo) Valor Temporárias: Com duração limitada, tem um número finito de pagamentos/recebimentos. Perpétuas (infinitas): Com duração ilimitada, um número infinito de pagamentos/recebimentos. Constante (fixo ou uniforme): Com todas as parcelas iguais. Variáveis: Com parcelas de valores diferentes. Forma de pagamento Imediatas: Primeiro pagamento no primeiro período. Diferidas: Primeiro pagamento após o primeiro período (quando ocorre um prazo de carência). Postecipadas: Quando as parcelas ocorrem no final do intervalo (sem entrada). Antecipadas: Quando as parcelas ocorrem no início do intervalo, no momento zero da série de parcelas (com entrada). Postecipadas: Desprezada a carência, a prestação ocorre no final do intervalo. Antecipadas: Desprezada a carência, a prestação ocorre no início do intervalo. 35

36 Séries Uniformes de Pagamento - Parte 1 Ao longo desta semana vamos estudar as séries uniformes de pagamento e para facilitar a compreensão de algumas siglas, preste atenção na legenda abaixo: PMT: É a parcela, a prestação, o depósito ou qualquer outra expressão que possa ser utilizada para significar o valor pago ou recebido em cada momento. i: É a taxa de juros paga ou cobrada. n: É o número de prestações que compõe uma série. Quando temos período em que há pagamentos ou recebimentos, conhecido como carência, também representa este tempo. PV: É o valor presente na primeira data considerada, data zero, no início da série. FV: É o valor na última data considerada, no final da série futura. Podemos representar graficamente as séries periódicas (uniformes) de pagamentos da seguinte forma: a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos (PMT = pagamentos ou prestações) b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos ( PMT = pagamentos ou prestações) 36

37 Séries Uniformes de Pagamento - Parte 2 Para efetuarmos os cálculos na calculadora HP 12-c de uma série uniforme de pagamentos postecipados será necessário introduzir no visor da calculadora a função END, para isso deve-se pressionar as teclas g [END]. Para o cálculo antecipado será necessário pressionar as teclas g [BEG]. Observe no visor se aparecem essas funções. Informações sobre as teclas de funcionamento da HP-12c: Teclas n i PV PMT FV CHS g [END] g [BEG] f [FIN] f [REG] Características Calcula o prazo. Calcula a taxa. Calcula o valor presente. Calcula a prestação. Calcula o valor futuro. Troca um sinal de um número. Calculo de séries uniformes de pagamento postecipadas. Calculo de séries uniformes de pagamento antecipadas. Limpa as funções financeiras. Limpa todas as funções. 37

38 Séries Uniformes de Pagamento - Parte 3 Durante esta semana vamos apresentar alguns exemplos de séries de pagamento constantes, imediatas postecipadas ou ordinárias. Essas séries são aquelas cujos pagamentos (PMT) ocorrem no final de cada período. Como exemplo, temos os empréstimos e financiamentos em pagamentos mensais. Normalmente,a sistemática é a adotada pelo mercado (crediário sem entrada). Observe as fórmulas e equações a seguir: 1) Cálculo do principal (PV) - Neste caso as prestações (PMT) estão relacionadas com o valor do financiamento (PV). 2) Cálculo do montante (FV) Séries Uniformes de Pagamento - Parte 4 Observação: Quando a prestação é paga no final do período, estamos diante de uma série de pagamentos postecipados. A HP-12c possui recurso para calcular nessas condições. O módulo de pagamento postecipado é representado pelas teclas [g][ END] (END=final=fim). O módulo de pagamento postecipado, [g] [END] pode ser acionado a qualquer momento. Antes da digitação das variáveis conhecidas, entre os dados ou no final. 38

39 Cálculo do prazo (n): Lembrete: Como estudado no cálculo do prazo do juro composto precisaremos efetuar o cálculo usando logaritmo neperiano (ln), na calculadora HP12c [g][ln]. Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo 1 1. Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5%am a taxa de juros negociada na operação. PV=? Uso fórmula calculadora científica Calculadora HP12c PMT=1.500,00 [f ] REG i=3,5%ao mês [g ] END n= 6 prestações 1500 [CHS] [PMT] 6 [n] 3,5 [ i ] [PV] 7.992,83 39

