RQ Edição Fevereiro 2014

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1 RQ Edição Fevereiro Um noivo foi postar os convites de casamento nos Correios. Durante a pesagem das cartas, percebeu que todas tinham 0,045 kg, exceto uma, de 0,105 kg. Em um primeiro instante, ele estranhou essa diferença, mas logo lembrou que um dos envelopes continha três convites, endereçados para três amigos que moravam juntos, enquanto todos os outros envelopes continham apenas um convite. Sabendo que não havia diferença de peso entre os convites ou entre os envelopes, determine qual era o peso, em quilogramas, de cada envelope (A) 0,015 (D) 0,030 (B) 0,020 (E) 0,035 (C) 0,025 Sejam, e... peso de 1 envelope q... peso de 1 convite p 1 = 0,045 kg... peso de 1 envelope com 1 convite p 2 = 0,105 kg... peso de 1 envelope com 3 convites Então, 0,045 = e + q 0,105 = e + 3q 0,105 0,045 = 2q 2q = 0,060 q = 0,030 kg e e = 0,045 0,030 = 0,015 kg Resposta Opção (A) 19. Sabendo que a transposta de uma matriz M é a matriz M T cuja j-ésima coluna é a j-ésima linha de M, analise as seguintes afirmativas sobre a matriz A =

2 I. O determinante de A é zero T II. A transposta de A é a matriz A = III. A inversa de A é a matriz A = É verdadeiro o que se afirma. (A) apenas em I. (B) apenas em II. (C) apenas em I e II. (D) apenas em I e III. (E) apenas em II e III. I. Aplicando a Regra de Sarrus para cálculo do determinante da matriz A tem-se: det A = ( ) ( ) = Logo, (I) não é verdadeiro II. A trasposta de uma matriz A = (a ij ) de ordem n é dada por A T = (a ji ) i, j = 1, 2,..., n. Portanto: Logo, (II) é verdadeira T A = III. A matriz A -1 é a inversa de uma matriz A quando A.A -1 = I. Portanto, 2

3 A.A x1+0x0+0x0 1x0+0x0+0x0 1x0+0x(-1)+0x0 = 0x1+0x0+1x0 0x0+0x0+1x1 0x0+(-1)x0+1x0 0x1+(-1)x0+0x0 0x0+(-1)x0+0x1 0x0+(-1)x(-1)+0x = = I Logo, (III) é verdadeira Resposta Opção (E) 20. Sabrina, Paula e Michel estão enrolando brigadeiros para uma festa infantil. Sabendo que eles enrolam um brigadeiro em, respectivamente, 15, 20 e 30 segundos, em quantos minutos os três juntos enrolarão 180 brigadeiros? (A) 10 (D) 25. (B) 15. (E) 30. (C) 20. Produtividades Sabrina... T S = 1/15 brigadeiros/segundo Paula... T P = 1/20 brigadeiros/segundo Michel... T M = 1/30 brigadeiros/segundo Produtividade Conjunta: T = T S + T P + T M = 1/15 + 1/20 + 1/30 = 45/300 brigadeiros/segundo Para N = 180 brigadeiros o tempo será de: t = N/T = 180/(45/300) = = (300x4)/60 = 20 minutos Resposta Opção (C) 3

4 21. Sejam x o valor, em reais, que uma empresa gasta anualmente em mão de obra e y o valor que investe anualmente em tecnologia. A produção anual dessa empresa é dada por P = x.y, em que e são constantes reais positivas satisfazendo + = 1. Sabendo que a empresa dobrou a produção ao reduzir os gastos com mão de obra pela metade e quadruplicou o investimento em tecnologia, determine o valor da constante. (A) 1/4 (D) 2/3 (B) 1/3 (E) 3/4 (C) 1/2 REVISÃO: Função de Produção de Cobb-Douglas Utilizada em economia para representar a relação tecnológica entre dois ou mais fatores de produção. Por exemplo: trabalho e capital e sua relação com a produção. Quando apenas dois fatores de produção, trabalho e capital, estão envolvidos tem-se: P =.X.Y Onde: X... quantidade de homens-hora trabalhando em um ano Y... valor dos equipamentos e demais instalações utilizadas na produção... fator total de produtividade e... são as elasticidades para o trabalho e o capital respectivamente Na hipótese de competição perfeita, + = 1, ou seja, os retornos de escala são constantes. Se + < 1, os retornos de escala são decrescentes. Caso + > 1, os retornos de escala são crescentes. Ora, no caso presente P =X.Y é, + = 1. Portanto: com hipótese de competição perfeita, isto 4

