Aula 3 Matemática Financeira para BDMG

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1 Aula 3 Matemática Financeira para BDMG Sistemas de Amortização Conceito Sistema Francês de Amortização (Sistema de Amortização Progressiva) Tabela Price Descrição das parcelas no Sistema Francês Prestação do Leasing Exercícios Resolvidos Sistema de Amortização Constante (SAC) Exercícios Resolvidos Sistema Americano de Amortização Exercícios Resolvidos Fundo de Amortização (Sinking Fund) Análise de Investimentos Conceito Valor Presente Líquido (VPL) Taxa Interna de Retorno (TIR) Depósitos Bancários Títulos pré fixados e pós fixados Relação das questões comentadas Gabaritos Tabelas Financeiras... 59

2 Sistemas de Amortização. Conceito A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o capital emprestado de modo que, para efeito de concursos, estudaremos apenas quatro, a saber: Sistema Francês (Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema de Americano de Amortização (SAA). Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a descrição do estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada prestação (juros + quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação. Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações, que correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à remuneração do capital emprestado..2 Sistema Francês de Amortização (Sistema de Amortização Progressiva) Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o capital. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. Já que a prestação é constante, à medida que são pagas as parcelas, a quota de amortização vai aumentando enquanto a quota de juros vai diminuindo. A Esse sistema corresponde à sequência de anuidades periódicas postecipadas e esquematizadas da seguinte forma: D n P P P P P P P P P 2

3 Onde D é o valor do empréstimo na data 0 e P é o valor de cada prestação. Trata-se na realidade do cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de capitais. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: Onde a n i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Utilizaremos esta expressão caso a questão forneça a tabela financeira. Caso contrário, utilizaremos o fato de que: Podemos também escrever a prestação em função do valor da dívida: Ou ainda: Onde o número é chamado de Fator de Recuperação de Capital..2. Tabela Price Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da taxa de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não acontecer, isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema Francês será chamado de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao teólogo, filósofo e especialista em finanças e seguros Richard Price. Trata-se apenas de um caso particular do Sistema Francês. Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês. O único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais. 3

4 O enunciado da questão será idêntico, a taxa que poderá ser escrita assim, por exemplo: - 24% ao ano com capitalização mensal - 24% ao ano, Tabela Price Ao informar Tabela Price já estará indicada que a capitalização será na mesma unidade que o número de parcelas. Por exemplo: 20 parcelas bimestrais, a uma taxa de 24% ao ano, Tabela Price. Isso significa que a taxa será 24% ao ano com capitalização bimestral..2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês Descrever as parcelas no Sistema Francês significa indicar qual o juro pago e qual a quota de amortização em cada parcela. No Sistema Francês de Amortização as parcelas são calculadas a partir das seguintes expressões: Vamos aprender agora a calcular a quota de amortização em cada prestação e, consequentemente, o juro pago em cada prestação. O primeiro passo é calcular o juro pago na primeira prestação. Para isso, basta calcular Di. A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de amortização do capital (A ), somada aos juros do primeiro período (J = D.i). Logo, P = A + J Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A = A + i n ( )n Para calcular o juro, basta efetuar P = A n + J n..3 Prestação do Leasing O leasing, cujo nome técnico é arrendamento mercantil, é um sistema de financiamento em que o dono do veículo, denominado de arrendador, cede àquele que deseja adquirir o veículo, denominado de arrendatário, o direito de utilização desse veículo, por um período pré-determinado, que pode variar entre 2 e 60 meses. 4

5 Nesse caso, durante o período do financiamento, o veículo permanece em nome do arrendador, até a quitação da dívida. No documento do veículo constará como proprietário o arrendador e no campo das observações aparecerá o nome do arrendatário. Somente após a quitação da dívida haverá a transferência de propriedade do veículo. Durante o período do leasing, a venda do veículo torna-se muito complicada, pois o veículo não pertence ao arrendatário, sem contar que não há a possibilidade de quitação antecipada da dívida total ou de prestações. Utilizaremos no cálculo da prestação de Leasing a mesma fórmula do Sistema Francês de Amortização. Há a incidência da Taxa de Abertura de Crédito (TAC), sobre o valor a ser financiado..3. Exercícios Resolvidos 0. (AFRE MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 5.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 63,00 d) R$ 8,00 e) R$ 200,00 Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema Francês de Amortização. O juro pago na primeira prestação é dado por: J = D i J = ,02 J = 300 Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da prestação. D = P a n i São 8 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês = P a 8 2% 5

