MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) OBS: nas fórmulas a taxa é sempre utilizada na sua for,a unitária, ou seja, na sua forma percentual dividido por 100. Tipos de Juros Simples

2 O juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Juros Composto O juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a gerar juros no período seguinte. Simbologia n (ou t) = número de períodos de capitalização de juros; i = taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem e sempre mencionando a unidade de tempo considerada; PV (ou C, P, K) = valor presente, capital inicial ou principal; FV (ou S, M) = valor futuro, ou seja, valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização, a taxa de juros i ; PMT (ou R, T) = valor de cada prestação da série uniforme que ocorre ao final de cada período (série postecipada). Comentários: Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais; A unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n ; A maioria dos problemas de Matemática Financeira envolve apenas quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a serem relacionados podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT. Fluxo de caixa Define-se como sendo o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo que experimenta uma empresa, uma instituição, um indivíduo. Todo e qualquer problema em Matemática Financeira pode ser representado por seu fluxo de caixa (investimentos, projetos, operações financeiras, etc.). A representação do fluxo de caixa é feito por meio de tabelas, quadros, ou, esquematicamente, por meio de um diagrama, conhecido como diagrama do fluxo de caixa.

3 Valor do Dinheiro no Tempo A Matemática Financeira está diretamente ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros; Os valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas algebricamente; Valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser compradas e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data (data de referência), com a correta aplicação de uma taxa de juros. Objetivos da Matemática Financeira A transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo; A obtenção da taxa de juros implícita num fluxo de caixa; A análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa. Juros Simples O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, sobretudo em operações de curto prazo, em função da simplicidade do cálculo. Cálculo dos Juros: J = PV x i x n Cálculo do montante: FV = PV + J = PV + PV x i x n = PV (1+i x n) Cálculo da Taxa de Juros: i = {[(FV / PV) 1] / n} x 100 Cálculo do Número de Períodos: n = [(FV / PV) 1] / i As taxas são fornecidas em termos anuais e os prazos fixados em número de dias. Pode-se ter dois enfoques neste caso, dependendo do número de dias tomado para o ano: Juro Comercial: Jc = (PV x i x n) / 360 ou 365

4 Exemplo: A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. (365 dias) Solução: Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses. Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00. Exercício proposto: Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s). (365 dias) M = (1 + 0,03 x 120) = R$ ,00 Resposta: $46000,00 Assim, por exemplo se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos coloca-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja: a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos, ou b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc Exemplos: E01 Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos? (360 dias) SOLUÇÃO: Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo. Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10 n = 5 anos = 5.6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres) Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses. Teríamos: i = 10% a.b. = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 n = 5 anos = 5.12 = 60 meses Então: J = $12000,00.0,05.60 = $36000,00Então: J = $ ,10.30 = $36000,00 E02 Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? SOLUÇÃO: Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem: 2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,05n Þ 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.

5 Exercício proposto: Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? 3P = P(1+ 0,1n) 3 = 1 + 0,1n 2 = 0,1n n = 20 Resp: 20 anos. Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P. ( 1 + (i.n) ) M = [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias / 6 = ,13 / 90 = 0, logo, 4m15d = x 9 = ,00144 x 135 = 0,195 j = 1200 x = Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a, durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = , = R$5000, Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012. 2,5 = P. 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$ , Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses

