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1 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 1 Olá pessoal! Resolverei neste ponto a prova de Matemática e Estatística para Técnico Administrativo para o BNDES 2008 organizado pela CESGRANRIO. Sem mais delongas, vamos às questões. 01. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Aplicando-se R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será (A) 5.400,00 (B) 5.405,00 (C) 5.408,00 (D) 6.272,00 (E) 6.275,00 O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é bimestral, então os juros são calculados em todos os bimestres e imediatamente incorporados ao capital. Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo 24% ao ano com capitalização bimestral significa na realidade 4% ao bimestre, isto porque 24% dividido por 6 é igual a 4% (lembre-se que um ano é composto por 6 bimestres). A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao bimestre é chamada de taxa efetiva. Nas fórmulas de juros compostos sempre devemos utilizar as TAXAS EFETIVAS. Lembre-se sempre disto!! No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada bimestralmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por bimestre e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao bimestre com capitalização bimestral é uma taxa efetiva.

2 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 2 Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: M montante (capital + juros). C Capital inicial aplicado. i taxa de juros n número de períodos. 1 Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 4 meses, então o número de períodos é igual a 2 bimestres. Temos os seguintes dados no enunciado: Letra C %.. 0, , , , (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considere que, em uma empresa, há máquinas copiadoras do tipo A e do tipo B, nas seguintes condições: 3 máquinas do tipo A, funcionando conjuntamente com 2 máquinas do tipo B, produzem cópias, ao todo, em meia hora; todas as máquinas do tipo A funcionam sob um mesmo regime constante; todas as máquinas do tipo B funcionam sob um mesmo regime constante, 40% maior do que o regime das máquinas do tipo A. O número de cópias por minuto, nessa empresa, que uma máquina do tipo B faz a mais do que uma máquina do tipo A é (A) 38 (B) 36 (C) 34 (D) 32 (E) 30

3 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 3 3 máquinas do tipo A, funcionando conjuntamente com 2 máquinas do tipo B, produzem cópias, ao todo, em meia hora (30 minutos). Para calcular o número de cópias produzidas pelas 3 máquinas do tipo A conjuntamente com 2 máquinas do tipo B em um minuto, devemos dividir cópias por ó 30 Vamos considerar que uma máquina do tipo A produz cópias em um minuto e uma máquina do tipo B produz cópias em um minuto. Como 3 máquinas do tipo A, funcionando conjuntamente com 2 máquinas do tipo B, produzem 464 cópias, ao todo, em 1 minuto, podemos escrever: Todas as máquinas do tipo B funcionam sob um mesmo regime constante, 40% maior do que o regime das máquinas do tipo A. Com isso, temos a seguinte equação. 40% 0,4 1,4 Temos o seguinte sistema de equações ,4 Substituindo a expressão 1,4 na primeira equação, temos: 3 2 1, , , ,8 Para efetuar esta divisão com números decimais devemos proceder da seguinte maneira: i) Igualamos a quantidade de casas decimais e em seguida apagamos as vírgulas. 464,0 5,

4 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 4 80 Isto quer dizer que a máquina A produz 80 cópias em um minuto. 1,4 1, Portanto, a máquina B produz 112 cópias em um minuto. Desta forma, o número de cópias por minuto, nessa empresa, que uma máquina do tipo B faz a mais do que uma máquina do tipo A é Letra D 03. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês. Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros positivos de i? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 2 (E) 1 Para facilitar os cálculos, vamos considerar que o capital aplicado foi igual a R$ 100, ,00 Temos duas aplicações: i) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês durante dois meses. A metade do capital é igual a R$ 50, % 50 1,2 72 ii) A outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i% durante 2 meses. O juro simples é calculado da seguinte maneira:

5 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 5 É importante notar que deve haver conformidade entre a unidade da taxa e a unidade de tempo. 50 % % Por definição, o montante é a soma do capital aplicado com os juros auferidos no período. Desta forma, o montante simples é igual a 50. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%. Como estamos supondo que o capital aplicado é igual a R$ 100,00, então os montantes somados resultam R$ 150, Os divisores positivos de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14, 28. O número possui 6 divisores positivos. Letra A 04. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Uma seqüência de números (a 1, a 2, a 3,...) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão S n = 3n 2 + n. O valor do 51 o termo é (A) 300 (B) 301 (C) 302 (D) 303 (E) 304 A expressão significa a soma dos n primeiros termos. Por exemplo,.