6 E como sabemos que J = = P 4,99203 P.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação será: P = A + J A = P J A = A = 700 Estamos interessados na décima prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A = A + i n ( )n Assim, a quota de amortização da 0ª prestação será: 6

7 O valor de,02 9 foi dado na tabela abaixo. A A ( i) 0 = + 0 A = 700, A 0 = 700,95092 Como a prestação é constante e igual a R$.000,00, o juro pago na décima prestação é igual a ,56 = 63,44. Letra C 02. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 5 000,00 em 0 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (0 períodos) é igual a 0,. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 A 0 = 836,56 Temos nessa questão um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 para ser quitado em 0 prestações mensais iguais. 7

8 A taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal deverá ser transformada em uma taxa efetiva. Já que a capitalização é mensal, a taxa de juros efetiva mensal será 24% / 2 = 2% ao mês. Temos uma novidade nessa questão: para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (0 períodos) é igual a 0,. O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta: a n i Para começar, vamos calcular o valor de cada prestação. D = P a n i D P = = D a a a 0 2% n i n i P = = , =.665 Calculemos o juro da primeira prestação. J = D i J = ,02 J = 300 Como as prestações são constantes e iguais a R$.665,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 300,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a.665,00 300,00 =.365,00. P = A + J Ou seja, já que A = P J A = =.365 Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: 8

9 A = A + i n ( )n Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: Letra B A A ( i) 2 = + 2 A 2 =.365, 02 A 2 =.392,30 P = A + J Já que 2 2 J 2 = P A2 J 2 = ,30 = 272, (AFT 200 ESAF) Um financiamento no valor de R$ ,00 deve ser pago em 8 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 0% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ ,00. b) R$ 76.20,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Trata-se novamente da quitação de um financiamento pelo Sistema Francês. O valor do financiamento é de R$ ,00 e será feito em 8 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 0% ao trimestre. O grande problema é que nessa prova não foi fornecida a tabela financeira. O valor da parcela será calculado com o auxílio da seguinte expressão: Onde i = 0,0 e n = 8. O problema surge aqui. A questão foi anulada porque alguns candidatos receberam a tabela financeira e outros candidatos não receberam. 9

10 Quem recebeu a tabela financeira fez apenas uma divisão. Quem não recebeu, teve que calcular,0 na mão, o que não deve ter sido agradável % , ,00 O juro pago na primeira parcela é J = D i = ,0 = Assim a quota de amortização da primeira parcela é A = =.800 Ou seja, dos R$ ,00 (valor da dívida), foram pagos R$ 8.200,00 de juros e amortizados R$.800 da dívida. Assim, o saldo devedor é igual a = Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A = A + i n ( )n Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: A A ( i) 2 = + 2 A 2 =.800,0 A 2 =.980 Ao efetuar o pagamento da ª prestação (R$ 0.000,00) o saldo devedor foi de R$ ,00. Ao efetuar o pagamento da 2ª prestação (também de R$ 0.000,00) foram amortizados mais R$ 980,00. Assim, o saldo devedor é igual a = ,00. Letra C (questão anulada) 04. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/200) Uma dívida no valor de R$ ,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,0645 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ ,5 b) R$ ,85 c) R$ ,70 0

11 d) R$ ,85 e) R$ ,5 Por definição, o fator de recuperação de capital é o número: Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ ,00 para ser quitado em 20 prestações mensais iguais. Calculemos o valor de cada prestação. D = P a n i D P = = D a a n i n i , ,00 Vamos calcular agora o juro da primeira prestação. J = D i , ,00 Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 2.566,00.000,00 =.566,00. Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A = A + i n ( )n Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: A A ( i) 2 = , ,5 O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será D A A 2 = ,00.605,5 = ,85 Letra B

