MATEMÁTICA FINANCEIRA HP E EXCEL. Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 1

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA HP E EXCEL Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 1

2 Sumário Conceitos e Convenções...3 Conceitos...3 Convenções...3 Convenções aplicadas a HP e EXCEL...4 Conhecendo a HP...5 Princípio de funcionamento...6 Regimes de Capitalização...8 Juros Simples...10 Juros compostos...13 Classificação das Taxas...14 Operações de Desconto...18 Fluxo de Caixa Uniforme...24 Fluxo de Caixa Irregular...28 Referências...31 Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 2

3 Matemática Fianceira Conceitos e Convenções Conceitos A matemática financeira é um conjunto de técnicas e formulações matemáticas, com o objetivo de analisar situações financeiras envolvendo o valor do dinheiro no tempo. Em qualquer operação financeira, existem dois fatoreschaves: dinheiro e tempo. O objetivo da matemática financeira é analisar como os recursos financeiros se modificam ao longo do tempo. O valor do dinheiro muda no tempo, uma vez que o possuidor do dinheiro pode aplicá-lo e obter uma taxa de remuneração pelo capital. A remuneração do capital no tempo é chamada de juros e pode ser encarada como um direito inerente ao capital. O juro é a remuneração paga a quem possui os recursos financeiros. Entende-se por capital qualquer valor expresso em moeda e disponível para consumo ou investimento em determinada data. Neste livro, usamos "$" como símbolo de uma moeda genérica, sendo que os conceitos de matemática financeira se aplicam para qualquer moeda. Ao se dispor a aplicar recursos, o detentor do capital espera receber uma taxa de juros, que depende de diversos fatores, entre eles o risco da operação (probabilidade de perda do capital), a inflação (desvalorização do poder aquisitivo da moeda), a liquidez do investimento (prazo) e o valor do capital aplicado. O juro é sempre proporcional ao valor do capital aplicado (ou emprestado) e ao tempo de duração da operação financeira. A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa de juros sempre está relacionada com uma unidade de tempo (dia, semana, mês, semestre, ano etc.). Ela pode ser indicada em forma de fração ou porcentagem do capital que a gerou. (Silva, 2005). Convençoes Capital Também denomido Principal é o valor inicial de qualquer operação, seja ela de financiamento ou investimento. Juros È o valor recebido pelo detentor do capital pela abstenção de seu uso em um período de tempo. Prazo Período pelo qual o capital vai permanecer aplicado ou emprestado é medido em dias, meses, anos etc. Montante É o volume do capital acrescido dos juros ao final de determinado período. Amortização ou Resgate Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 3

4 É o valor pago do capital investido ou emprestado em parcelas ou ao vencimento da operação(prazo final). Pagamentos ou Recebimentos São parcelas compostas pelo juros somente ou formada pelos juros + (amortização ou resgate). Período ou ano Comercial Representa um perído de tempo representado por 360 dias considera-sae o mês de 30 comercial dias. Perído ou ano civil Representa um perído de tempo compreendido de 365 anos normais e 366 para anos bissexto, considera-se os dias efetivamente transcorridos Convenções aplicadas a HP e Excel Valor persente- VP - (HP - PV) É o período de duração de um investimento ou empréstimo. Taxa de juros - i - (HP i) É a razão entre os juros(pagos ou recebidos) e o capital, expressa de forma unitária(0,01) ou percentual (10% - representando a décima parte de 100 unidades) Pagamento - PGTO - (HP PMT) Também chamado de prestação(recebimento ou pagamento) com valores constantes distribuídos periodicamente no período da operação Fluxo de caixa - Fc - (HP Cf (cash flow)) É o conunto e entradas e saidas de dinheiro (caixa) de um indivíduo ou empresa ao longo do tempo. Tem como convenção a representatividade em uma reta e os pagamentos e recebimentos representados nesta reta com sentidos contrários(para baixo e para cima) Representa o capital investido ou aplicado no momento atual. Valor futuro VF - (HP FV) receb final Representa o capital acumulado acrescido dos respectivos juros em determinado prazo. Prazo- n - (HP n) Cf0 PGTO Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 4