40 Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo 2 2. Um produto é comercializado à vista por R$500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante é de 5%ao mês? PV=500 Uso fórmula calculadora científica Calculadora HP12c PMT=? [f ] REG i=5%ao mês [g ] END n = 5 prestações 500 [PV] 5 [n] 5 [i ] [PMT] 115,49 Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo 3 3. Calcular o valor dos pagamentos realizados durante 7 meses a uma taxa de 4% ao mês que produz o montante de R$5.000,00 pelo regime de juros compostos. FV= Uso fórmula calculadora científica f ] REG PMT=? [g ] END i= 4% ao mês 5000 [PF] n= 7 prestações 7 [n] 4 [ i ] 40

41 [PMT] 633,05 Séries Uniformes de Pagamento - Exemplo 4 4. Um produto é comercializado à vista por R$1.750,00. Uma outra alternativa seria financiar esse produto a uma taxa de 3% ao mês gerando uma prestação de R$175,81. Considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento sabendo que a 1ª parcela vence após 30 dias da compra. PV= 1750 Uso fórmula calculadora científica (ln - logaritmo) PMT= 175,81 i= 3% am n=? 41

42 Sistemas de Amortização de Dívidas Amortização pode ser definida como o procedimento que extingue uma dívida ou o processo que permite extinguir uma dívida aos poucos ou em prestações. Ou ainda, é o processo que reduz uma dívida através do pagamento regular dos juros e do principal em montante suficiente para liquidação do empréstimo na data do vencimento. É a forma como é realizado o pagamento do empréstimo, onde é conhecido a cada período de tempo, o estado da dívida, isto é, o total pago e o saldo devedor. Para isso se elabora um demonstrativo que acompanha cada pagamento do empréstimo, que pode ser chamado de planilha de financiamento, planilha financeira, demonstrativo do estado da dívida ou plano de financiamento. Quando efetuamos um pagamento, uma parte é usada para a quitação de juros calculados sobre o saldo devedor, garantindo que a dívida não cresça. A outra parte do pagamento denominado de amortização é usada para a diminuição do saldo devedor. PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO Principais sistemas de Amortização 1) Prestações iguais ( Sistema PRICE ou Francês) as prestações são calculadas pela fórmula da anuidade postecipada ( [G] [END]... [PMT]). Por exemplo: empréstimos pessoais; 2) Amortização constantes (SAC) a parcela da prestação referente a amortização é constante e obtida a partir do quociente do principal pelo número de prestações, normalmente usado para financiamento da casa própria. Assim, a fórmula de amortização é dada por Sistema PRICE Exemplo: Considere um financiamento de R$15.000,00 a 10%aa para ser pago em 3 anos (com um pagamento ao ano). Apresente um plano financeiro para os sistemas PRICE. Descrição do Sistema PRICE 1º) Calcule a prestação PMT 42

43 HP12c [G] [END] Fórmula [CHS] [PV] 10 [ i ] 3 [n] PMT Resposta: R$6.031,72 2º) Calcular o juros (J) sobre o saldo devedor atual (SD) [J=SDxi] 3º) Calcular a amortização = prestação juros 4º) Calcular o saldo devedor SD= SDanterior amortização Fechamento: A soma da coluna da Amortização tem que ser igual ao saldo devedor inicial. As etapas acima podem ser descritas na seguinte tabela: Ano Prestação Juros é J= SD x i Amortização é A = PMT-J Saldo devedor atual é PMT SD= SD(anterior) - A , , , , ,00=4.531, , ,72= , , , , ,82 =4984, , ,90 = 5483, ,72 548, ,72-548,34=5483, , ,38= 0 Soma , , ,00 43

44 Sistema SAC Seja um financiamento de R$15.000,00 a 10%aa para ser pago em 3 anos (um pagamento a cada ano). Desenvolve um plano financeiro pelo sistema SAC. Descrição do Sistema SAC 1º) Calcular a parcela de amortização A determinado por 2º) Calcular o juros (J) sobre o saldo devedor atual (SD) 3º) Calcular a prestação = amortização + juros 4º) Calcular o saldo devedor atualizado SD= SDanterior amortização Fechamento: A soma da coluna da Amortização tem que ser igual ao saldo devedor inicial. As etapas acima podem ser descritas na seguinte tabela: Ano Amortização Juros=J=SD (anterior)x i Prestação=A+J Saldo devedor atual: SD=SD(anterior) - A , , , , , ,00 = , , , , , ,00= 5.000, ,00 500, , , ,00= 0 Soma , , ,00 44

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