12 05. (ACE MDIC 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ ,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que: a taxa é nominal de 2% ao ano, o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ 37,34.00 b) US$ 39, c) US$ 40, d) US$ 43, e) US$ 45,75.00 As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 2% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 2% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 2% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado , P P P P P P P P P P P P Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: D = P a n i () Onde a n i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Tem-se que a n i = n ( + i) n ( + i) i. 2

13 Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. Em suma, não pode haver carência. Carência é o período compreendido entre a tomada do empréstimo e o pagamento da ª parcela. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Lembre-se sempre: a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. Assim, devemos transportar o empréstimo de US$ ,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por ( + i) n. Assim, devemos multiplicar ,00 por 4 (+ 0, 06) Dessa forma, US$ ,00 na data 0 equivale a 4º semestre. O desenho da questão ficará assim: , 06 = ,0 no Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês. D = P a n i ,0 = P a 2 6% 3

14 ,0 = P 8, ,0 P = = 45.75,35 8, Letra E 06. (Auditor do Tesouro Municipal Pref. do Recife 2003 ESAF) Um financiamento no valor de R$ ,00 é obtido a uma taxa nominal de 2% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ ,00 b) R$ 8.093,00 c) R$ 6.04,00 d) R$ 5.43,00 e) R$ 4.000,00 As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 2% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 2% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 2% / 2 = 6% ao semestre. 4

15 Temos o seguinte desenho do enunciado. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: D = P a n i Onde a n i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Tem-se que a n i = n ( + i) n ( + i) i. Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Assim, devemos transportar o empréstimo de R$ ,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por ( + i) n. Assim, devemos multiplicar ,00 por 4 (+ 0, 06) Assim, R$ ,00 na data 0 equivale a semestre. O desenho da questão ficará assim: , 06 = , 70 no 4º Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês. 5

16 D = P a n i ,70 = P a 8 6% ,70 = P 6, , 70 P = = ,42 6, Letra A 07. (SEFAZ-RJ 200/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 9.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 2º mês ele ainda deve R$ 4.696,3. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: a) R$ 4.000,00. b) R$ 4.47,53. c) R$ 4.98,84. d) R$ 4.23,05. e) R$ 4.322,0. A próxima prestação é composta pelo juro e pela quota de amortização. O juro pago na próxima prestação é igual a: 2% $ 4.696,3 0, ,3 293,92 6

17 Como a parcela é constante e igual a R$ 777,00, então a quota de amortização é igual a: 777,00 293,92 483,08 O saldo devedor ao final do 2º mês era de R$ 4.696,3 e com o pagamento da próxima prestação foram amortizados R$ 483,08. Assim, o saldo devedor após este pagamento será de: Letra D 4.696,3 483, , (AFRE-SC 200/FEPESE) Um empréstimo de $ ,00 será pago em 2 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de % ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 5.492,0 b) $ ,0 c) $ ,52 d) $ ,0 e) $ ,52 O primeiro passo é calcular o valor da prestação P., ,0 0,0 Infelizmente a FEPESE não forneceu as tabelas financeiras. 0, , , , ,88 Para saber o saldo devedor no 6º mês, basta calcular o valor na data 6 de todas as parcelas que ainda faltam ser pagas. Precisamos pagar ainda 6 prestações (pois são 2 prestações). Logo, 8.884,88,0,0 0,0 7

18 Letra A MATEMÁTICA FINANCEIRA P/ O BDMG (TEORIA E EXERCÍCIOS) 8.884,88,065205, ,0, ,88, , , Infelizmente, esta banca não ofereceu tabelas financeiras. 09. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 200/FCC) Uma dívida no valor de R$ ,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a a) R$ 3.68,00. b) R$ 3.232,00. c) R$ 3.264,00. d) R$ 3.368,00. e) R$ 3.374,00. No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da dívida e as prestações. O número é o chamado Fator de Recuperação de Capital , ,00 O juro pago na primeira prestação é dado por: , Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: 8