5 Taxa interna de retorno TIR - (HP - IRR internal rate of return) É a taxa que equaliza as entradas e saídas de um fluxo de caixa Valor presente líquido VPL - (HP NPV) Controle de casas decimais Digitamos o número 49,23453, Ex 1 se digitarmos a tecla f o número 2 teremos: No visor - 49,23 e È o valor presente de um série de pagamentos a uma taxa mínima de atratividade deduzindo deste o investimento inicial. Ex 2 se digitarmos a tecla o número 3 teremos: No visor - 49,235 f e Data focal D f È uma data compreendida dentro de um fluxo de caixa na qual queremos calcular o valor de nossas entradas e siadas (valor presente). Desta forma podemos regular as casas decimais no intervalo de 0 a 9 casas, considerando que o arredondamento segue o seguinte critério: entre 0 e 4 o arredondamento é para baixo e de 5 em diante o arredondamento é para cima. Conhecendo a HP Pontuação Originalmente a HP 12C usa o formato, e. (ex: 2,000.32) f Esta tecla aciona todos os comandos grafados na cor laranja Para alteramos, basta desligarmos a calculadora pressionando a tecla on e em seguida presionamos a tecla., mantendo-a apertada pressionamos a tecla on, soltando esta última primeiro e em seguida a tecla.. g Esta tecla aciona todos os comandos grafados na cor azul Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 5

6 Troca de sinal Originalmente quando teclamos um número ele assume o valor positivo, para alterarmos está condição digitamos o número e em seguida a tecla CHS Teclas de armazenamento e recuperação de dados A HP possui duas teclas destinadas a armazenar dados durante cálculos, são elas: Príncipios de funcionamento A HP funciona com o sistema de pilhas de armazenamento conforme abaixo: EX: STO - para armazenar, com possibilidade de um fluxo de 20 unidades ( de 0.1 a 9) T Z Y X visor visor 20 STO STO STO 2 13 STO 9 TC 5 2 Temos a expressão: ( 3 x 4 ) + (5 x 6) T Z Y X TC 3 4 x 5 6 x + 7 enter enter 7 enter - RCL - para recuperar os dados armazenados na tecla STO EX: recuperando os dados do exemplo anterior: RCL RCL RCL 2 12 RCL 9 13 visor Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 6

7 Limpeza dos registradores Para se limpar os registradores é necessario teclar f REG. e f FIN, este procedimento garante a exatidão do resultado da operação a ser realizada. Para limpar o visor tecle CLX Tratamento de data A HP permite dois formatos de data: D.MY ( dia mês ano) Para colocar a calculadara neste modulo tecle D.MY, no visor g em tamanho reduzido na parte inferior direito aparecerá D.MY. EX: A data deve ser digitada assim: Operações com datas DATE Esta tecla permite encontrar uma data futura ou passada a partir da contagem de dias. EX: Calcule em que dia vence um título pré fixado para 265 dia a contar de Certifique-se que no visor está D.MY visor DATE g enter EX: Um título foi aplicado a 210 dias atrás, como sendo hoje dia , gostaria de saber qual a data da aplicação? visor M.DY (mês dia ano) Para colocar a calculadara neste modulo tecle M.DY, no visor g em tamanho reduzido na parte inferior direito aparecerá M.DY. EX: a data deve ser digitada conforme abaixo: enter 210 CHS DATE g Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 7

