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1 Olá pessoal! Neste ponto resolverei a prova de Matemática Financeira e Estatística para APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010 realizada no último final de semana. A prova foi enviada por um aluno e o tipo é 005. Os gabaritos estão todos corretos. Não há possibilidade para recursos. 36. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ ,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de juro composto. Assim, , A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto é a seguinte: , ,00 Letra E 37. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ ,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de a) R$ ,00 b) R$ ,00 1

2 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Para facilitar o processo mnemônico, chamarei de: A taxa aparente I inflação no período R taxa real É válida a seguinte relação: A = I + R+ I R,,,,,, % Então o montante resgatado pelo investidor é dado por Letra A , , (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ ,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ ,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ ,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 Primeira aplicação: Um capital de R$ ,00 gera um montante de R$ ,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00. Sabemos a relação de juro simples: 2

3 Segunda aplicação: O segundo capital supera o primeiro em = Letra B 39. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a a) 12% b) 15% c) 18% d) 20% e) 24% A taxa do desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal. Assim, o valor do desconto comercial simples é dado por. O enunciado nos informou que o valor do desconto é 2,5% de seu valor nominal. Dessa forma, 2,

4 2, , , Como queremos saber a taxa anual, e considerando a convenção do ano comercial (360 dias), a taxa anual de desconto será: Letra C 2, % 18% (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ ,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ ,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Aplicação de juros compostos , Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado = Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês ,

5 Letra D 41. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. O valor de X é igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente líquido igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer outra data o somatório de entradas e saídas será igual a 0. Adotaremos como data focal a data 3. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 + i) n. Assim, a equação de equivalência de capitais será: ,20 1,20 2 1, ,728 6,84 8, ,84 5

6 Letra B 1, , (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima requerida de 10% ao ano. Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é a) 3,2 anos b) 2,8 anos c) 2,6 anos d) 2,4 anos e) 2,2 anos O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de desconto racional composto. E o que significa Payback? É o tempo necessário para recuperação do investimento. No segundo ano, o somatório das receitas é de R$ 1.800,00. Já que o investimento inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para recuperar o investimento. No terceiro ano, recuperamos mais R$ 1.000,00. Então fazemos a interpolação. Período (ano) Capital X

7 , Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos. Letra E 43. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ ,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ ,15 b) R$ ,85 c) R$ ,70 d) R$ ,85 e) R$ ,15 O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta: 1 a n i Para começar a brincadeira, vamos calcular o valor de cada prestação. Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ ,00 para ser quitado em 20 prestações mensais iguais. Para começar a brincadeira, vamos calcular o valor de cada prestação. D = P a n i D 1 P= = D a a n i n i 7

8 A Fundação Carlos Chagas foi muito generosa!! O problema era saber o que é Fator de Recuperação de Capital. É bom aprender os nomes das tabelas financeiras!! , ,00 Vamos calcular agora o juro da primeira prestação. J1 = D i , ,00 Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 2.566, ,00 = 1.566,00. Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A (1 ) n n = A1 + i Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: 1 A A (1 i) 2 = , ,15 O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será D A 1 A 2 = , ,15 = ,85 Letra B 44. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Em dezembro de 2009, o salário médio dos 100 trabalhadores da empresa Alpha é igual ao salário médio dos 400 trabalhadores da empresa Beta, ou seja, igual a R$ 2.000,00. Porém, os coeficientes de variação apresentados para os trabalhadores de Alpha e Beta são iguais a 20% e 15%, respectivamente. Considerando as duas empresas reunidas, obtém-se que a correspondente variância é, em (R$) 2, igual a a) b) c)

9 d) e) O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. Quando o enunciado fala que o coeficiente de variação de Alpha é 20%, quis dizer que o desvio padrão de Alpha é 20% da média, ou seja 20% de Portanto, o desvio padrão de Alpha é R$ 400,00. Conclusão: A variância de Alpha é (R$ 400,00) 2 = (R$) ,00. Da mesma maneira, o desvio padrão de Beta é 15% da média, ou seja 15% de = 300,00. Assim, a variância de Beta é (R$ 300,00) 2 = (R$) ,00. Teorema: Suponha-se que dois conjuntos constam de N 1 e N 2 números (ou duas distribuições com as frequências totais N 1 e N 2 ) tenham variâncias representadas por s 1 2 e s 2 2 e, respectivamente e a mesma média. Então, a variância conjunta ou combinada de ambos os conjuntos (ou ambas distribuições de frequências) é dada por: Ou seja, a variância conjunta é a média aritmética ponderada das variâncias (os pesos são o número de observações). Empresa Alpha: 100 trabalhadores e variância ,00. Empresa Beta: 400 trabalhadores e variância ,00. Considerando as duas empresas reunidas, obtém-se que a correspondente variância é Letra C (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é 9