19 Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:.600, A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a Letra B.4 Sistema de Amortização Constante (SAC) Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. P = A + J Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são constantes. Logo, as prestações não serão constantes. É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais amortizamos a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão diminuindo. O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC. Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$ ,00 que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à taxa de 9% ao trimestre. 9

20 Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada período, discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e qual o saldo devedor após o pagamento. O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em cada prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ ,00 será quitado em seis prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização seja o mesmo, devemos dividir R$ ,00 por 6 para saber quanto será amortizado em cada prestação. Chamando de a quota de amortização: A = = Chamando o valor da dívida de D, então A = D n Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 6.000,00 da dívida. Assim para calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido ao saldo devedor do período anterior. Vejamos passo a passo: A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim, como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira prestação serão pagos 0, = referentes aos juros. Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$ 6.000,00 mais o juro relativo ao saldo devedor R$ 8.640,00. E qual o novo saldo devedor? P = = ,00 Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença: (Saldo devedor anterior) (quota de amortização). Assim, como antes o saldo devedor era de R$ ,00 e foram amortizados R$ 6.000,00 da dívida, então o novo saldo devedor é de R$ ,00. Observe que juros não amortizam dívida. Eis o início da planilha para esse empréstimo. Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 20

21 , , , , , ,00 Vejamos a segunda prestação: o saldo devedor é de R$ ,00 e como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então o juro pago no próximo trimestre será igual a 0, = Como a quota de amortização é igual a R$ 6.000,00, então a prestação será igual a R$ 6.000,00 + R$ 7.200,00 = R$ ,00. Como o saldo devedor era de R$ ,00 e foram amortizados R$ 6.000,00, então o novo saldo devedor é igual a R$ ,00 R$ 6.000,00 = R$ ,00. Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado , , , , , , , , , , ,00 Terceira prestação: O saldo devedor é de R$ ,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, = referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ ,00 diminuirá R$ 6.000,00. O novo saldo devedor é de R$ ,00. A prestação será igual a R$ 6.000,00 (quota de amortização) + R$ 5.760,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Quarta prestação: O saldo devedor é de R$ ,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, = referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ ,00 diminuirá R$ 6.000,00. O novo saldo devedor é de R$ ,00. A 2

22 prestação será igual a R$ 6.000,00 (quota de amortização) + R$ 4.320,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Quinta prestação: O saldo devedor é de R$ ,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, = referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ ,00 diminuirá R$ 6.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 6.000,00. A prestação será igual a R$ 6.000,00 (quota de amortização) + R$ 2.880,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 6.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, =.440 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de 22

23 R$ 6.000,00 diminuirá R$ 6.000,00. O saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será igual a R$ 6.000,00 (quota de amortização) + R$.440,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00.440, , ,00 Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC. Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros pagos nas prestações vão diminuindo). Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela par outra foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$.440,00. O mesmo aconteceu com o juro de cada período. Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão Aritmética de razão.440. Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200 prestações não precisaríamos construir a planilha passo a passo como o fizemos aqui. Basta utilizar os conceitos de Progressão Aritmética. Os passos que seguiremos serão os seguintes: i) Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor da dívida original pelo número de prestações. Assim, A = = A D n =. No nosso exemplo, 23

24 ii) Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, J = i D. No nosso exemplo, J = 0, = iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de P = A + J amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim,. No nosso exemplo, temos P = = iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r = i A. No nosso exemplo, r = 0, =.440. Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. No caso, o módulo de.440 é igual a.440, que é justamente o juro pago na última prestação. v) O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é igual a Sn = D n A. Por exemplo, o saldo devedor após o pagamento da quarta S = D A. prestação será igual a 4 4 No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será S3 = D 3 A = = É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma comparação entre os dois sistemas de amortização estudados Sistema Francês (Price) e SAC a primeira prestação será maior no SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de prestações)..4. Exercícios Resolvidos 00. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ ,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O banco financia esse equipamento em 00 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: a) R$ 5.000,00. b) R$.000,00. c) R$.666,00. d) R$ 500,00. e) R$.500,00. 24