6 Exemplo 1: Seu amigo precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu R$450 emprestados por 60 dias. Você empresta o dinheiro a juros simples ordinários de 7%. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 60 dias e qual será o valor total devido? Teclas Mostrador 60 (n) 60,00 Registra o número de dias. 7 (i) 7,00 Armazena a taxa de juros anual. Teclas Mostrador 450 (CHS) (PV) 450,00 Armazena o principal. (f) (INT) 5,25 Juros ordinários acumulados ,25 Valor total: principal mais juros acumulados. Exemplo 2: Seu amigo concorda com os juros de 7% no empréstimo do exemplo anterior, mas pede a você que os calcule com base no ano civil em vez do ano comercial. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 60 dias e qual será o valor total devido? Teclas Mostrador 60 (n) 60,00 7 (i) 7, (CHS) (PV) - 450,00 Se não tiver alterado os números nos registros n, i e PV do exemplo anterior, você pode omitir essas instruções. (f) (INT) (R) (x>y) 5,18 Juros exatos acumulados ,18 Valor total: principal mais juros acumulados. Descontos Simples Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir. Vamos considerar a seguinte simbologia: N = valor nominal de um título. V = valor líquido, após o desconto. Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos simples. n = número de períodos. Teremos: V = N - Dc No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo: Dc = Ndn Substituindo, vem: V = N(1 - dn) Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. Solução: V = (1-0,05. 3) = 8500 Dc = = 1500 Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00 Desconto bancário As operações de desconto praticadas pelos bancos comerciais costumam apresentar os seguintes encargos financeiros, os quais são geralmente cobrados sobre o valor nominal do título (valor de resgate) e pagos a vista (descontados no momento da liberação dos recursos). a. TAXA DE DESCONTO (Nominal) Segue as características de desconto bancário estudadas nos Capítulos 3 e 4 Basicamente, representa a relação entre os juros e o valor nominal do título. Esta taxa costuma ser definida em bases mensais e empregada de forma linear nas operações de desconto.

7 b. IOF IMPOSTO SOBRE OPERAÇÕES FINANCEIRAS Identicamente à taxa de desconto, este percentual é calculado linearmente sobre o valor nominal do título e cobrado no ato da liberação dos recursos. c. TAXA ADMINISTRATIVA Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras visando cobrir certas despesas de abertura, concessão e controle do crédito.é calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e descontada na liberação dos recursos. Esses encargos financeiros de desconto bancário são referenciados, para o cálculo de seus valores monetários, pelo critério de juros simples. Evidentemente, para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas operações é adotado o regime composto, conforme amplamente discutido. É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título. Exemplo 10: Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de agosto descontou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário simples. Calcular o valor de resgate do título. HP 12C Teclas Visor f FIN f Desconto comercial: Dc = ,,02. 3,53 = 442, CHS PV 8, Valor Atual = ,40 = 7.557,60 2 ENTER 12 x i n x - 16 f INT 7, (valor atual PV em desconto bancário simples) Exemplo: Um título de $ ,00 é descontado em um banco, 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação. Solução: HP12C Desconto comercial: Dc = ,,05. 6 = Despesas ADM = (2% : 6 meses) x 12 meses = 4% Despesas administrativas: da = ,02 = Dc + da + IOF = 60% + 1,5% + 4% = 65,5% (i) IOF = (0,015/360). 180 = 750 PV = ,00 Desconto total = = n = 180 dias Daí, o valor líquido do título será: = Valor Descontado (f) (INT) = $ ,00 Logo, V = $67.250,00 Valor a Receber (-) = $ ,00 A taxa efetiva de juros da operação será: i = [( /67250) - 1].100 = 8,12% a. m. Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um título de R$ ,00 foi descontado dois meses antes do seu vencimento. Sendo 3,8% a.m. a taxa de desconto bancário, o IOF é de 0,0041% a.d., determine o valor líquido liberado. SOLUÇÃO Valor Nominal do Título...R$ ,00 Desconto : d = N i n = x0,038x2... R$ 3.040,00 IOF: x 0, x 60...R$ 98,40 Valor Líquido Descontado R$ ,60 O custo efetivo é determinado por: Valor Nominal = VLL x (i ab x n + 1) = 1 + i ab x 1 i ab = 1 i ab = 0,0851 ou 8,51% a.b. Em termos mensais, o custo efetivo atinge: 1 + i ab = (1 + i am ) 2 i am = (1 + i ab ) 1/2 1 i am = (1,0851) 1/2 1 = 0,0417 ou 4,17% a.m. CONCLUSÃO: A taxa efetiva é de 4,17% a.m., maior que o anunciado de 3,8% a.m. (taxa nominal)