6 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 6 Analogamente,. Aplicando a lei de formação, substituindo por 1, temos: Concluímos que o primeiro termo da sequência é o número 4. Vamos agora substituir n por O segundo termo da sequência é igual a 10. Vamos agora substituir n por 3. Os primeiros termos da sequência são: ,10,16, Trata-se de uma progressão aritmética de razão 6 (isto porque a diferença entre termos consecutivos é igual a 6). Para calcular o 51º termo, devemos aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. 1 Como queremos calcular o 51º termo, devemos substituir n por

7 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES Letra E 05. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para que o valor do desconto seja o mesmo? (A) 83,3% (B) 69,1% (C) 42,8% (D) 20,0% (E) 16,7% Existe uma fórmula muito interessante que é empregada em questões que relacionam duas taxas de desconto composto (racional e comercial) de forma que o valor do desconto seja o mesmo nas duas modalidades. A fórmula é a seguinte: Onde é a taxa do desconto comercial composto e é a taxa do desconto racional composto. A taxa do desconto racional composto é igual a 20% = 0,2, ou seja, 0, , Letra E 1 0, ,7% 6

8 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 8 Considere os dados a seguir para responder às questões de n os 06 e 07. Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números de moradores em cada uma: 06. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A variância amostral é (A) 5,8 (B) 5,5 (C) 5,1 (D) 4,8 (E) 4,4 Suponhamos que desejamos conhecer alguma coisa sobre determinada população por exemplo, a média salarial, a variância das alturas, o percentual de intenções de voto para um determinado candidato - e essa população é composta de milhares (talvez milhões) de elementos, de tal modo que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria inviável pesquisar todos os elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em uma amostra!! Seja qual for o caso, o fato é que, em muitas situações, precisamos obter as informações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populacional, é desconhecido. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá uma ideia do valor correto (populacional) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro populacional. Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudantes do Ponto dos Concursos. Como há muitos estudantes, recorremos a uma amostra de, digamos 150 alunos. A média da amostra encontrada foi de 24 anos. Essa é a nossa estimativa! Mas a média de idade dos estudantes do Ponto dos Concursos é realmente 24 anos? Não dá para saber, a não ser que todos os estudantes do Ponto fossem pesquisados. Portanto, são coisas diferentes o parâmetro populacional e o estimador e, portanto, devem ser representados de maneiras diferentes, por exemplo:

9 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 9 X = média amostral ( estimador) μ = média populacional ( parâmetro populacional) E não é só uma diferença de valores!! O parâmetro populacional é, em geral, um valor fixo. O estimador depende da amostra. A principal propriedade desejável de um estimador é a de que esse estimador, na média, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetir a experiência infinitas vezes, o valor médio das estimativas encontradas em cada experimento seria o valor correto do parâmetro populacional. A esperança do estimador deve ser o parâmetro populacional. Se isso ocorre, dizemos que o estimador é não viesado. Se, entretanto, o estimador erra, em média, dizemos que ele é viesado. ( x ) 2 i x s = n 1 Voltemos agora à nossa questão. 2 é um estimador não viciado (não viesado) da variância. X 1 X 2 X 3 X 4 X Queremos calcular a variância dessa amostra. Primeiramente calculemos a média dessa amostra Calculemos agora os quadrados dos desvios dos valores da amostra em relação à média. 4 x i xi x ( x x) 2 i

10 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES Assim, a variância amostral é dada por: Letra B ,5 07. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Seja X a variável que corresponde ao número de moradores em cada uma das 5 residências. Qual o gráfico da função de distribuição acumulada de X?