25 As prestações são formadas por duas parcelas: i) As quotas de amortizações (a quota de amortização é constante no SAC). ii) Os juros. Ou seja, çã çã Para calcular a quota de amortização no SAC, basta dividir o valor da dívida pelo número de prestações. Assim: O juro pago na primeira prestação corresponde a 2% da dívida. Dessa forma, Letra E 2% (Auditor da Receita Estadual - Amapá 200/FGV) Carlos comprou em janeiro de 200 uma casa por R$80.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 0 anos com prestações mensais e taxa de juros de % ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 200 é de: a) R$ 3.020,00 b) R$ 3.60,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 3.300,00 e) R$ 3.450,00 Calculemos o valor da quota de amortização O juro pago na primeira prestação corresponde a % da dívida. Desta forma, a primeira prestação é de: %

26 Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 200, a prestação referente a junho de 200 é a quinta. Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética decrescente de razão Queremos calcular a quinta prestação. Utilizemos a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética. Letra C (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 200/FCC) Um empréstimo no valor de R$ ,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.82,50. (E) R$ 3.875,00. Queremos calcular a diferença. O primeiro passo é calcular a quota de amortização As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão. A razão é negativa porque as prestações são decrescentes. 0, ,5 São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação. Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação e a ª prestação é a seguinte ,5 26

27 3.625 Que é justamente o que queríamos calcular. Letra A 03. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$.350,00 c) R$.500,00 d) R$.750,00 e) R$.800,00 O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a dívida pelo número de prestações. No caso, a quota de amortização será D A = = = 450. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta n 8 S = D 4 A S = =.800. prestação 4 4 Letra E 04. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ ,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 00,00 e) R$ 3 50,00 i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais. D A = = = n 20 ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, J = i D J = 0, =

28 iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, P = A + J P = P = iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r = i A. No nosso exemplo, r = 0, = 50. Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão r = 50 e primeiro termo igual a R$ 3.500,00. P = P + 9 r P = ( 50) = = Assim, 0 0 Letra C 05. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 0% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais ii) iii) iv) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, 0, Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é 28

29 negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim,. Dessa forma,, 0, v) Vamos calcular a terceira prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão 5 e primeiro termo igual a R$ 70,00. Assim, Letra C 06. (AFTE-RO 200 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a a) R$ 3.700,00 b) R$ 3.650,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.550,00 e) R$ 3.500,00 Vimos anteriormente que o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. Ou seja, o juro pago na última prestação é igual a 0,02. Sabemos que as prestações são iguais aos juros correspondentes do período mais a quota de amortização. Assim, a última prestação é igual a 2.550,00 0, ,00, , , E a razão da progressão é dada por 0, Temos a 48ª prestação e estamos querendo calcular a 26ª prestação. 22 Isso porque = ,00 29

30 Letra B.5 Sistema Americano de Amortização O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Exemplo: Construa a planilha de um empréstimo no valor de R$ ,00 deve ser quitado pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de 0% ao mês. Considere uma carência de 3 meses e que os juros são pagos durante o período de carência. O juro pago em cada período da carência é de 0% ao mês. Logo, o juro pago em cada período é igual a: 0% Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor Exercícios Resolvidos 07. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 200/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ , a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ ,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 30

31 c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. I. Verdadeiro. Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. II. A quota de amortização é de R$ ,00/5 = R$ 6.000,00. Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , ,00 0,2 x = 6.000, , ,00 0,2 x = 2.800, , ,00 Portanto, a proposição II é verdadeira. III. Verdadeiro. O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Letra E 08. (SEFAZ-RJ 200/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ ,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 2.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ ,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Analisemos cada uma das alternativas de per si. 3

32 I. Falso MATEMÁTICA FINANCEIRA P/ O BDMG (TEORIA E EXERCÍCIOS) A quota de amortização é dada por: O juro pago na primeira prestação é igual a 5% de Portanto, a primeira prestação é igual a: 5% As prestações formam uma progressão aritmética decrescente de razão. Desta forma: 0, O valor acumulado das três primeiras prestações é igual a: II. Falso As prestações no Sistema Francês são constantes. III. Verdadeiro No Sistema Americano de Amortização, apenas os juros são pagos durante o período de carência, de forma que a dívida é liquidada de uma vez no último pagamento. Durante o período de carência, a quota de amortização é 0, de forma que a prestação é composta apenas pelo juro do período. Em cada período, o juro corresponde a 5% da dívida. 5% í 00 O valor total pago pelas três primeiras prestações é igual a: Letra C FundodeAmortização (Sinking Fund) 32