8 q/t iq = (1+it) - 1 *onde: i q : taxa equivalente para o prazo que eu quero i t : taxa para o prazo que eu tenho q : prazo que eu quero t : prazo que eu tenho Nesse caso podemos afirmar que as taxas de 10% ao mês e 33,1% ao trimestre são equivalentes, senão vejamos, qual a taxa trimestral equivalente a taxa de 10% ao mês? Dados: it =10% ao mês; t = 1 mês; q = 1 trimestre = 3 meses; iq =? 2. Determinar a taxa anual equivalente a taxa de 10% ao mês. Dados: it = 10% ao mês; t = 1 mês; q = 1 ano = 12 meses; iq =? 3. Determinar a taxa mensal equivalente à taxa de 120% ao ano. Dados: it = 120% ao ano; t = 1 ano = 12 meses; q = 1 mês; iq =? Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i a = (1 + i s ) i a = 1,08 2 i a = 0,1664 = 16,64% a.a. 2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 1 + i a = (1 + i m ) i a = (1,005) 12 i a = 0,0617 = 6,17% a.a. 2. Suponha o desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ ,00 descontada 50 dias antes do seu vencimento. A taxa de desconto nominal cobrada pelo banco é de 3,3% a.m. e o I.O.F. atinge a 0,0041% a.d.. Determine o valor líquido liberado e o custo efetivo desta operação. SOLUÇÃO FV = R$ ,00 n = 50 dias d = 3,3% a.m. IOF = 0,0041% a.d. Valor Nominal do Título...R$ ,00 Desconto: d = N i n = ( R$ 825,00) IOF: x 0, x 50...(R$ 30,75) Valor Líquido Liberado...R$ , i = i = 6,05% para 50 dias

9 1 + i = (1 + i am ) 50/ ,0605 = (1 + i am ) 50/30 (1 + 0,0605) 30/50 = 1 + i am 1,0359 = 1 + i am i am = 0,0359 ou 3,59% a.m. 3. Admita no exercício anterior que a instituição financeira cobra ainda 1,5% de taxa administrativa. Calcular o valor líquido liberado e o custo efetivo da operação incluindo esta despesa adicional. SOLUÇÃO Valor Líquido Liberado Anterior...R$ ,25 Taxa administrativa: x 0,015...(R$ 225,00) Valor Líquido Liberado...R$ , i = = 1,0776 ou 7,76% para 50 dias ou 1 + i = (1 + i am ) 50/ ,0776 = (1 + i am ) 30/50 (1,0776) 30/50 = 1 + i am 1,0459 = 1 + i am ou i am = 0,0459 ou i = 4,59 a.m. Duplicatas Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário. Obs: a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central. b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura. Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entendem-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias. Exemplo: Uma empresa oferece uma duplicata de $50.000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a., cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação. SOLUÇÃO: Desconto comercial = Dc = ,04. 3 = Despesas administrativas = Da = 0, = 1000 IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50 Teremos então: Valor líquido = V = ( ,50) = ,50 Taxa efetiva de juros = i = [(50.000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m. Resp: V = $42.812,50 e i = 5,60 % a.m. Exercícios propostos: 1 - Um título de $5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m., pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado. Solução: V = (1-0,03. 2) = 4.700,00 Dc = = 300 Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700, Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a.a., mais IOF de 1,5% a. a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação. Resp: 6,06% a.m

10 4. Admita que uma empresa tenha apresentado a um banco o seguinte borderô de duplicatas para desconto. Duplicata Valor Nominal Prazo de Desconto A ,00 27 dias B ,00 39 dias C ,00 42 dias D ,00 36 dias Sendo de 4,5% a.m. a taxa de desconto cobrada pelo banco, e de 0,0041% a.d. o IOF incidente sobre a operação, determinar: a. valor de desconto calculado pelo banco; b. valor líquido liberado ao cliente; c. custo efetivo mensal pelo custo médio ponderado SOLUÇÃO Duplicata Duplicata Duplicata Duplicata A B C D TOTAL Valor , , , , ,00 Nominal Desconto: N 607, ,00 693, , ,50 i n IOF 16,60 44,77 18,94 47,23 127,54 (0,0041%) Valor , , , ,96 Líquido Liberado Custo efetivo mensal: i = (86.000/81.205,96) 1 = 5,9% para 36,1744 dias Prazo médio = = 26,1744 dias i am = (1,059) (30/36,1744) - 1 = 0,0487 ou 4,87% a.m.