11 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 11 São 5 casas. Vamos construir a distribuição de probabilidades. 2 casas possuem 2 moradores. Portanto, 40% das casas possuem 2 moradores (40% foi obtido dividindo 2 por 5). 1 casa possui 3 moradores. Portanto, 20% das casas possuem 3 moradores (20% foi obtido dividindo 1 por 5). 1 casa possui 6 moradores. Portanto, 20% das casas possuem 6 moradores (20% foi obtido dividindo 1 por 5). 1 casa possui 7 moradores. Portanto, 20% das casas possuem 7 moradores (20% foi obtido dividindo 1 por 5). 2 0,4 3 0,2 6 0,2 7 0,2 A função de distribuição acumulada de X é definida da seguinte maneira: Temos então: , ,4 0,2 0, ,4 0,2 0,2 0, ,4 0,2 0,2 0,2 1,0 Com esses resultados podemos escrever: O gráfico de F(x) é: 0 2 0, , , ,0 7

12 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 12 Letra A Leia a tabela a seguir para responder às questões de nos 08 a (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considerando-se que uma pessoa será escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que a sua idade esteja entre 28 e 36 anos, dado que a pessoa escolhida terá 24 anos ou mais? (A) 11/40 (B) 13/32 (C) 19/40 (D) 19/32 (E) 29/40 O primeiro passo é calcular a coluna de frequências absolutas. Para isto, repetimos a primeira frequência acumulada e calculamos as diferenças entre as frequências acumuladas consecutivas. Idades (anos) Frequência Acumulada Frequência Absoluta A tabela ficará assim:

13 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 13 Idades (anos) Frequência Absoluta O total de pessoas com idade entre 28 e 36 anos é igual a (basta somar as frequências da terceira e da quarta classe). Como a pessoa escolhida tem 24 anos ou mais, então estamos considerando um universo de pessoas. A probabilidade de que a sua idade esteja entre 28 e 36 anos, dado que a pessoa escolhida terá 24 anos ou mais é igual a: Letra C (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Sejam e md, respectivamente, a média e a mediana das idades. O valor de md é (A) 0,80 (B) 0,75 (C) 0,70 (D) 0,65 (E) 0,60 Na questão 08, construímos a seguinte tabela. Idades (anos) Frequência Absoluta Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio. Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes (x i ) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas frequências.

14 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 14 O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médio da primeira classe é 22. Idades (anos) Frequência Absoluta x 22 = x 26 = x 30 = x 34 = x 38 = 380 Basta-nos agora somar os valores da coluna x i f i e dividir pela quantidade de observações (o somatório das frequências absolutas é igual a 100) ,40 A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: i) Descobrir a classe mediana. ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências. Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor 2 n. Em seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja maior ou igual ao valor de 2 n. Como são 100 pessoas, então /2 50.

15 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 15 Para determinar a classe mediana, devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 50. Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 50 teremos determinado a classe mediana. Classe mediana (52 > 50) Estamos prontos para aplicarmos a fórmula da mediana. n facant Md l 2 = inf + h fi Precisaremos dos seguintes valores: Limite inferior da classe mediana ( 24). /2 50 Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( 20). Frequência absoluta da classe mediana ( ) Amplitude da classe mediana ( ) A mediana é dada por:

16 Desta forma: Letra D CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES ,75 28,40 27,75 0, (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A distância interquartil é, aproximadamente, (A) 6,3 (B) 6,5 (C) 6,7 (D) 6,9 (E) 7,1 A distância interquartil é igual à diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. O método para calcular os quartis (e as outras medidas separatrizes como decis, percentis) é muito parecido com o da mediana. n Diferença: ao invés de calcularmos o valor calcularemos 2 (se for o primeiro quartil) ou 3 n (se for o terceiro quartil). O denominador é igual a 4 porque 4 trata-se de um quartil (dividimos a distribuição em quatros partes). O numerador é 1n porque estamos calculando o primeiro quartil ou 3n porque estamos calculando o terceiro quartil. Para calcular a classe do primeiro quartil deveremos procurar a frequência acumulada que é maior ou igual n/4. A fórmula do primeiro quartil ficará 4

