Equivalência de Valores

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1 Equivalência de Valores 1. O Banco Bique concedeu um empréstimo com juros à cabeça ao Sr. Sandro, tendo este pago 1100 de juros. Sabendo que o empréstimo foi concedido em regime de juros simples, à taxa anual de 6% e durante um prazo de 10 meses, calcule, considerando uma solução comercial: a) O valor que o mutuante recebeu do mutuário no final do prazo do empréstimo b) O capital efetivamente recebido pelo mutuário no momento da contração do empréstimo c) A taxa real anual associada a esta operação e interprete o resultado obtido 2. Considerando uma letra com valor nominal de 2500, calcule o valor líquido obtido pelo seu desconto quando faltarem 40 dias para o seu vencimento (acrescente 2 dias de tolerância ao sacado), com uma taxa anual de 8%. Leve em conta uma comissão de cobrança de 5, uma taxa de 4 % para cálculo do imposto de selo e portes no valor de 2. Determine ainda o custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro simples (i CS ). Considere a solução comercial. 3. Considerando os dados do exercício anterior, calcule: a) O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro composto (i CC ) b) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples (i BS ) c) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro composto (i BC ) 4. Considere um capital de com vencimento daqui a 3 anos e a taxa anual de 10%. Assumindo o regime de juro composto, qual será o valor atual deste capital, utilizando a solução comercial? 5. Considerando os dados do exercício anterior, calcule a) O valor atual do capital, utilizando a solução racional b) A taxa real anual suportada, utilizando a solução comercial c) A taxa real anual suportada, utilizando a solução racional 6. O Sr. Pedro contraiu duas dívidas, uma no valor de 2000 à qual faltam 20 dias para o vencimento, outra de 5000 à qual faltam 60 dias para o seu vencimento. Se o Sr. Pedro pretender substituir as duas dívidas por uma única com vencimento a 30 dias, de que valor deve ser esta dívida, à taxa anual de 8%, considerando o dia de hoje como data focal e considerando regime de juro simples e solução racional?

2 Resoluções 1. O Banco Bique concedeu um empréstimo com juros à cabeça ao Sr. Sandro, tendo este pago 1100 de juros. Sabendo que o empréstimo foi concedido em regime de juros simples, à taxa anual de 6% e durante um prazo de 10 meses, calcule, considerando uma solução comercial: a) O valor que o mutuante recebeu do mutuário no final do prazo do empréstimo b) O capital efetivamente recebido pelo mutuário no momento da contração do empréstimo c) A taxa real anual associada a esta operação e interprete o resultado obtido a) Como há juros à cabeça, o Sr. Sandro pagou ao Banco Bique o valor dos juros logo no momento da contração do empréstimo. Na ótica do mutuário, o Sr. Sandro recebe C no momento 0 (em que C é o capital atual, correspondente a C-J) e paga C no final do prazo. Quando se fala em juros à cabeça, e estando a operar em regime de juro simples, financeiramente está implícita a modalidade de desconto comercial simples. Nesta forma de atualização a parcela de desconto é calculada fazendo incidir a taxa sobre o capital nominal C, ou seja: Juro antecipado = D CS = C n i, em que D CS é a parcela de desconto, calculada através de desconto comercial simples Podemos então calcular o capital que foi pedido emprestado: 1100 = C 10/ C = O valor que o mutuante recebeu no final do prazo do empréstimo foi de b) O capital efetivamente recebido pelo Sr. Sandro corresponde ao capital que se pediu emprestado ( 22000) deduzido o valor dos juros suportados nesse mesmo momento ( 1100). Em termos líquidos, o mutuário receberá C CS (capital atual comercial simples). Podemos calcular o valor deste capital: C CS = C D CS C CS = C CS = O capital efetivamente recebido pelo Sr. Sandro no momento da contração do empréstimo foi de c) A taxa real que o mutuário suporta nesta operação é a taxa que, aplicada ao capital efetivamente recebido no momento da contração do empréstimo, conduz, após o prazo deste (10 meses), ao capital que pediu emprestado. Assim, designando a taxa real por d CS, e como se trata de uma capitalização em regime de juro simples, fica: C n = C 0 (1+n d CS ) = 20900(1+10/12 d CS ) d CS =