8 DYS Calcula o número de dias exato entre duas datas. EX: visor enter g Operações algébricas Soma Subtração Multilicação 10x4 10 Divisão 10x4 10 Potenciação 10 rediciação 10¼ x 4 4 DYS Operações com juros simples ou compostos STO EEX Ao teclarmos STO e em seguida EEX aparecerá na parte inferior diredo visor a letra C, isto significa que todos os cálculos são feitos a juros compostos. Se teclarmos STO e em seguida EEX o C desaparecerá do visor e então nossos cálculos estarão sendo realizados ajuros simples. EX: STO ,00 PV 5 i 0,5 n STO ,00 PV 5 i 0,5 n EEX C desativado FV ,00 EEX C ativado FV ,75 4 Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 8

9 Regimes de Capitalização O gráfico abaixo representa a tabela1. Os juros auferidos em um processo de investimento ou empréstimo, pode ser calculado através de dois regimes diferentes : Juros Simples ou Juros Compostos. Na capitalização por juros simples o capital inicial é a base do calculo dos juros periódicos. Na capitalização por juros compostos a base de calculo passa a ser o capital inicial acrescido dos juros dos períodos anteriores, este sistema é tambem chamado de capitalização exponencial. Abaixo veremos as tabelas 1 e gráfico 1 - juros simples, tabela 2 e gráfico 2 juros compostos, e um gráfico 3 mostrando a comparação entre os dois regimes. Tabela 1. Crescimento do dinheiro a juros simples. Ano Capital inicial PV I% Juros ao ano Capital final FV 1 100, ,00 110, , ,00 120, , ,00 130, , ,00 140,00 Gráfico 1. Crescimento do dinheiro a juros simples. Tabela 2. Crescimento do dinheiro a juros compostos. Ano Capital inicial PV I% Juros ao ano Capital final FV 1 100, ,00 110, , ,00 121, , ,10 133, , ,31 146, , ,64 161, , ,00 150,00 Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 9

10 O gráfico abaixo representa a Tabela 2. Gráfico 3. Comparativo entre os regimes de capitazação Juros Simples No regime de juros simples, a taxa vi insidir sempre sobre o capital inicial, não existindo cobrança sobre os juros gerados anteriormente, desta forma o juros produzido por período é constante e proporcional ao capital. A taxa de juros e o prazo devem estar na mesma base temporal (Silva, 2005). Gráfico 2. Crescimento do dinheiro a juros compostos. Fórmula: Juros Abaixo gráfico comparativo enre os dois regimes. Onde : Pv = capital inicial I = taxa de juros N = prazo J = juros calculados FV (capital final ou montante) FV = PV + J FV = PV + (PV x i x n) FV = PV x (1 + i x n) Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 10

11 1. Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $ ,00, por um prazo de 8 trimestres, a uma taxa de 1,5% a.m. Ex: Exercícios resolvidos Determine o valor de resgate de um capital que, aplicado por seis semestres á taxa de 30% a.a., rende $60.000,00 de juros. Solução: i = 30% a.a n = 6 semestres = 3 meses juros = ,00 PV =? FV =? Juros = PV x i x n PV = = = ,67 FV = PV + Juros FV = , ,00 = ,67 Exercícios Propostos Obs.: Todos os exercícios assumem regime de juros simples. 2. Determinar o principal que, à taxa de 2% a.s., produz juros de $ 2.000,00 ao final de 4 anos. 3. Determinar a taxa mensal de juros que faz com que um capital investido por 6 bimestres renda juros iguais à metade do valor aplicado. 4. Determinar quantos meses são necessários para quintuplicar um capital aplicado a 8% a.s. 5. Calcular os juros recebidos por um investidor ao aplicar $ ,00 durante 6 meses e 10 dias, a uma taxa de 1% a.m. Obs.: Assumir o mês com 30 dias. 6. Determinar a taxa semestral de juros paga por um mutuário que tomou um financiamento de $ ,00 por um prazo de 15 meses e pagou $ 5.000,00 de juros. 7. Um professor realizou um investimento no Banco "A", por um prazo de 24 meses, a uma taxa de 22% a.a. No vencimento, resgatou a aplicação e investiu todo o montante no Banco "B", a uma taxa de 25% a.a., por um prazo de 32 meses, retirando ao final um valor de $ ,00. Qual foi o valor aplicado inicialmente no Banco "A"? 8. Um empresário necessitará de $ ,00 no fim de 5 meses e $ ,00 no final de 9 meses. Ele foi aconselhado a aplicar uma determinada quantia financeira hoje, para fazer face aos pagamentos futuros. Determinar o valor do principal necessário para que o empresário possa honrar seus dois Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 11

