Universidade Comunitária da Região de Chapecó Curso de Economia 5º Período 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

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1 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal ou valor do empréstimo (S ). Consideremos os instantes de tempo,, 2,,..., n, na unidade expressa pela taxa de juros (em tudo que segue admitiremos o regime de capitalização composta). Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamarmos de amortização no instante t (indicado por ) à diferença entre e j t, teremos: At = Pt jt ou Pt = At + jt sendo : jt = St.i O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t -), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. S t = S(t ) + jt Pt ou St = S(t ) A t Notação: S S Saldo Saldo devedor i Taxa de juros; devedor no no P Pagamento efetivado ins tan te ins tan te no ins tan te anterior j no período que vai de (t ) a t. t (t ) t t t; t; (t -); principal. Assim, existem inúmeras sequencias de amortizações que têm por soma o 8. Sistema de Amortizações Constantes SAC Entre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal, o Sistema de Amortizações Constante (SAC) é bastante utilizado na prática. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 9

2 S A = A2 = A =... = An = n O valor da prestação é dado por: P = A + n j n Percebe-se, assim, que as prestações do SAC constituem uma progressão aritmética decrescente, cujo primeiro termo a é A + S.i e cuja razão r é A.i. Observação: Para progressão aritmética (Pa) temos: = a + ( n ). r an O gráfico da prestação em função do tempo tem o seguinte aspecto: j j2 j j n A A A A 2...n Tempo Exemplos: a) Um empréstimo de 8. dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% ao semestre. Construa a planilha de amortização. S o= $ 8. n = 5 prestações i =,4 a. s. S 8 A = A = A = $6., n 5 Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 94

3 Semestral TOTAL b) Um empréstimo de $8. deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, ou seja, a primeira parcela só é devida no º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha. S o= $ 8. n = 5 parcelas i =,5 a. s. S 8 A = A = n 5 A = $6., Semestral TOTAL Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 95

4 8.2 Sistema de Francês ou Sistema PRICE No sistema de amortização Francês ou Tabela Price as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações). que Lembrando que o fator ( i) + i n é chamado de fator de Valor Presente (PV) e ( i) + PV = PMT i n. Como PV = S, teremos então que S ( i) + = PMT i n. Logo: PMT = S ( i) + i n Por outro lado, se os juros j, j 2, j,...,j n formam uma sequencia decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) as amortizações A, A 2, A,...,A n formam uma sequencia crescente. Assim o gráfico das prestações em função do tempo tem o seguinte aspecto. A A 2 A A n J J 2 J J n 2 n Tempo Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 96

5 Exemplo: Um empréstimo de $8. deve ser amortizado pelo sistema Francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha de amortização. S = $ 8., n = 5 prestações i =,4 a.s. PMT S = + i 8 PMT = PMT = 5 n ( i) (,4 ),4 $ 79.7,69 Semestral 8., , 47.7,69 2., 79.7, , , ,9 79.7, , , , , , ,.557,8 79.7, ,9 6.9,6 79.7,69 TOTAL 8., 98.58, , Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema Price, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. Exemplo: Num empréstimo de $.., a ser pago pelo sistema francês, em 4 meses e à taxa de % a.m., qual o saldo devedor no 25º mês?(supor paga a prestação desse mês). S = $.. n = 4 prestações i =, a.m. PMT = S.. PMT = PMT = R$ ,79 n 4 ( + i) (, ) i, Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 97

6 Prestações a vencer: 5 prestações O saldo devedor no 25º mês é o valor presente da sequencia uniforme das prestações a vencer (5 prestações). S 25 ( i) + = PMT i n (, ) 5 S = ,79 S25, 25 = R$ , Sistema Price pela HP-2c: Vamos resolver utilizando, inicialmente, a já conhecida Série Uniforme de Pagamentos, calculando o (PMT) postecipado (prestação). Utilizaremos, ainda, a função (f) (AMORT), que aciona um programa interno da máquina para apuração dos valores referentes aos juros, amortização do capital e saldo devedor. Voltemos à planilha do exemplo anterior Semestral 8., , 47.7,69 2., 79.7, , , ,9 79.7, , , , , , ,.557,8 79.7, ,9 6.9,6 79.7,69 TOTAL 8., 98.58, ,45 Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 98

7 Resolução pela calculadora HP-2C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (FIN) (REG), Limpa os registros financeiros e o visor. (g) (8), Pagamento postecipado. 8. (CHS) (PV) -8., Valor Presente (saldo devedor no período zero). 4 (i) 4, Taxa de juros. 5 (n) 5, Número de prestações. (PMT) 79.7,69 Valor das prestações. (n) (f) (AMORT) 2., Valor dos juros no primeiro período. (x><y) 47.7,69 Valor da amortização do capital no primeiro período. (RCL) (PV) , no primeiro período. (n) (f) (AMORT) 26.9,9 Valor dos juros no segundo período. (x><y) 5.69,76 Valor da amortização do capital no segundo período. (RCL) (PV) ,55 no segundo período. (n) (f) (AMORT) 9.947,54 Valor dos juros no terceiro período. (x><y) ,5 Valor da amortização do capital no terceiro período. (RCL) (PV) -8.94,4 no terceiro período. (n) (f) (AMORT).557,8 Valor dos juros no quarto período. (x><y) 66.44, Valor da amortização do capital no quarto período. (RCL) (PV) 72.79,9 no quarto período. (n) (f) (AMORT) Valor dos juros no quinto período. (x><y) 72.79,9 Valor da amortização do capital no quinto período. (RCL) (PV), no quinto período. Observação: Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 99