3 O Sr. Sandro suportou realmente com este empréstimo uma taxa anual de %. Esta taxa é superior à taxa anual divulgada de 6%. A taxa real associada ao desconto comercial simples (d CS ) depende, neste regime de equivalência, do prazo da operação. Quanto maior o n, maior a diferença entre d CS e i. Em desconto comercial simples, para cada data de referência (também chamada data focal) há uma taxa real diferente. 2. Considerando uma letra com valor nominal de 2500, calcule o valor líquido obtido pelo seu desconto quando faltarem 40 dias para o seu vencimento (acrescente 2 dias de tolerância ao sacado), com uma taxa anual de 8%. Leve em conta uma comissão de cobrança de 5, uma taxa de 4 % para cálculo do imposto de selo e portes no valor de 2. Determine ainda o custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro simples (i CS ). Considere a solução comercial. O valor líquido obtido pelo desconto de uma letra corresponde ao seu Produto Líquido de Desconto (PLD), em que PLD = L A onde L é o valor nominal da letra e A é o Ágio (soma de todos os encargos). Os encargos são os seguintes: Desconto por fora (ou juros) Df Comissão de Cobrança Cc Imposto do Selo IS Portes P Começando pelo Df, este é calculado tendo por base o desconto comercial simples, em que D CS = Cni: Df = Lni/360 = /360 Df = A Cc é calculada da seguinte forma: Cc = i Cc L em que i Cc é a taxa de comissão de cobrança. Neste caso fica: Cc = Cc = 12.50

4 O IS é calculado com base na taxa de imposto de selo em vigor e incide sobre o Df e a Cc: IS = i S (Df + Cc) IS = 0.04 ( ) IS = Os portes ascenderam a 2. O Ágio é o somatório de todos os encargos: A = Df + Cc + IS + P A = A = Uma vez calculado o Ágio, facilmente calculamos o PLD: PLD = L A PLD = PLD = O valor líquido obtido pelo desconto da letra foi de A seguir podemos calcular o custo efetivo anualizado para o cliente que é pedido. O cliente do banco recebeu na data de desconto bancário um valor, o PLD, que normalmente só iria receber na data de vencimento da letra (L). Deste modo, o custo efetivo anualizado será uma taxa que aplicada ao PLD na data do desconto bancário permitirá obter o valor nominal da letra na data de vencimento. Trata-se de uma capitalização, em que neste caso consideramos o regime de juro simples: C n = C (1 + ni) L = PLD (1 + n/360 i CS ) 2500 = (1 + 42/360 i CS ) i CS O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do RJS foi 13.68%. 3. Considerando os dados do exercício anterior, calcule: a) O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro composto (i CC ) b) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples (i BS ) c) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro composto (i BC ) a) C n = C (1 + i) n L = PLD (1 + i CC ) n/ = (1 + i CC ) 42/ (1 + i CC ) 42/ /42 [(1+i CC ) 42/360 ] 360/ i CC i CC O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do RJC 14.53%.

5 b) C n = C (1 + ni) 2500 = (1 + 42/360 i BS ) i BS O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples 13.17%. c) 2500 = (1 + i BC ) 42/360 i BC O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do RJC 13.96%. 4. Considere um capital de com vencimento daqui a 3 anos e a taxa anual de 10%. Assumindo o regime de juro composto, qual será o valor atual deste capital, utilizando a solução comercial? O valor atual fica: C CC = C (1-i) n C CC = (1-0.1) 3 C CC = O capital atual comercial composto é de Considerando os dados do exercício anterior, calcule a) O valor atual do capital, utilizando a solução racional b) A taxa real anual suportada, utilizando a solução comercial c) A taxa real anual suportada, utilizando a solução racional a) C RC = C (1+i) -n C RC = (1+0.1) -3 C RC =

6 O capital atual racional composto é de b) C n = C(1+i) n = 7290(1+d CC ) = (1+d CC ) 3 d CC = 0.(1). A taxa real anual suportada utilizando o desconto comercial composto é de 11.(1)%. c) C n = C(1+i) n = (1+d RC ) = (1+d RC ) 3 d RC = 0.1. A taxa real anual suportada utilizando o desconto racional composto é de 10%, coincidindo com a taxa de atualização anunciada. De facto, nem sequer era necessário efetuar cálculos, pois na solução racional a parcela de desconto (que abate ao capital nominal) é calculada com base no capital atual. 6. O Sr. Pedro contraiu duas dívidas, uma no valor de 2000 à qual faltam 20 dias para o vencimento, outra de 5000 à qual faltam 60 dias para o seu vencimento. Se o Sr. Pedro pretender substituir as duas dívidas por uma única com vencimento a 30 dias, de que valor deve ser esta dívida, à taxa anual de 8%, considerando o dia de hoje como data focal e considerando regime de juro simples e solução racional? Pretende-se efetuar uma equivalência de capitais entre duas dívidas, uma no valor de 2000 com vencimento a 20 dias e outra no valor de 5000 com vencimento a 60 dias, e um capital único a calcular, que designaremos por X, com vencimento a 30 dias. Esta equivalência corresponde ao cálculo do capital comum. Neste caso a data focal é o dia de hoje. A atualização de um capital único em desconto racional simples é feita multiplicando o capital nominal pelo respetivo fator de atualização, isto é, pelo Fator de Atualização Racional Simples (para um dado n e para uma dada taxa), FARS n,i : C RS = C[1/(1+ni)] = C FARS n,i Aplicando o FARS n,i a cada um dos capitais, fica: 2000 / (1 + 20/ ) / (1 + 60/ ) = X / (1 + 30/ ) X = Se utilizarmos o RJS na solução racional, o capital comum é