12 compromissos em suas respectivas datas, sabendo-se que o banco irá remunerar o investimento a uma taxa de 2% a.b. 9. Um indivíduo deve $ 500,00 no prazo de 8 meses e $ 1.200,00 no prazo de 18 meses. Qual é o valor do pagamento único a ser efetuado hoje que liquidaria os dois débitos, sabendo que a taxa de juros é 15% a.a.? 10. Um pai comprou por $ ,00 um título de renda fixa com prazo de 36 meses à taxa de 18% a.a. Um ano depois, propôs vender o título para seu filho. Determinar o valor justo da venda, sabendo-se que a taxa de juros no mercado é 23% a.a. Caso o título seja vendido pelo valor justo, qual será a taxa anual de juros recebida pelo pai no período em que ficou com o título? 11. Uma pequena empresa contrai hoje uma dívida de $ ,00 com prazo de 9 meses. A empresa planeja pagar ao credor $ 8.000,00 daqui a 6 meses para reduzir o valor do pagamento no vencimento. Caso o credor concorde em receber esse valor no sexto mês, quanto faltará a ser pago no vencimento, sã bendo que a taxa de financiamento é 3% a.t.? 12. A empresa SoDevo S.A. comprou um equipamento cujo valor a vista era $ ,00. A empresa pagou 10% de entrada e concordou em financiar o restante a uma taxa de juros de 3% a.m. Se a empresa pagar ao banco $ 9.000,00 nove meses após a compra e $ ,00 quinze meses após a compra, quanto precisará pagar para liquidar o financiamento dois anos depois da compra? de juros de 1,8% a.m. Seis meses depois, podendo dispor do mesmo capital a juros de 1,2% a.m., saldou seu débito referente ao principal e juros através de um novo financiamento a taxas mais vantajosas. Sabendo-se que o total de juros pagos nos dois financiamentos foi de $ ,00, determinar o prazo do segundo financiamento e a taxa média mensal paga pelo comerciante nos dois empréstimos Exercicios extraidos de (Silva, 2005) Gabarito 1. $ ,00 2. $ , ,17% a.m meses 5. $ 633, % a.s. 7. $ ,67 8. $ ,57 9. $ 1.434, $ ,89 e 5,48% a.a. 11. $ , $47.417, meses e 1,51% a.m. 13. Um comerciante contrai um financiamento de $ ,00 a uma taxa Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 12

13 Juros Compostos Neste regime, a taxa incide sobre o saldo acumulado do período anterior (capital inicial + juros dos períodos anteriores), é o mais utilizado sendo a base de cálculo dos empréstimos e investimentos. de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. Comparar os resultados com o do Exemplo 2.1. Solução: PV = ,00 n = 3 trimestres = 9 meses i = 5% a.m. Juros =? FV =? Fórmula Juros 1º período FV = PV x (1+ i) n = ,00 x (l + 5%) 9 = ,41 FV PV J PV PV x i PV x 1 i Juros 2º período J 2 FV1 x i PV x 1 i x i FV2 FV1 J2 PV x 1 i PV x 1 i x i PV x 1 i ² Este cáuculo é repetido em todos os períodos da operação, donde para um capital aplicado (PV), a uma taxa de juros i, por um prazo n, é dado por: mês PV Juros Mensais FV ,00 5% x ,00 = 2.500, ,00 5% x ,00 = 2.625, ,00 5% x ,00 = 2.756, ,25 5% x ,25 = 2.894, ,31 5% x ,31 = 3.038, ,08 5% x ,08 = 3.190, ,78 5% x ,78 = 3.350, ,02 5% x ,02 = 3.517, ,77 5% x ,77 = 3.693, , , , , , , , , ,41 Exercícios Resolvidos Resolvendo pela HP Determinar os juros e o valor de resgate de um empréstimo de $ ,00, com taxa de juros compostos Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 13

