3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente

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1 Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº10 Prof. Daniel Szente Assunto: Função exponencial e logarítmica 1. Potenciação e suas propriedades Definição: Potenciação é a operação de multiplicar um número diversas vezes. Exemplos: 2³ ¹ 7 Para treinar: 5³ 9² 8².8³ 2 0 Nomenclaturas: Temos alguns nomes específicos em uma potenciação b a Propriedades: a) Expoente igual a 1 : Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número ¹ 225 ¹ 1

2 b) Expoente igual 0: Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1 7 = = 1 = 1 c) Expoente negativo: Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente 3 = ² 5 7 = 7 5 6,6 = 1 6,6 d) Multiplicação de potências de mesma base: A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes 2².2³ = 2 = =5 4³.4 =4¹ = e) Divisão de potências de mesma base: Divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes 3² 3¹ = 3 = 3¹ 4 4 = 4 9³ 9 = 9 7 " 7 # = 7 2

3 f) Potência de um produto: Potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em questão: $ &' & $3 5 7' =3 5 7 g) Potência de um quociente: Podemos proceder de forma análoga ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser iguais a zero: $ &' = & & 0 $2 4 5' =2 4 5 h) Potência com expoente fracionário: Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical: + =, 0 6. "= -6 i) Potência de uma raiz: Ao elevarmos um radical a uma dada potência, estaremos obtendo o mesmo resultado que obteríamos se elevássemos apenas o seu radicando a esta mesma potência: + / 0 + = 0 ;, 0 3 / 20 3 = -2 j) Potência de uma potência: Novamente para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade: $ ' = $2 ' =2 =2 Atenção: Observe a diferença entre os casos abaixo e não cometa erros! $2 ' =2 =2 2 3 =2 # 3

4 2. Função Exponencial Definição: É uma função que possui como variável o expoente de uma potência. Note que essa função só possui imagem positiva. Exemplos: 5$6' 2 7 8$9' 7 2 ;$6' 5 7 < 4 =$>' 203.4? Exemplos de sala 1. (Enem 2011) - Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: Investimento A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades: Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá: a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. 4

5 2. (Enem 2009) - A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. Suponha que o modelo 363.A,7, em que 6 0 corresponde ao ano 2000, 6 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e é a população em milhões de habitantes no ano 6, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando A, 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. 5

6 1. Conceitos básicos de logaritmos Definição: Podemos entender os logaritmos como sendo a operação inversa da exponenciação. PARA PENSAR: Utilizando-se das propriedades de exponenciação e da definição acima, calcule: A o 3 = BC; 9= e Nomenclatura: Assim como na exponenciação, há nomes específicos para os elementos: BC; D &6 O logaritmo de & na base é o expoente que devemos atribuir ao número para obter &. Dessa forma: PARA TREINAR: Calcule os seguintes logaritmos usando a propriedade fundamental BC; 27 = BC; 81 = BC; 2 = 1 BC; E 4 = BC; 7 6 = BC; 1 = Propriedades: Sendo a propriedade inversa da exponenciação, os logaritmos também contam com uma série de propriedades específicas. Vejamos as principais delas: log I b=1 Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1. log I =0 Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0. 6

7 log I Ka M M N 4log Ia EXEMPLO: Resolva pela propriedade anterior e pela propriedade fundamental: BC; Função Logarítmica DefiniBasicamente é uma função com logaritmos em que os logatimandos são incógnitas. Exemplos: 5$6' O2.BC;2 5$6' 38.BC; $6' ;$6' 2.BC; " $6' < 36 Exemplos de sala 1. Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? Dados: BC;20,3 e BC;1,030, (UERGS 2005) - A função definida por 5$6' log $&6' está representada no gráfico abaixo. Com base nas informações acima, podese afirmar que o valor de b é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 7

8 Exercícios de Casa 1. Calcule o valor de Y para os seguintes casos: a' P 599 b) P = 7,3 c) P = 435 d) P = $ 76' e' P = 7 f' P = 4 g) P = 12 = Calcule o valor de Y para os seguintes casos: a' P = 5 5 b) P = c) P = $2 6 3' d) P = $2 ' e' P = 4 4 f' P = $2 5 7' g) P = $6 3' S T h) P=2 T S 16 U S 3. Calcule o valor de Y para os seguintes casos: a' P = BC; 4 b' P = BC; 1 c' P = BC; $4 8' d' P = BC; $25/5' e' P = BC; $27 ' f' P = BC; 16 Y T g' P = BC; 5 h' P = BC; " 70 i' P = BC; 243 j' P = BC; $16/4' k' P = BC; $49 ' l' P = BC; $256 / ' 4. Calcule o valor de Y para os seguintes casos, usando a propriedade fundamental: a' log 9 Y = 2 c' log 2 Y = 10 b' log 7 Y = 3 d' log 30 Y = 0 5. Calcule Y: P= BC; 625+BC;100 BC; O número real x, tal que log 7 = é igual a: a) # b) c) d) e) # 7. O número de bactérias de uma cultura é dado pela seguinte função, com t em horas: _$>' = ,? Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá bactérias? 8

9 RESPOSTAS EXERCÍCIO 1 A)599 B)7,3 C)1 D)1 E)1/7 F)1/16 G)1 H)625 RESPOSTAS EXERCÍCIO 2 A)5 8 B)1 C)1/729 D) 2 12 E) 4 3 F) 4900 G) 2. 2 H)4 RESPOSTAS EXERCÍCIO 3 A)2 B)0 C)5 D)1 E)15 F)10 G)Não existe H)1 I) 5 J) 2 K) 42 L) 1/4 RESPOSTAS EXERCÍCIO 4 A)81 B)343 C)1024 D)1 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 5,6,7 5)3 6)A 7) A cultura terá bactérias após 10h 9

10 1. Definições de Ângulos: Raciocínio Lógico Assunto: Ângulos Definição: Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. Os ângulos podem ser aferidos em graus ou radianos: GRAUS: Um grau é definido como 1/180 do ângulo formado entre duas semi retas opostas. RADIANOS: Dada uma circunferência de raio r, definimos como 1 radiano o ângulo formado que define um arco de comprimento igual ao raio da circunferência de raio r Para os ângulos em graus e radianos, é válida a seguinte relação: 180 π rad E para realizarmos as conversões, fazemos uma simples regra de três Converter 45 graus em radianos: 180 OOOOOOdef 45 OOOOOO g ef g d E 4 ef Converter d E 6 radianos em graus: 180 OOOOOOdef g OOOOOO d E 6 ef g30 2. Estudo dos Ângulos: Muitas aplicações da geometria consistem em identificar ângulos que em sua maioria são ângulos retos (que formam 90 ou π E 2 rad) ou ângulos rasos (aqueles que formam 180 ou π rad). É importante ter em mente que dois ângulos geralmente se complementam formando ângulos retos ou rasos. Se dois ângulos se complementam formando um ângulo reto, são chamados de complementares, se eles se complentam segundo um ângulo raso, são chamados de suplementares. 10

11 Exercícios de casa 1. Converta os seguintes ângulos de graus para radianos: a) 75º b) 105º c) 300º d) 480º e) 25º 2. Converta os seguintes ângulos de radianos para graus: a) 8d b) d/3 c) 2d d) 5d/2 e) 11d/6 3. Determine o valor de x nos seguintes casos: a) b) c) d) 4. Determine o valor de X e de Y: 11