17 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 17 E para calcular a classe do terceiro quartil deveremos procurar a frequência acumulada que é maior ou igual a 3 n. A fórmula do terceiro quartil ficará 4 i) Cálculo do primeiro quartil 3n facant Q 4 3 = linf + h fi Como são 100 pessoas, então n/4 = 25. Devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 25. Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 25 teremos determinado a classe do primeiro quartil. Classe do primeiro quartil (52 >25) Estamos prontos para aplicarmos a fórmula do primeiro quartil. 4 Precisaremos dos seguintes valores: Limite inferior da classe do primeiro quartil ( 24). /4 25 Frequência acumulada da classe anterior à classe do primeiro quartil ( 20). Frequência absoluta da classe do primeiro quartil ( ) Amplitude da classe do primeiro quartil ( )

18 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 18 O primeiro quartil é dado por: ,625 ii) Cálculo do terceiro quartil Como são 100 pessoas, então 3n/4 = 75. Devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 75. Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 75 teremos determinado a classe do terceiro quartil. Classe do primeiro quartil (78 >75) Estamos prontos para aplicarmos a fórmula do terceiro quartil. 3 4 Precisaremos dos seguintes valores: Limite inferior da classe do terceiro quartil ( 28). 3 /4 75 Frequência acumulada da classe anterior à classe do terceiro quartil ( 52).

19 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 19 Frequência absoluta da classe do terceiro quartil ( ) Amplitude da classe do terceiro quartil ( ) O terceiro quartil é dado por: ,538 Desta forma, a distância interquartil é aproximadamente: Letra D 31,538 24,625 6, (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A tabela a seguir apresenta dados sobre a evolução de preços e quantidades de dois produtos, em dois anos consecutivos. Com base nos dados apresentados, em relação ao nível de preços dos dois produtos, os índices de Paasche e de Laspeyres, respectivamente, indicam (A) a sua manutenção e uma redução de 12%. (B) a sua manutenção e um aumento de 12%. (C) uma redução de 12% e um aumento de 12%. (D) uma redução de 12% e a sua manutenção. (E) um aumento de 12% e a sua manutenção. Um número índice é uma medida estatística idealizada para mostrar as variações de uma variável, ou de um grupo de variáveis, correlacionadas ao tempo ou a outras características. Vamos considerar:

20 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 20 ç é ç é á é é á O índice de Paasche é também chamado de Método do Ano Determinado. Tem-se uma ponderação dos produtos em função dos preços ou quantidades no ano dado. O índice de preço de Paasche é dado por: O índice de Laspeyres é também chamado de Método do Ano Base. Tem-se uma ponderação dos produtos em função dos preços ou quantidades no ano base. O índice de preço de Laspeyres é dado por: ,12 Como o índice de Paasche é igual a 1 100% e o índice de Laspeyres é igual a 1,12 1 0,12 100% 12%, concluímos que o índice de Paasche indica a manutenção e o índice de Laspeyres indica um aumento de 12% no nível de preços. Letra B 12. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considere a seqüência de figuras apresentada a seguir. Essa seqüência de figuras segue o padrão lógico de um sistema de numeração. De acordo com esse padrão, a próxima figura será

21 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 21 O padrão lógico segue o sistema de numeração de base 3. Como assim? As figuras funcionam como um ábaco. Lembram do ábaco? Aquele instrumento que as crianças utilizam para aprender a contar. Peguei uma figura de um ábaco no Google. Como o nosso sistema de numeração é o de base 10, este ábaco possui em cada linha 10 peças. E como funciona este ábaco? Uma peça vermelha vale 10 peças azuis. Uma peça amarela vale 10 peças vermelhas. Uma peça verde vale 10 peças amarelas. E finalmente, 1 peça azul clara, vale 10 peças verdes. O ábaco utilizado na questão possui 3 peças em cada linha. Isto significa que uma peça da linha do meio vale 3 peças da linha inferior. Uma peça da linha superior vale 3 peças da linha intermediária. Resumindo: cada peça na linha inferior vale 1, cada peça na linha intermediária vale 3 e cada peça na linha superior vale 9. Zero Um Dois Poderíamos agora colocar 3 peças na linha inferior. Mas como uma peça da linha do meio vale por 3 peças da linha inferior, a próxima figura é a seguinte.

22 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 22 Três 3+1= =5 3+3= = =8 O próximo número a ser representado é o número 9. Como cada peça na linha superior vale 9, colocaremos apenas uma peça na linha superior. A resposta é: Um abraço e até o próximo ponto. Prof. Guilherme Neves

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