5 α α X β α β 2P= 4Y e P = X Y com α + β = 1 2 Logo, α β 1 - α -α 2-2α 2-3α = 4 = = 2-3 = 1/ Resposta Opção (B) 22. Em um jogo de computador, o personagem controlado pelo jogador pode recolher moedas ou esmeraldas ao longo do caminho. Entretanto, sempre que recolhe uma esmeralda, ele necessariamente deixa de recolher cinco moedas. Sabendo que, ao longo do caminho, existem moedas e esmeraldas e que a pontuação do jogo é o número de moedas recolhidas vezes o número de esmeraldas recolhidas, qual é a pontuação máxima que um jogador pode fazer? (A) 500 (D) (B) (E) (C) Sejam, E... número de esmeraldas recolhidas P(E)... pontuação obtida em função do número de esmeraldas recolhidas P(E) = E( E) = 5.000E 5E 2, 0 E Trata-se de um polinômio do segundo grau cujo valor máximo ( a < 0 ) é atingido em: 2 6 * Δ (b 4ac) 25x10 P(E ) = - = - = - = a 4a -20 * b Apenas para completar o problema: E = - = - = 500 esmeraldas 2a 2x(-5) Portanto, serão moedas Resposta Opção (E) 5

6 23. A média de tempo dos oito corredores de uma prova de 100 m rasos foi de 11 segundos e 20 centésimos. Após a realização de exames antidoping, apenas o atleta que havia chegado em primeiro lugar foi desclassificado e a média de tempo entre os corredores restantes subiu para 11 segundos e 40 centésimos. Determine qual foi o tempo, em segundos, do atleta acusado de doping. (A) 9,8 (D) 10,4 (B) 10,0 (E) 10,6 (C) 10,2 Soma dos tempos dos 8 corredores = 8x(11,2) = 89,6 segundos Soma dos tempos dos corredores classificados = 7x(11,4) = 79,8 segundos Logo, o tempo do corredor acusado de doping será igual a: 89,6 79,8 = 9.8 segundos Resposta Opção (A) 24. Considere as seguintes informações sobre os funcionários de uma empresa: I. O número de estrangeiros é igual ao de mulheres. II. O número de homens brasileiros é igual ao de mulheres estrangeiras. III. No local, a empresa tem 50 funcionários, considerando tanto homens quanto mulheres. Quantas mulheres trabalham nessa empresa? (A) 5. (D) 20. (B) 10. (E) 25. (C) 15. 6

7 E... número de estrangeiros H... número total de homens H B... número de homens brasileiros H E... número de homens estrangeiros M... número total de mulheres M B... número de mulheres brasileiras M E... número de mulheres estrangeiras Então, M = E (01) M + H = 50 (02) H B = M E (03) Logo, H B + H E = M E + H E = M H = M = 25 H E Resposta Opção (E) 25. Determine qual é o perímetro, em centímetros, de um retângula cuja área é igual a 12 cm 2 e cuja diagonal tem 5 cm de comprimento. (A) 7 (D) 14. (B) 8. (E) 16. (C) 10. S = x.y = 12 (01) P = 2(x + y) (02) x 2 + y 2 = 25 (03) Elevando a equação (02) ao quadrado tem-se: P 2 = 4(x + y) 2 = 4(x 2 + y 2 + 2xy) Substituindo as equações (01) e (03) nessa última: P 2 = 4(x 2 + y 2 + 2x12) = 4( ) = 4x49 = 196 P = 14 cm Resposta Opção (D) 7

8 26. A média das alturas dos irmãos João, Carlos e André é igual a 190 cm, que, por coincidência, equivalem à altura de André. Sabendo que o desvio padrão das três alturas é igual a 6, determine qual é a diferença, em centímetros, entre as alturas de João e Carlos. (A) 2. (D) 8. (B) 4. (E) 10. (C) 6. João ---- altura x 1 Carlos ---- altura x 2 André ---- altura 190 Logo, x 1 + x = 3x190 x 1 + x 2 = 380 (01) (x 1-190) 2 + (x 2 190) 2 = 3x6 = 18 (02) Substituindo x 2 = 380 x 1 na equação (02) tem-se: (x 1-190) 2 + (190 x 1 ) 2 = 18 2A 2 = 18 A 2 = 9 A = 3 A - A Logo, x = 3 x 1 = 187 e x 2 = = 193 Assim, x 2 - x 1 = = Resposta Opção (C) 27. Uma empresa de produtos nutritivos adota o sistema de marketing multinível, em que parte do lucro advém do recrutamento de novos vendedores. Esses vendedores são classificados por níveis: o de nível N recruta o de nível N + 1 e o único vendedor de nível zero é o dono da empresa. Sabendo que cada vendedor só pode recrutar dois vendedores e que atualmente existem 715 vendedores, quantos níveis, no mínimo, possui a empresa? 8

9 (A) 7. (D) 10. (B) 8. (E) 11. (C) 9. Nível Vendedores (Máximo) O valor do número de vendedores (no limite máximo) será igual a soma dos termos de uma Progressão Geométrica de razão q = 2 e o primeiro de N+1 termos igual a 1. Portanto, N N N+1 > 9 o valor mínimo será igual a Se 2 1 3x = 3, então x é igual a Resposta Opção (D) 1 - log32 2 (A) (D) log log2 3 3 (B) (E) log3 3 2 log3 (C) (2) x = 3, tomando o log 2 da expressão tem-se: log x = log 2 3 (1 3x)log 2 2 = log x = log 2 3 3x = 1 log 2 3 x = (1 log 2 3)/3 = 1/3(1 log 2 3) = 1/3(log 2 2 log 2 3) = 1/3(log 2 2/3) = log 2 (2 1/3 /3 1/3 2 ) = log Resposta Opção (D) 9