11 Juros Compostos No regime de capitalização a juros compostos, os juros formados a cada período são incorporados ao capital inicial, passando também a produzir juros. A expressão que permite quantificar o total de juros resultante da aplicação de um principal P, a uma taxa de juros i, durante n períodos, é mostrada a seguir: Montante (FV): Valor Presente (PV): Taxa de Juros (i): FV PV 1 Prazo (n): FV PV FV PV FV PV n n i 1 i 1 i n i 1 1 n FV PV 1 FV PV FV PV n n n i 1 i log1 i log n log 1 i n FV log PV FV log PV n log 1 i 1 - Um capital de $ ,00 foi aplicado por 3 meses, a juros simples. Calcule o valor a ser resgatado no final deste período à taxa de 4 % a.m. juros acumulados: J3 = ,04 = como M = J + P, o valor resgatado será: M = = Calcule os juros pagos numa aplicação de $ por 6 meses, à taxa de 2,5 % a.m., sob o regime de juros compostos. juros em 6 meses: J6 = [(1+ 0,025)6-1] = 798,47

12 Juros Simples X Juros Compostos Montar um quadro comparativo de um empréstimo de $ 1.000,00, à taxa de 8 % a.a., em 4 anos, considerando os regimes de juros simples e compostos: ANO PRINCIPAL JUROS MONTANTE (Início do ano) PRODUZIDOS (Final do Ano) ,00 80, , ,00 80, , ,00 80, , ,00 80, , ,00 80, , ,00 86, , ,40 93, , ,71 100, ,49 Relações de Equivalência de Capitais Baseado no que foi colocado sobre o valor do dinheiro no tempo, surge o conceito de equivalência de capitais, isto é, um total de dinheiro pode ser equivalente a um total diferente, em diferentes instantes de tempo, sob certas condições específicas, a juros compostos. (Oliveira, 1982) Considere um empréstimo de $ ,00 que deve ser resgatado ao final de 3 anos, conjuntamente aos juros acumulados, cuja taxa de juros é de 10 % ao ano: juros acumulados ao final de 3 anos, calculados pela expressão (2): J3 = [(1 + 0,10) 3-1] = como FV = J + PV, o montante no 3º ano será: M = = conclusão: $ , hoje, equivale a $ , daqui a 3 anos, à 10 % a.a Este conceito de equivalência entre capitais, a juros compostos, é particularmente importante em análise de projetos, devido ao fato das alternativas de investimento freqüentemente envolverem recebimentos e desembolsos em diferentes instantes de tempo, indistintamente denominados variações de caixa ou pagamento. As principais relações de equivalência de capitais, a juros compostos, são apresentadas a seguir. Acumulação de Capital A acumulação de um capital inicial, ou principal P, é o valor futuro, ou o montante M, resultante da aplicação deste capital a juros compostos, durante um período n e a taxa de juros i. O diagrama do fluxo de caixa desta situação é mostrado na figura abaixo e o valor acumulado de capital, nestas condições, pode ser calculado pela fórmula: Diagrama de uma Série de Acumulação de Capital FV 0 PV n-1 n