14 PV 9 n 5 i FV ,41 Exercícios Propostos Obs.: Todos os exercícios assumem regime de juros compostos. 1. Determinar o valor de resgate de um investimento de $ ,00, aplicado a uma taxa de juros de 3,2% a.m., por um prazo de 4 semestres. 2. Calcular o investimento necessário para se produzir um montante de $ ,00, a uma taxa de juros de 16,5% a.a., daqui a 187 dias. Fazer os cálculos considerando o ano comercial e o ano civil. 3. Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de 25% a.a. 4. Qual é a taxa semestral de juros que produz um montante de $ ,00 a partir de um investimento de $ ,00 no fim de 10 anos? 5. Determinar o valor hoje das seguintes obrigações: $ 3.000,00 devidos hoje, $ 5.000,00 devidos em 5 meses e $ 9.000,00 devidos em 7 meses, com juros de 3,5% a.m. 6. Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar $ ,00 no final de 12 meses e $ ,00 no final de 24 meses. Determinar o valor do investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% a.t. 7. Um banco vendeu títulos de sua emissão por $ ,00. O título vence em 100 dias, com valor de resgate de $ ,00. Determinar a taxa anual da operação, considerando o ano civil. 8. Uma pequena empresa deseja reestruturar suas dívidas. Atualmente, ela tem três obrigações, nos valores de $ ,00, $ ,00 e $ ,00, com vencimentos em 50, 70 e 90 dias, respectivamente. Ela deseja trocar os três pagamentos por um único daqui a 120 dias. Determinar o valor desse pagamento, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 30% a.a. (ano comercial). 9. Um empresário comprou um veículo no valor de $ ,00, dando uma entrada de $ 5.000,00, ficando com uma prestação de $ ,00 para 3 meses e outra para 6 meses. Determinar o valor da última prestação, sabendo-se que a taxa de juros é 3% a.b. 10. Um aposentado comprou um certificado de depósito bancário (CDB) que paga $ ,00 daqui a 182 dias. Determinar o valor de emissão, para que a taxa de juros na operação seja 17% a.a. (ano comercial). 11. Uma empresa contraiu um financiamento que deve ser liquidado com um pagamento único no final de 15 meses. A taxa de juros do banco é 3,5% a.m., desdobrada em dois componentes: (a) uma taxa de 2,5% a.m. cobrada de forma postecipada; e (b) uma taxa antecipada (em porcentagem do valor financiado), cobrada a vista e a título de tarifa de Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 14

15 abertura de crédito. Determinar o valor da taxa antecipada para que o custo total do financiamento seja 3,5% a.m. Exercicios extraídos de (Silva, 2005) Gabarito 1. $42.593,44 2. $39,720,60(ano comercial) e $39.763,79(ano civil) 3. 4,92 anos 4. 2,31% a.s. 5. $14.283,78 6. $86.660, ,67% a.a. 8. $ ,10 9. $11.638, $92.369,43 períodos diferentes de tempo, produzem sobre um mesmo capital inicial o mesmo montante no final da operação a juros simples. EX: Taxa ao ano = 2 x taxa ao semestre=4 x taxa ao trimestre=6 x taxa ao bimestre= 12 x taxa mensal= 360 x taxa dia. Equivalentes Duas taxas são classificadas como proporcionais quando dadas em períodos diferentes de tempo, produzem sobre um mesmo capital inicial o mesmo montante no final da operação a juros compostos. EX: (1+ )= = = = = % Classificação das taxas de juros Ex: Determinar a taxa mensal equivalente a: (a) 6% a.t.; (b) 24% a.s.; (c) 36% a.a. Solução: Taxas Proporcionais e Equivalentes Proporcionais Duas taxas são classificadas como proporcionais quando dadas em (a) (l + i t ) 1/3-1 = (1 + 6%) 1/3 - l = 1,96% a.m. (b) (l + i,) 1 / 6-1 = (l + 24%) 1/6 - l = 3,65% a.m. Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 15