10 a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 3/10 O número total de possibilidades para a formação da comissão é igual a C, Os casos favoráveis são os seguintes: i) Apenas João participa. Assim, ainda temos duas pessoas para escolher dentre 4 possíveis (pois sua esposa não pode participar). C, ii) Apenas a esposa de João participa. Assim, ainda temos duas pessoas para escolher dentre 4 possíveis (pois João não pode participar). C, i) Nem João nem sua esposa participam. Assim, temos que escolher 3 pessoas para a comissão dentre 4 possíveis. C, Dessa forma, temos = 16 casos favoráveis num total de 20. A probabilidade pedida é 16/20 = 4/5. Poderíamos ter calculado os casos não desejados. Não desejamos que ambos, João e sua esposa, participem da comissão. Se João e sua esposa participarem da comissão, temos que escolher mais um pessoa dentre 4 restantes. Isso acontece em C, 4 4 casos. 1 Esses são os casos não desejados. Como o total é 20, desejamos 20 4 = 16 casos. 10

11 Letra D. 46. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Em um setor de um órgão público é realizado um levantamento com relação aos salários de seus funcionários administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo. Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que a) O valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média aritmética. b) A soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$ 7.250,00. c) A média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor. d) O valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da moda em R$ 250,00. e) O valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da mediana. A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior frequência em um rol. Claramente a moda é R$ 2.500,00, pois possui frequência igual a 12. São 50 funcionários (número par). Dessa forma, a mediana é a média aritmética entre o 25º e o 26º termos. O 25º termo é igual a R$ 2.000,00 e o 26º termo é igual a R$ 2.500,00. Assim a mediana é igual a R$ 2.250,00. Cálculo da média ,00 Letra E - O valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da mediana. 11

12 Instruções: Para resolver às questões de números 47 e 48 utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z: 47. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é a) 87% b) 89% c) 92% d) 96% e) 98% Para calcular a probabilidade de que < X < vamos fazê-lo na distribuição normal padronizada. Vamos calcular o valor correspondente de X = e X = na distribuição normal padronizada. Para padronizar basta subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão ,25 2 Dessa forma, ,25 2 1, , ,39 0,48 0, % Letra A 48. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos 12

13 cabos medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas destes cabos é igual a a) 7,8 metros b) 8,0 metros c) 8,2 metros d) 8,4 metros e) 9,4 metros Graficamente, temos o seguinte problema: E foi fornecida a seguinte tabela: Já que a probabilidade de x estar entre a média e 16,4 é 48%, então 16,4 corresponde a 2,00 na distribuição normal padronizada. Para padronizar os valores devemos subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. 16, ,4 16,4 2 A tabela forneceu valores à direita da média. O problema é que 2,4 está à esquerda da média. Aproveitamos o fato de que a distribuição normal é simétrica em relação à média. Então o 2,4 da distribuição X corresponde a (-1,50) da distribuição normal padronizada. 2,4 1,5 1,5 2,4 2,4 1,5 Como 16,4 2 2,4 1,5, ã 2,4 1,5 16,4 2 13

14 1,5 2 16,4 2,4 3, Como 2,4 1,5, ã 2,4 1,5 4 8,4 Letra D 48. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por X i ; i=1, 2,..., 10. Sabe-se que A variância desta amostra apresenta o valor de a) 67,3 b) 63,0 c) 61,0 d) 59,7 e) 57,0 A variância de uma amostra pode ser calculada da seguinte maneira: Letra E 50. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Com base em um estudo de correlação e regressão, obteve-se o gráfico abaixo correspondente à equação da reta deduzida pelo método dos mínimos quadrados (Y=aX +b), utilizando 10 pares de observações (X i, Y i ), i = 1, 2, 3,..., 10. A média aritmética das observações de Y apresentou o valor de 6,5. A média aritmética das observações de X é 14

15 a) 4,00 b) 3,75 c) 3,50 d) 3,25 e) 3,00 Devemos calcular os parâmetros a (coeficiente angular da reta) e b (coeficiente linear). O coeficiente a pode ser calculado dividindo a variação de y pela variação de x ,5 Assim a equação toma a forma 1,5 Podemos utilizar qualquer um dos pontos do gráficos. Por exemplo, o ponto (2,5). Quando o X = 2, Y = ,5 2 2 Portanto, a equação da reta é 1,5 2 Ou seja, para calcular a variável Y, multiplicamos a variável X por 1,5 e em seguida somamos duas unidades. Alternativamente, temos que 2 1,5 15

16 A partir das propriedades da média aritmética, a média das observações de X é dada por 6,5 2 1,5 4,5 1,5 3,00 Letra E Um abraço e até o próximo ponto! Prof. Guilherme Neves 16

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