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1 ECONOMIA Profa. Juliane Ganem Site: julianematematica.webnode.com

2 1. Introdução: O valor do dinheiro no tempo 1.1 O valor do dinheiro no tempo A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa, verificados em diferentes momentos. Sabemos, intuitivamente, que é melhor termos uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa.

3 1.2 Definição de juros e de taxa de juros Juro representa a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode ser definido, ainda, como o custo pelo uso do dinheiro. Taxa de juro é a relação entre o juro recebido ou pago ao final de certo período de tempo de tempo (prazo) e o capital inicialmente aplicado, sendo definido como segue. I = J/C (equação 1) Onde: I é a taxa de juro, J o valor do juro pago e C o capital inicial. Observe que a taxa de juro deve ser, sempre, expressa numa unidade de tempo, 20% a.a., 15% a.t., etc.

4 1.3 Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconomico, as taxas de juros Alguns fatores influenciam a formação da taxa de juros: Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas administrativas); Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido; Taxa de risco (inadiplencia) que é calculada pela relação entre volume de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos; Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da Moeda; Impostos.

5 2. Critério de capitalização de juros: 2.1 Critérios de capitalização Os critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e incorporados sucessivamente ao capital ao longo do tempo. Podem ser identificados dois regimes de capitalização de juros: simples (linear) e composto (exponencial).

6 2.2 Regime de capitalização simples O regime de capitalização simples os juros cresce linearmente ao longo do tempo. Por este critério, os juros só incidem sobre o capital inicial (principal). Admita-se um depósito de R$1.000 remunerados a uma taxa de 10% a.a. Os juros apurados ao longo de 5 anos, os juros acumulados e os montantes (capital inicial +juros) estão demonstrados no quadro 1: Ano Juros apurados Juros acumulados Montante em cada ano ano no ano início 1o. Ano fim 1o. Ano fim 2o. Ano fim 3o. Ano fim 4o. Ano fim 5o. Ano Quadro 1: Juros apurados com capitalização simples

7 2.3 Regime de capitalização composta No regime de capitalização composta são incorporados ao capital, não apenas os juros referentes a cada período, mas também os juros incidentes sobre os juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce, exponencialmente, em função do tempo. O conceito de montante aqui, é o mesmo da capitalização simples. Considere-se os mesmo R$ 1000,00 de capital inicial e a mesma taxa de juros de 10% a.a. adotados no exemplo anterior. O cálculo dos juros acumulados e do montante são ilustrados no quadro 2: Ano Juros apurados Juros acumulados Montante em cada ano ano no ano início 1o. Ano fim 1o. Ano fim 2o. Ano 110, fim 3o. Ano 121, fim 4o. Ano 133,10 464,1 1464,1 fim 5o. Ano 146,41 610, ,51 Quadro 2: Juros apurados com capitalização composta

8 As diferenças entre a capitalização simples e a composta: Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%) i=10% Montante Montante Diferença Ano Juros simples Juros compostos início 1o. Ano fim 1o. Ano fim 2o. Ano fim 3o. Ano fim 4o. Ano ,1 64,1 fim 5o. Ano ,51 110,51 Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta i=20% Montante Montante Diferença Ano Juros simples Juros compostos início 1o. Ano fim 1o. Ano fim 2o. Ano fim 3o. Ano fim 4o. Ano ,6 273,6 fim 5o. Ano ,32 488,32

9 Num regime de capitalização composta, o montante cresce exponencialmente com a taxa de juros... Fig. 2.1: Capitalização simples e composta line a r 5% i = 5% i = 10% i = 20% i = 30% Número de períodos

10 2.4 Capitalização simples Cálculos dos juros O valor dos juros num regime de capitalização simples é dado pela expressão: J = P i n onde: J = valor do Juro em valores monetários, P = valor do capital inicial ou principal, e n = prazo ou número de períodos. Exemplo: (equação 2) 1. Qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$1.000,00 pelo prazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5,0% a.m, no regime de juros simples. Solução: J = P x i x n, substituindo os valores númericos, teremos, J = R$ x 0,05 x 4 J = R$ 200,00.

11 2.4.2 Montante e valor atual O montante ou valor futuro, indicado por M, representa a soma do principal e dos juros referentes ao período de aplicação: M = P + J (equação 3) Exemplo: Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$7.500,00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se calcular o prazo de aplicação. P = 7500,00 J = 6.000,00 i = 8% a.t. n = a ser calculado Solução : j = P. i. n j n = P. i 6000 n = ,08 n = 10 trimestres

12 Exercícios - Juros Simples 1. Determinar quanto renderá um capital de R$ ,00 aplicado a taxa de 24% ao ano, durante 7 meses. R: R$ 8.400,00. 2.Um capital de R$ ,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ Determinar a taxa anual. R: 60 %. 3.Durante 155 dias certo capital gerou um montante de R$ Sabendo-se que a taxa de juros é de 4 % ao mês, deteminar o valor do capital aplicado. R: R$ ,42.

13 Juros Simples continuação 4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ ,00, resultante da aplicação de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses. R: R$ ,48 5. Qual o valor a ser pago, no fim de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ ,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre. R: R$ ,00.