33 No sistema americano de amortização, é muito comum a constituição, pelo devedor, de um fundo cuja finalidade é garantir o pagamento único a ser efetuado ao final do período de carência. Trata-se do fundo de amortização, também conhecido como sinking fund, e que é formado por uma série de depósitos periódicos, em uma conta remunerada, de tal forma que, na data do pagamento do principal, seu montante seja igual ao valor necessário para liquidar a dívida. O fundo de amortização, portanto, decorre de uma aplicação feita pelo devedor, com vistas a fazer face ao valor que deverá ser desembolsado futuramente para o pagamento do empréstimo. Essa aplicação, como regra geral, será feita a uma aplicação de juros igual ou inferior à taxa utilizada para o cálculo dos juros do financiamento. Considerando um financiamento feito pelo Sistema Americano, em que os juros são pagos durante o prazo de carência, ao final desse prazo o devedor deverá desembolsar um valor igual ao principal. Este também deverá ser o valor do fundo de amortização. Considerando que o devedor, para a formação do fundo, faça n depósitos iguais, periódicos e postecipados, no valor P, remunerados à taxa de juros compostos, então esses depósitos formam uma renda certa (série uniforme), no modelo visto na aula passada, cujo valor futuro é: O valor de cada depósito será: Em que o valor futuro F corresponde ao valor a ser desembolsado para liquidar o financiamento. Vamos à prática... Guilherme faz um financiamento, no valor de R$ ,00, pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de 30% ao ano. O principal deverá ser restituído ao final de 5 anos, sendo os juros pagos durante o prazo de carência. Considerando que o fundo de amortização é formado por depósitos anuais, à taxa de juros de 20% ao ano, pede-se: a) construir a planilha de amortização. b) determinar o valor do depósito, que deve ser feito ao final de cada ano, para a formação do fundo de amortização. c) determinar o valor total desembolsado pelo devedor, a cada ano, durante o período de carência. 33

34 a) construir a planilha de amortização. O juro pago em cada período da carência é de 30% ao ano. Logo, o juro pago em cada período é igual a: 30% Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor b) determinar o valor do depósito, que deve ser feito ao final de cada ano, para a formação do fundo de amortização. O fundo de amortização será constituído por cinco depósitos anuais, sendo que, ao final do 5º ano, o valor do fundo deverá ser R$ ,00. Assim, o valor de cada depósito deve ser: % , ,99 Portanto, o devedor deverá fazer 5 depósitos anuais iguais a R$ 6.78,99. Sobre esses depósitos incidirão juros compostos de 20% ao ano, de tal forma que, ao final do 5º ano, o valor do fundo será de R$ ,00 (este fundo será utilizado para amortizar a dívida no final do 5º ano). c) determinar o valor total desembolsado pelo devedor, a cada ano, durante o período de carência. Durante o período de carência o devedor pagará, a cada ano, R$ 5.000,00 de juros e desembolsará, ainda, mais R$ 6.78,99, para a constituição do fundo de amortização. Assim, o total desembolsado, a cada ano, será: , ,99 2 Análise de Investimentos 2. Conceito Utilizaremos os principais conceitos da Matemática Financeira para abordar alguns 34