10 29. Um homem de dois metros de altura está se afastando de um poste de luz de três metros de altura. Determine a que distância o homem deve estar do poste para que o comprimento de sua sombra seja de exatamente oito metros. (A) 4 m (B) 6 m (C) 8 m (D) 10 m (E) 12 m Poste 3m Homem 2m d sombra 8 m d = d = 12-8 = metros Resposta Opção (A) 30. Manuel acerta uma vez o alvo a cada cinco tiros. Se ele dispara três tiros, a probabilidade de acertar o alvo, pelo menos uma vez, é de (A) 64/125 (D) 48/125 (B) 61/125 (E) 21/125 (C) 49/125 p = 1/5... probabilidade de um acerto 10

11 A... acertar pelo menos 1 de três disparos A... não acertar qualquer dos três disparos P{A} = 1 - P{A} = 1 - = 1 - = Resposta Opção (B) 31. A sequencia de números positivos (x, y, u, v) forma uma progressão geométrica de razão 1/q. O valor da expressão log q (v) - log q (x) (A) depende de q. (B) depende de x. (C) é (D) é 3. (E) é - 3. (x, y, u, v) estão em Progressão Geométrica de razão 1/q. Busca da relação entre x e v y = x/q e u = y/q = x/q 2 Logo, v = u/q = x/q 3 Então, tomando o logaritmo na base q dessa expressão tem-se: log q v = log q x - 3log q q log q v = log q x - 3 log q v - log q x = Resposta Opção (E) 32. Em uma rede de supermercados, no mês de dezembro, 30% dos funcionários eram do sexo feminino e, destes, 40% haviam cumprido horas extras. Sabendo que 40% dos funcionários do sexo masculino não 11

12 cumpriram horas extras e que, ao todo, 575 funcionários não cumpriram horas extras, então o total de funcionários dessa rede de supermercados no referido mês, corresponde a um valor (A) menor que (B) entre 1131 a (C) entre 1181 a (D) entre 1231 a (E) maior que Sejam, H... número de homens M... número de mulher H E... homens que não cumpriram horas-extras M E... mulheres que não cumpriram horas-extras M = 0,30(M + H) M = 3/7H (01) M E (0,60)(0,30)(H + M) (02) HE 0,40H (03) HE ME 575 (04) Substituindo (02) e (03) em (04): 0,58H + 0,18M = 575 (05) Substituindo agora (01) em (05): 0,58H + (0,18(3/7)H 4,6H = 575x7 H = 875 e M = 3x(875/7) = 375 Logo, H + M = ( ) = Resposta Opção (D) 12

13 33. Considere a seguinte figura plana, em que ABC é um triângulo isósceles, BCDE é um retângulo e ACDFGH, um hexágono irregular Sabendo que,, e são medidas dos ângulos indicados, a média aritmética desses ângulos é igual a (A) 115 o (B) 120 o (C) 125 o (D) 130 o (E) 135 o Como o triângulo ACB é isósceles, então = 180 2x30 = 120 o Portanto, = 360 ( ) = 150 o Assim, = 360 ( ) = 120 o Resta calcular o ângulo. A soma dos ângulos internos de um polígono irregular de n lados é dado por S = 180(n - 2). Como ACDFGH é um polígono de n = 6 lados, então S = 180(6 2) = 180x4 = 720 o. Logo, = = 720 = 110 o Então, α + β + θ = = o 13

14 ----- Resposta Opção (C) 34. Foi concedido um empréstimo a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, a ser reembolsado em seis anos de acordo com o sistema de amortização constante (SAC). Qual dos gráficos abaixo melhor representa o valor que deve ser pago em cada ano? i = 10% a.a. n = 6 anos 14

15 C 0... valor concedido do empréstimo A... amortização constante C0 C0 A = = n 6 P k... pagamento ao final do anos k = 1,2,3,4,5,6 Sequencia de Pagamentos P 1 = A + 0,10C 0 P 2 = A + [C 0 A](0,10) = (0,10)C 0 + 0,90A P 3 = A + [C 0-2A](0,10) = (0,10)C 0 + 0,80A P 4 = A + [C 0 3A](0,10) = (0,10)C 0 + 0,70A P 5 = A + [C 0 4A](0,10) = (0,10)C 0 + 0,60A P 6 = A + [C 0 4A](0,10) = (0,10)C 0 + 0,50A Portanto, P k = A + [C 0 (k-1)a](0,10) = = (0,10)C 0 + A (k 1)(0,10)A, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Trata-se da equação de uma reta com coeficiente angular negativo. P k Ano k Resposta Opção (C) 15

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