8 Quando pressionamos (f) (AMORT), a calculadora busca o valor dos juros do próximo período. No entanto, se pressionarmos 2 (f) (AMORT), o resultado será o valor dos juros acumulados nos dois próximos períodos. Se em seguida, pressionarmos a tecla (x><y), obteremos o valor amortizado nos dois períodos, enquanto que as teclas (RCL) (PV) nos fornecem o saldo devedor no final do período considerado. Esse procedimento pode ser feito para qualquer número de prestações. Desta forma fica mais fácil trabalhar com prazos alongados. Exemplo: Em um financiamento de $ 8., a ser pago em 6 meses, com taxa de % a.m., apurar o saldo devedor após o pagamento da ª parcela. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (FIN) (REG), Limpa os registros financeiros e o visor. (g) (END)(tecla 8), Pagamento postecipado. 8. (CHS) (PV) -8., Valor Presente (saldo devedor no período zero). (i), Taxa de juros. 6 (n) 6, Número de prestações. (PMT).7,5 Valor das prestações. (n) (f) (AMORT).4,8 Valor dos juros acumulados nas prestações de a. (x><y).87,42 Valor da amortização pelas primeiras parcelas. (RCL) (PV) ,58 após o pagamento da ª parcela. 8. Sistema de Americano - SAA Através desse sistema, o pagamento do principal é feito de uma só vez, no final do período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; entretanto, podem eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal (tudo depende do acordo entre as partes interessadas). Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página

9 Exemplo: Por um empréstimo de $ 8., um cliente se propõe a devolver o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha. Semestral 8., 8., 2., 2., 2 8., 2., 2., 8., 2., 2., 4 8., 2., 82., TOTAL 8., 28., 928., Exercícios Complementares: ) Um banco libera para uma empresa um crédito de $2. para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha TOTAL 2) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carência somente para as amortizações TOTAL Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página

10 ) Um empréstimo de $25. deve ser devolvido pelo SAC em 5 prestações mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: a) o valor da primeira prestação; Resposta: $. b) o valor da segunda prestação; Resposta: $9.9 c) o valor da 7ª prestação. Resposta: $6.4 4) Um empréstimo de $4. deve ser devolvido pelo SAC com 4 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, juros, prestação e saldo devedor correspondentes ao 2º mês. Resposta: a) A 2 = $. b) j 2 = $ 4 c) P 2 = $.4 d) S 2 = $ 9. 5) Resolva o problema anterior no 5º mês. Resposta: a) A 5 =. UR b) j 5 = 2 UR c) P 5 =.2 UR d) S 5 = 5. UR Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 2

11 6) Um imóvel é vendido por $ 4.7, sendo 2% de entrada e o restante financiado pelo SAC em meses com,5% a.m. de taxa de juros. Calcule o valor da primeira e última parcela. Resposta: 874 e 54,84 7) Um empréstimo no valor de $2.., é concedido à taxa de juros compostos de % a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortização contido na prestação paga ao final do ano. Resposta: $4. 8) Um banco libera um crédito de $6. para uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 2 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t.. Obtenha a planilha até o trimestre Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página

12 9) Se no problema anterior houvesse, somente para as amortizações, uma carência de 2 trimestres, como seria a planilha até o 5 trimestre? Trimestral ) Ana Paula recebeu um financiamento a 5. UR para compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de,5% a.m. para pagamento em 8 meses. Qual o estado da dívida no 64 mês? Respostas: a) A 64 =4, UR b) j 64 =66,4 UR c) P 64 =8,52 UR d) S 64 =4.4,55 UR ) Voce foi contratado para calcular um financiamento junto ao Banco Amigo do Povo, em 8 prestações mensais, pela Tabela Price, a juros de % a.m., sendo de $2., seu preço à vista. a) Calcule o valor da prestação mensal; b) Calcule o valor da parcela de juros referente à ª prestação; c) Calcule o valor da parcela de amortização referente à ª prestação; d) Calcule o valor da parcela de juros e amortização referentes à 2ª prestação; e) Calcule o saldo devedor existente no final do 8 mês; f) Calcule o valor da parcela de juros correspondente à ª prestação; g) Calcule o valor da parcela de amortização correspondente à 4ª prestação. Respostas: a) $4.54,74 e) $ 24.4,99 b) $6., f) $.96,7 c) 8.54,74 g) $2.54,8 d) $5.74,75 e $8.797,99 Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 4

13 2) Um banco financia a importância de $4., entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é % a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros serão capitalizados e incorporados ao capital, construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha, resolva a questão: se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações, deveria pagar quanto? Resposta: $ , TOTAL ) Carlos comprou um carro, financiando 6 UR, com amortização pelo Sistema Price, para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de % a.m.. Após pagar 2 prestações resolveu liquidar a dívida. Pergunta-se: a) Quanto Carlos pagou na 2ª prestação? Resposta: $5,4 UR b) Qual foi a parcela de juros pagos na 2ª prestação? Resposta: $, UR c) Qual a parcela de amortização paga na 2ª prestação? Resposta: $24, UR d) Quanto Carlos pagou para liquidar a dívida? Resposta: $52,67 UR Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 5

14 TOTAL 4) Um valor de $.5., é financiado à taxa de % a.a., para ser amortizado pelo sistema americano, com anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construir a planilha TOTAL 5) Um Banco financia $., que deverão ser amortizados pelo SAA através de uma única parcela ao final do º ano. Os juros são pagos semestralmente à taxa de 4,75%. Elaborar a planilha TOTAL Prof. Johnny Análise Econômica de Investimentos - I Página 6