35 critérios de avaliação de investimentos. Aproveitaremos os modelos já desenvolvidos para aplicá-los à tomada de decisão financeira em seus aspectos quantitativos. De um modo geral, a classificação dos investimentos é a mais variável possível. Deixaremos os aspectos qualitativos dos investimentos de lado e focaremos nosso objetivo no aspecto quantitativo da avaliação de investimentos. Consideraremos os fluxos de caixa de certas alternativas de investimentos para compará-las entre si e formar uma escala de prioridades na consecução da mais lucrativa. Sob esse aspecto de avaliação, estudaremos dois critérios básicos de análise de investimentos que são: - Critério do Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual. - Critério da Taxa Interna de Retorno. - Critério do Payback Descontado Esses critérios levam em consideração a taxa mínima de atratividade (TMA). É taxa mínima que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento. No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores. A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação gráfica simples chamada diagrama de fluxo de caixa. Ou seja, quando desejamos analisar diferentes valores muitas vezes é difícil imaginar a sua distribuição nas datas disponíveis, sem que para isso não lancemos mão de um esquema financeiro que nos permita visualizar, ao longo do tempo, todos aqueles recebimentos a serem auferidos (entradas de recursos) e todos aqueles pagamentos a serem realizados (saída de recursos). Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para baixo no caso de pagamentos (negativo). 2.2 Valor Presente Líquido (VPL) O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para retroceder um valor para o presente dividimos por ( + i) n. Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. Caso existam duas ou mais formas de investimento, será escolhida aquela que possuir o maior valor presente líquido. No caso de haver apenas uma alternativa para o projeto, o VPL de seu fluxo de caixa indicará se o projeto é viável, inviável ou indiferente. Nesse caso, caso VPL > 0, o projeto é viável. 35

36 Se VPL < 0, então o projeto é inviável. E se VPL = 0, então o projeto é indiferente. No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores. O edital do BDMG utilizou a sigla NPV para designar o valor presente líquido (net present value). 2.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) É a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. No edital do concurso do BDMG, eles colocaram a sigla IRR para designar a taxa interna de retorno (Internal Rate of Return). E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver mais a direita do fluxo. Podemos utilizar o método da taxa interna de retorno em diversas situações, como por exemplo: - Existe apenas uma alternativa de investimento e esta será considerada viável se a taxa interna de retorno for maior que um valor aceitável (taxa mínima de atratividade), o qual representa o custo de oportunidade do capital. Ou seja, se TIR > TMA, então o projeto é viável. Se TIR = TMA, então o projeto é indiferente. Se TIR < TMA, então o projeto é inviável. 09. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/200) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. 36

37 O valor de X é igual a a) R$ 3.824,00 b) R$ 2.960,00 c) R$ 2.096,00 d) R$.232,00 e) R$ 0.368,00 Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente líquido igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer outra data o somatório de entradas e saídas será igual a 0. Adotaremos como data focal a data 3. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por ( + i) n. Assim, a equação de equivalência de capitais será: ,20,20 2, ,728 6,84 Letra B 8, ,84, , (BB Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de retorno é igual a 0% ao ano: 37

38 O valor de X é igual a a) R$ 000,00 b) R$ 550,00 c) R$ 3 30,00 d) R$ 3 95,00 e) R$ 4 520,00 A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver mais a direita do fluxo. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por ( + i) n ,0 0, , , , Letra E 02. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala horizontal em anos. 38

39 Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual (X+Y) = R$ 0.285,00, tem-se que X é igual a a 0% ao ano e a) R$ 3.025,00 b) R$ 3.267,00 c) R$ 3.388,00 d) R$ 3.509,00 e) R$ 3.630,00 A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por ( + i) n. Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para baixo no caso de pagamentos (negativo) , 2.200,, 0, Como o enunciado nos disse que X + Y = 0.285, então Y = 0285 X. Substituindo na equação anterior:, , , Letra E 39

40 022. (AFRE-SC 200/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %. Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno (TIR). a) 30% b) 25% c) 20% d) 5% e) 0% A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. O gráfico mostra claramente que VPL = 0 para uma taxa de 20%. Letra C 023. (Prefeitura Municipal de Brusque Auditor Fiscal Tributário FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $ e $ para o o, 2 o, 3 o e 4 o ano, respectivamente, assinale a alternativa que demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a aplicação das taxas de desconto de 0% a.a., 5% a.a. e 0% a.a., respectivamente. a) $ ; $ ; $ 6039 b) $ ; $ 6039 ; $ c) $ ; $ ; $ d) $ ; $ ; $ e) $ ; $ ; $ Vejamos o desenho do fluxo de caixa. 40