14 2.5 Capitalização composta Cálculos dos juros num regime de capitalização composta Consideremos, num regime de capitalização composta: um principal P, ou valor presente, uma taxa de juros, i, e um montante F, também chamado de valor futuro, a ser capitalizado e um prazo n. No fim do 1 o. período, o montante S será igual a: E, assim, ao término do n-ésimo período o montante F, será dado por: F = P (1 + i) n (equação 4)

15 2.5.1 Cálculo do valor futuro F, dados, P, i e n Assim, dada a equação (4) podemos resolver problemas do seguinte tipo: (...) conhecido o valor do principal P, ou valor presente, a taxa de juros i e o número de períodos n a ser capitalizado, podemos calcular o Montante F, ou valor futuro, como mostrado no fluxo de caixa abaixo: Fig. 2.2: Fluxo de caixa da situação: Dados P, i e n calcular S. F = P n

16 Exemplo: Quanto renderá em 6 meses, um capital de R$ 2000,00, aplicado a uma taxa de juros de 5% a.m. Aplicando a equação (4): F=R$ 2000 (1 + 0,05) 6 F=R$ 2000 x 1,3400 F= R$ 2.680,00

17 2.5.2 Cálculo do valor presente P, conhecido o valor futuro F Apartir da equação (4) podemos deduzir que: 1 P 1 = F (1 + i) (equação 5) O fator n (1 + i) é denominado Fator de Atualização de Capital e é igualmente tabelado para uma determinada taxa de juros i e um determinado número de períodos n. Assim, dada a equação (5) podemos resolver problemas do seguinte tipo: (...) conhecido o valor F, ou valor futuro, a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização n, podemos calcular o valor P, ou valor presente, como mostrado no fluxo de caixa abaixo: n Fig. 2.3: Fluxo de caixa da situação: Dados S, i e n calcular P P = n F

18 Exemplo: Quanto deverei aplicar hoje, num regime de capitalização composta, para obter, a uma taxa de 2% a.m., em 18 meses, a quantia de R$ 5.000,00. Solução: aplicando a fórmula (5), P P P P P = 1 F (1 + i) n = 5000 (1 + = = = 5000 (1,02) , ,78 1 0,02) 18

19 Exercícios - Juros composto 1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. em um regime de juros compostos, a partir de um principal de R$ ,00. R: $ ,00 2. Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de R$ ,00, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a.s. em um regime de juros compostos. R: $ ,64 3. Um cidadão investiu $ nesta data, para receber $ ,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento, em um regime de juros compostos. R: $ 3,0% a.m.

20 Juros composto continuação: 4. Quanto se terá daqui a 26 trimestres ao se aplicar $ ,00 nesta data, a uma taxa de 2,75% a.m. no regime de juros compostos. R: $ ,86 5. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a.m., de forma que possa retirar R$ ,00 no final do 6º.mes e R$20.000,00 no final do décimo segundo mes. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados. R: $ ,00 6. Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3,0% a.m. R: 37,1 meses 7. Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400,00 num prazo de 14 meses. R: 5,076% a.m.

21 3. Conversões de taxas de juros: 3.1 Equivalencia de taxas de juros com capitalização composta Uma condição para a equivalencia de taxas de juros é que estas taxas, aplicadas sobre um mesmo principal, ou capital inicial, produzam o mesmo montante, ao final de um certo prazo n. Se uma certa taxa mensal i m é equivalente a uma certa taxa anual i a, então: P (1 + i m ) 12 = P (1 + i a ) (equação 6) Dividindo a equação (6) por P: (1 + i m ) 12 = (1 + i a ) (equação 7) Transformando a equação 7: ( 1+ i 12 m ) = (1 + ia ) ou: (equação 8) i 12 (1 + ) m i 1 = a Exemplo: Calcular a taxa de juro mensal, equivalente a uma taxa de 20% a.a. Aplicando a equação (8) obtemos: i = 12 (1 + 0,2) 1 ; = 12 (1,2) 1 = 1, => 1,531% a.m. m i m

22 3. Conversões de taxas de juros: 3.2 Fórmulas para conversão de taxas de juros equivalentes Existem duas situações básicas para a conversão de taxas de juros: a) Conversão de uma taxa de período de tempo menor para uma taxa de período de tempo maior: Taxa semestral em taxa anual, taxa mensal em taxa anual, etc. Neste caso vamos aplicar a seguinte fórmula: i e = (1 + i q ) n - 1 (equação 9) onde: i e = taxa equivalente; i q = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor. Exemplo: converter uma taxa de 4% a.t. em taxa anual. I e = (1 + 0,04) 4-1= 0,16985 => i e = 16,98% a.a. Neste caso n = 4, uma vez que um ano contém 4 trimestres. b) Conversão de uma taxa de período de tempo maior para uma taxa de período de tempo menor: taxa anual em taxa trimestral, taxa semestral em taxa mensal, etc.

23 3. Conversões de taxas de juros: Vamos, neste caso aplicar a seguinte fórmula: i = n ( 1+ i ) 1 e q onde: i e = taxa equivalente; i q = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor. Exemplo: Converter uma taxa de 40% a.a. em taxa quadrimestral. i e = 3 (1,4) 1 i e = 3 (1 + 0,4) 1 => 11,87% a.q.

24 Exercício- Conversões de taxas de juros: Calcular a taxa equivalente mensal de uma taxa de: 1). 100% a.a.; 2). 82% a.a.; 3). 28% a.s.; 4). 28% a.a.; 5). 28% a.a. ; 6). 32% a.t.

25 Exercícios - Conversões de taxas de juros 7. Determinar o montante no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ ,00 a taxa de 3,75% a.m. R: $ ,39 8. Uma pessoa empresta $ ,00 hoje para receber R$ ,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. R: 8% a.m. ou 151,817% a.a. 9. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma institução finaceira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ ,00 será resgatado por R$ ,23. R: 5 trimestres ou (15 meses).

26 Conversões de taxas de juros: continuação 10. Quanto devo aplicar hoje, a taxa de 51,107% a.a. para ter R$ ,00 no final de 19 meses. R: R$ , Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 a taxa de 3.25% a.m., gera um resgate de R$ ,00 R: 9 meses.

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