16 (c) (l + i a ) 1/12-1 = (! + 36%) 1/12 - l = 2,60% a.m. 100,00 CHS PV 2 i 0 PMT 3 [ENTER] 2 [/] n FV 103,01 (l + i b ) 3 / 2-1 = (1 + 2%) 3 / 2 - l = 3,01% a.t. 100,00 CHS PV 6 i 0 PMT 1 [ENTER] 3 [/] n FV 101,96 100,00 CHS PV 24 i 0 PMT 1 [ENTER] 6 [/] n FV 103,65 Ex: Determinar a taxa diária equivalente a 25% a.a., assumindo ano civil. Solução: (l + i ) 1 / = (1 + 25%) 1/365 - l = 0,06% a.d. 100,00 CHS PV 36! 0 PMT 1 [ENTER] 12 [/] n FV 102,60 Ex: Determinar a taxa diária proporcional a 25% a.a., assumindo ano civil. 0,07% a.d. Logo, as taxas equivalentes são iguais a 1,96% a.m., 3,65% a.m. e 2,60% a.m. Vale ressaltar que os valores das taxas equivalentes são inferiores aos das taxas proporcionais do Exemplo 4.3, uma vez que as taxas proporcionais (juros simples) crescem mais rápido do que as taxas equivalentes (juros compostos) quando n é fracionário. Ex: Determinar a taxa trimestral equivalente a 2% a.b. Solução: Taxas Nominais e Efetivas Nominais São as taxas que aparecem descritas nos contratos, enunciados, e estão representadas em um determinado perído de tempo. Se capitalizadas por este mesmo período de tempo, dizemos Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 16

17 que também é efetiva comforme exemplificadas abaixo: 17% a.a., capitalizados anualmente; 12% a.s., capitalizados emestralmente; 5% a.t., capitalizados trimestralmente; 3% a.b., capitalizados bimestralmente; 1,5% a.m., capitalizados mensalmente Por outro lado se taxa nominal ou a taxa apresentada no contrato, enunciado, está em uma unidade de tempo e é capitalizada em outra unidade de tempo, a taxa efetiva será aquela apresentada após o processo de capitalização, sendo assim diferente da taxa nominal. Podemos dizer que a taxa efetiva representa aquela utilizada nos cálculos financeiros e representa o custo ou rendimento da operação. Portanto devemos sempre transformar as taxas nominais em taxas efetivas pelo regime de juros simples e então promover a capitalização. EX: 17% a.a., capitalizados semestralmente, taxa nominal anual. i = semestral = 8,5% a.s - Taxa efetiva (1 + 8,5)² - 1 = 17,72% a.a. Taxa efetiva anual Exercícios Propostos 1. Determinar as taxas mensal e trimestral proporcionais a 24% a.a. 2. Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes a 18% a.a. 3. Determinar a taxa anual equivalente a 48% a.a., capitalizados bimestralmente. 4. Determinar a taxa bimestral equivalente a 12% a.s. 5. Determinar as taxas mensal, bimestral e trimestral equivalentes a 12% a.a., capitalizados semestralmente. 6. Determinar a taxa anual (ano comercial) equivalente à taxa de 32% a.a. (ano civil). 7. Determinar o montante acumulado por um investidor que aplicou $ ,00 por cinco trimestres a 21% a.a., capitalizados bimestralmente. 8. Um investidor aplicou $ ,00 por dois anos a uma taxa de 18% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual é o montante esperado ao final da aplicação? 9. Determinar o investimento necessário para produzir um montante de $ ,00 ao final de 9 bimestres à taxa de 24% a.a., capitalizados mensalmente. 10. Um investidor quer resgatar $ ,00 daqui a 8 meses. Qual deve ser o valor de sua aplicação hoje, sabendo-se que a taxa de juros é 18% a.a., capitalizados bimestralmente. Exercícios extraidos de (Silva, 2005). Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 17