13 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Determinar o valor a ser resgatado ao final de 6 meses, considerando-se a aplicação de $10.000,00, hoje, a uma taxa de 2,5 % a.m. montante ao final de 6 meses: FV = ,93 Calcular a taxa implícita numa aplicação que produziu o montante de $ ,00, a partir de um capital de $ ,00, em 4 anos. aplicando a expressão: i = 0,0378 i = 3,78 % a.a. Valor Presente O valor presente, ou valor atual, de certa quantia numa data futura é o valor equivalente à quantia em questão na data zero, a uma taxa de juros i. Sendo assim, conclui-se ser o recíproco da situação descrita para o cálculo do valor acumulado, podendo-se utilizar a seguinte expressão para o cálculo do valor presente: Determine a quantia que deve ser investida, hoje, a fim de acumular $ ,00, em 5 anos, à uma taxa de 10 % a.a. valor atual pela fórmula: PV = ,13 Série Uniforme de Pagamentos Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num período de tempo. O somatório do valor acumulado de vários pagamentos, montante, é calculado pela expressão mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa. Este somatório é deduzido a partir da fórmula do Montante para o cálculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica limitada, de razão q = 1 + i.

14 Uma pessoa deposita anualmente $ 5.000,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 5 anos, para uma remuneração de 8 % a.a. concedida pelo banco? utilizando a expressão: FV = Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (5), pode-se obter o valor de um único pagamento ou prestação R, a partir do montante conhecido, através da seguinte expressão: Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 7,5 % a.t., para acumularmos $ ,00 em 2 anos. utilizando a fórmula com n = 8, pois em 2 anos existem 8 trimestres: PMT = {0,075 / [(1+0,075)8-1]} = 2.393,18 Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a ser pago em prestações uniformes e periódicas. Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme pelo somatório dos valores atuais de cada uma das prestações. A situação e a expressão abaixo determinam o referido valor presente. Neste caso também é utilizado o somatório dos termos de uma P.G. limitada, com razão q = 1 / (1 + i). Determine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de $200,00, sabendo-se que os juros cobrados foram de 6 % a.m. o valor atual da série de prestações uniformes é dado pela fórmula: PV = 983,46

15 Para a determinação do valor de um pagamento ou prestação R quando o principal é conhecido, calcula-se o inverso da expressão, pois existe reciprocidade. Assim, o valor de R é obtido pela seguinte fórmula: Uma pessoa adquire um freezer por $ 800,00, dando de entrada $ 300,00. Determine a prestação mensal para um financiamento do restante em 4 meses, à taxa de 5 % a.m. valor a ser financiado: P = = 500; valor da prestação-fórmula(8): PMT =141 Perpetuidade A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um dividendo anual etc. O valor presente de uma perpetuidade PV, deduzido a partir do cálculo do limite da expressão, com n tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula: PV = PMT / i Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente $1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,5 % a.m. como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (9) chega -se ao seu valor teórico: PV= / 0,015 =

16 Taxas de Juros Nominais e Efetivas Pode-se notar que em cálculos de capitalização composta as taxas de juros apresentadas são, na maioria das vezes, taxas nominais, que não correspondem às taxas realmente empregadas na operação. Por exemplo, se em certo empreendimento é proposta uma taxa de 12 % ao ano, com a capitalização dos juros acontecendo todos os meses, ou seja, 1 % ao mês, não será difícil demonstrar que a taxa anual realmente empregada é superior àquela dada inicialmente. A taxa de 12 % a.a é, portanto, denominada taxa nominal de juros, já que a capitalização dos juros é mensal e a taxa está expressa em termos anuais. Desta forma, surge uma nova taxa anual, denominada de taxa efetiva de juros, que pode ser calculada utilizando-se a seguinte expressão: Onde i, corresponde à taxa nominal de juros, em bases anuais; n é o número de períodos de capitalização contidos num ano; e ief é a taxa efetiva de juros obtida, também em bases anuais. Assim, para o exemplo acima, a taxa efetiva é 12,68% a.a. O quadro abaixo apresenta as taxas efetivas anuais de juros correspondentes à taxa de 12% a.a., com capitalização anual, semestral, trimestral, mensal, semanal e diária. Frequência de Capitalização Taxas Efetivas Anuais de Juros Correspondentes à Taxa Nominal de 12 % a.a. Períodos de Taxa Efetiva por Taxa Efetiva Anual Capitalização Período ANUAL 1 12,0000% 12,0000% SEMESTRAL 2 6,0000% 12,3600% TRIMESTRAL 4 3,0000% 12,5509% MENSAL 12 1,0000% 12,6825% SEMANAL 52 0,2308% 12,7341% DIÁRIA 365 0,0329% 12,7474% Em resumo, a taxa nominal de juros é aquela que o período de capitalização difere de seu período base. Por exemplo, uma taxa de juros de 24% ao ano com capitalização trimestral é dita nominal. Por outro lado, quando o período de capitalização coincidir com o período base da taxa de juros dada, esta taxa é dita efetiva. Assim, uma taxa de 8% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. Taxas de Juros Equivalentes As taxas de juros que conseguem levar certo principal a um mesmo montante, no regime de juros compostos, quando varia a freqüência de capitalização, são chamadas de taxas equivalentes de juros. Em outras palavras, duas ou mais taxas são equivalentes se aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzir um mesmo montante no final deste prazo, a juros compostos:

17 Onde ieq é a taxa equivalente procurada, a juros compostos; p é o número de períodos de capitalização da taxa equivalente desejada contidos num ano; e k é o número de períodos de capitalização da taxa efetiva dada contidos num ano. Determine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juros de 10% a.a., num prazo de 6 anos e com capitalização anual. como existem 4 trimestres num ano, p = 4 e k = 1: ieq = 2,41 % a.t. Este resultado pode ser confirmado substituindo-se na expressão (3) as taxas equivalentes de 10 % a.a. e de 2,41 % a.t., com capitalização trimestral, durante 6 anos. Desta forma, para qualquer principal encontrar-se-á o mesmo montante. DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO COMPOSTO OU POR FORA A = N (1 - i) n 1- Calcular o valor atual de um título de R$ ,00 descontado um ano antes do vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. SOLUÇÃO A =? N = R$20.000,00 i = 5%a.t.=0,05a.t. n = 1 ano = 4 trimestres A = N (1 - i) n = (1-0,05) 4 = , = ,13 Pela HP-12C f FIN f CHS PV 5 CHS i 4 n FV As calculadoras financeiras foram programadas para cálculo de juros compostos ou desconto racional composto. Para utilizarmos as calculadoras financeiras em desconto bancário composto é necessário observarmos os seguintes passos: - Na tecla FV é digitado o valor presente, ou seja o valor líquido recebido. - Na tecla PV digita-se o valor nominal ou valor futuro do título. - A taxa de juros deverá ser informada com sinal negativo. Troca tudo!! - Os demais títulos são normais. Com o comando FV, a calculadora fornecerá o resultado. 2- Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por R$ ,13, à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizados trimestralmente? SOLUÇÃO A = R$ ,13 N =? i = 5% a.t. n = 1 ano = 4 trimestres Pela fórmula, temos: 3- Calcular a taxa de desconto bancário composto de um título de R$ ,00, descontado 4 meses antes do vencimento, recebendo líquido o valor de R$ ,13. Resp: 5%

18 4- Um título de R$ ,00 foi descontado num banco, pelo desconto bancário composto, à taxa de 5% a.m., sendo creditada, na conta do cliente, a importância de R$ ,13. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título? Resp : 4 meses 5- Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., capitalizável mensalmente, determinou um valor de resgate de R$ ,00? Solução A = ,00 N =? i = 10% a.m. n = 3 meses N = A (1 +i) n = (1 + 0,1) 3 = , = ,40 Pela HP-12C f FIN f CHS PV 3 n 10 i FV A é armazenado em PV i não troca de sinal. É como se fosse juros compostos!!!! 6- Qual o valor de resgate de um título de R$ ,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente? Solução N = ,40 A =? i = 46,41% a.a. n = 9 meses = 3 trimestres Precisamos primeiro estabelecer a equivalência de taxas. Assim A (1 + i ) = A (1 + i ) 4... os valores futuros devem ser iguais. (1 + 0,4641) = (1 + i) i = (1,4641) 1/4 i = 1, = 0,1 a.t. Sabendo todos os dados, podemos, agora, calcular o valor que o título foi descontado antes do vencimento. A = N /(1 + i) n = ,40/(1 + 0,1) 3 = ,40/1, = ,00 f FIN f CHS PV FV 4 n i Cálculo da Taxa f FIN f ,40 CHS FV 3 n 10 i PV