18 Gabarito 1. 2,00% a.m. e 6,00% a.t. 2. 1,39% a.m. e 4,22 a.t ,69% a.a. 4. 3,85 a.b. 5. 0,98% a.m., 1,96% a.b. e 2,96% a.t. Desconto Racional O desconto racional (desconto "por dentro") pode ser calculado no regime de juros simples, incidindo a taxa de juros sobre o valor presente. A taxa de juros (i) também é chamada de taxa de desconto racional simples. O Valor Futuro (FV), Valor Presente (PV) e Desconto (D) podem ser obtidos por meio das seguintes equações: 6. 31,50% a.a. 7. $ ,21 8. $ ,08 9. $52.511, $66.636,53 Operações de Desconto Conceito È a importância ou valor deduzidos de um título com prazo de vencimento e valor nominal definidos, para pagamento ou resgate antecipado deste título. O desconto pode ser através da incidência da taxa sobre o valor futuro do título ( desconto por fora ) denomidado desconto comercial ou bancário, ou sobre o valor presente do título (desconto por dentro ) também chamado de desconto recional. Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ ,00, com vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto racional simples de 3% a.m. Solução: FV = ,00 n = 8 meses i = 3% a.m. PV =? Capitalização Simples Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 18

19 D = FV PV = ,35 D = , ,35 = ,65 vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 3% a.m. Qual é a taxa mensal de juros (desconto racional simples) implícita na operação? Solução: FV = ,00 Desconto Comercial ou Bancário O desconto comercial ou bancário (desconto "por fora") é calculado no regime de juros simples, multiplicando-se a taxa de desconto pelo valor futuro (ou valor nominal) e pelo prazo da operação. No desconto "por fora", a taxa de juros (i), que incide sobre o valor presente, é sempre superior à taxa de desconto (d), que incide sobre o valor futuro. O Valor Futuro (FV), o Valor Presente (PV) e o Desconto (D) podem ser obtidos por meio das seguintes equações: D = F V x i x n n = 8 meses d = 3% a.m. PV =? i =? D = FV x d n D = ,00 x 3% * 8 D = ,00 PV = FV D PV = , ,00 PV = ,00 D = FV PV PV= FV-D PV= F V - F V x i x n PV = FV x (l i x n) Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ ,00, com A taxa de desconto implícita na operação é maior que os 3% nominais. FV = PV x (1 + i x n) ,00=49.400,00 x (1 + i x 8) i = 3,95% a. m. Capitalização Composta Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 19

20 Desconto Racional O mecanismo de desconto racional ("por dentro") composto está relacionado diretamente com o tema estudado no Capítulo 3. No desconto racional composto, a taxa de juros ou desconto racional (i) incide sobre o Valor Presente (PV) a juros compostos. O Valor Presente de um título com prazo n pode ser calculado da seguinte forma: Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ ,00, com vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto racional composto de 3% a.m. Solução: FV = ,00 n = 8 meses i = 3% a.m. PV =? D = FV PV D = FV - PV = ,60 D = FV x [ 1 - ] ,00 CHS FV D = FV x [ ] Os cálculos do desconto racional composto podem ser realizados facilmente através das funções financeiras da HP-12C. PV n i FV PMT Valor presente Tempo Taxa de juros Valor futuro Prestações 0 PMT 3 i 8 n PV , 60 Desconto Comercial ou Bancário A maior parte das operações de desconto comercial ou bancário (desconto "por fora") é calculada no regime de juros simples. No entanto, em algumas situações, pode ser utilizado o mecanismo de Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 20