19 7- Determinar o valor do desconto racional composto de um título de R$ ,40, descontado 9 meses antes do seu vencimento à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a., capitalizável trimestralmente. SOLUÇÃO N = R$16.504,40 d =? i = 46,415 a.a. n = 3 trimestres Do exercício anterior temos que a taxa efetiva é de 10% a.t.. Pela fórmula temos: d = N [1 - (1 + i )-n ] = ,40 [1 - (1 + 0,1) -3 ] = ,40 [1-0,751315]= ,40. 0, = 4.104,40 Pela HP-12C f FIN f ,40 FV 3 n 10 i PV RCL FV + Aqui a calculadora calcula o d (desconto racional composto) Sistemas de Amortização Quando se contrai um empréstimo ou se recorre a um financiamento, evidentemente, o valor recebido nesta operação, ou seja, o principal, terá que ser restituído à respectiva instituição financeira, acrescido da sua remuneração, que são os juros. As formas de devolução do principal mais juros são denominadas de Sistemas de Amortização. Os Sistemas de Amortização mais utilizados são apresentados a seguir, complementados por exemplos numéricos. (Hirschfeld, 1984) Sistema Francês de Amortização - PRICE Este sistema também é conhecido como Sistema Price e é muito utilizado em todos os setores financeiros, principalmente nas compras a prazo de bens de consumo, através do crédito direto ao consumidor. No Sistema Price, as prestações são iguais e sucessivas, onde cada prestação é composta por duas parcelas: juros e amortização do capital; cujo cálculo baseia-se numa série uniforme de pagamentos. É caracterizada pelo valor fixo das parcelas ao longo do financiamento e, via de regra, é mais onerosa para o comprador. Isso porque, nos primeiros meses, em virtude da parcela fixa, o valor a ser abatido do saldo devedor é muito pequeno: a maior parte vai para o pagamento dos juros. E como os juros incidem sobre o saldo devedor (que foi pouco reduzido), o valor total pago no fim do financiamento tende ser maior. Calcular os valores das parcelas de juros e amortizações referentes a um empréstimo de $ , pelo sistema PRICE, a uma taxa de 5 % a.m. e prazo de 5 meses. amortização igual à subtração prestação e juros: A = R - J cálculo da prestação pela fórmula: PMT = ,48

20 juros no 1º mês pela fórmula (1), sobre o saldo devedor: j = PV x n x i J1 = ,05 = ( e assim por diante) MÊS SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR , , , , , , , , , , , , , , , , ,48 5 0, , , ,48 Sistema de Amortização Constante - SAC Este sistema é muito utilizado em financiamentos internacionais de bancos de desenvolvimento e no sistema financeiro de habitação brasileiro, bem como em financiamentos de longos prazos. As prestações do Sistema SAC são sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, cujo valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra de amortização constante do capital. O Sistema de Amortização Constante é o mais adequado para financiamentos imobiliários, pois a tendência é que o valor das prestações e o saldo devedor diminuam, se mantidos os atuais níveis de atualização monetária. O comprador, no entanto, deve ter maior fôlego financeiro para arcar com parcelas mais altas no início dos pagamentos. Calcular os valores das parcelas de juros e amortizações referentes a um empréstimo de $ , pelo sistema SAC, a uma taxa de 5 % a.m. e prazo de 5 meses. prestação igual à soma da amortização e juros: PMT = PV + J cálculo da amortização constante: PMT = / 5 = juros no 1º mês pela fórmula, sobre o saldo devedor: j = PV x n x i J1 = ,05 = ( e assim por diante) MÊS SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 5 0, , , ,00

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