21 desconto comercial ou bancário (desconto "por fora") a juros compostos. No desconto "por fora" composto, a taxa de desconto (d) incide sobre o Valor Futuro (FV) a juros compostos. O Valor Presente (PV) de um título com prazo n pode ser calculado da seguinte forma: A taxa de juros (i) compostos implícita na operação é superior à taxa de desconto (d) composto de 3% a.m. FV = PV x ,00 =50.943,32x (1 + i) 8 i = 3,09% a.m. D = FV PV D = FV - D = FV x [ ,32 PV ,00 CHS FV 0 PMT 8 n i 3,09 Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ ,00, com vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial composto de 3% a.m. Qual é a taxa mensal de juros compostos na operação? Conforme demonstra a tabela comparativa abaixo resume os exemplos anterios dês te tópico de operações com desconto considerando uma taxa nominal de 3% Solução: FV = ,00 n = 8 meses d = 3% a.m. PV =? i =? PV = FV x PV= ,00 x (1-3%) 8 PV= ,32 Desconto Racional Simples Desconto Comercial Simples Desconto Racional Composto Desconto Comercial Composto , ,35 2,73% a.m , ,00 3,49% a.m , ,60 3,00% a.m , ,32 3,09% a.m. Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 21

22 Exercícios Propostos 1. Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ ,00, com vencimento em 6 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto, sabendo-se que: a) o banco cobra uma taxa de desconto racional simples de 2% a.m.; b) o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 2% a.m.; c) o banco cobra uma taxa de desconto racional composto de 2% a.m.; d) o banco cobra uma taxa de desconto comercial composto de 2% a.m. 2. Determinar o valor antecipado e a taxa mensal de juros compostos implícita no desconto de um cheque pré-datado de $ 5.000,00, 6 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 3% a.m. 3. Uma letra de câmbio de $ 5.000,00 foi descontada, resultando na antecipação de $ 4.200,00 hoje. Determinar o vencimento do título e a taxa mensal de juros compostos, sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% a.m. 4. Uma nota promissória de $ 4.000,00, com prazo de 32 dias, foi descontada a uma taxa de desconto comercial simples de 23% a.a. Assumindo o ano comercial, determinar o valor antecipado e a taxa mensal de juros compostos implícita na operação. 5. Uma empresa ãefactoríng compra cheques pré-datados de 3 meses por 80% do valor nominal. Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples e a taxa mensal de juros compostos do financiamento. 6. Uma loja procurou um banco para descontar uma letra de câmbio de $ ,00, com prazo de 134 dias. O banco exige a retenção de 10% do valor nominal a título de saldo médio, permanecendo este valor bloqueado e sem remuneração na conta da loja até a data de vencimento da letra de câmbio. Caso a loja realize a operação de desconto, poderá sacar hoje um valor líquido de $ ,00. Assumindo o ano comercial, determinar a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa mensal de juros compostos da operação. 7. Determinar a taxa anual de desconto comercial simples em uma operação de desconto de um título de 98 dias, onde o valor antecipado é de 82% do valor nominal. Obs.: assumir ano civil. 8. Uma empresa tem três notas promissórias com valor nominal de $ ,00 e vencimentos em 5, 8 e 10 meses. Determinar o valor recebido pela loja, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 3% a.m. 9. Uma loja desconta um cheque prédatado de $ 3.000,00, com vencimento em dois meses, a uma taxa de desconto comercial simples de 3,5% a.m. O banco exige ainda um saldo médio de 20% do valor nominal, a ser retido durante o prazo do financiamento, o qual será remunerado a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. Determinar a taxa mensal de juros compostos do Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 22

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