UNIVERSIDADE DOS AÇORES Cursos de Sociologia e de Serviço Social Estatística I 1º Semestre 2006/2007

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1 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Cursos de Sociologia e de Serviço Social Estatística I 1º Semestre 2006/2007 Ficha de Exercícios nº 5 Distribuições Importantes 1. A probabilidade de os doentes de uma determinada doença recuperarem é de 0.4 (40%). Se 15 pessoas têm a mesma doença, determine a probabilidade de: 1.1. Sobreviverem pelo menos 10 pessoas Sobreviverem entre 3 e 8 pessoas Sobreviverem exactamente 5 pessoas. 2. Um casal pretende ter seis filhos. Admitindo que é igualmente provável nascer um rapaz ou uma rapariga, determine a probabilidade do casal ter: 2.1. Três rapazes e três raparigas Mais raparigas do que rapazes. 3. Um vendedor de seguros vende apólices a 5 homens todos da mesma idade e de boa saúde. De acordo com as tabelas da seguradora, a probabilidade de um homem dessa idade estar vivo daqui a 30 anos é 2/3. Determine a probabilidade de estarem vivos daqui a 30 anos: 3.1. Os cinco homens Pelo menos três. 4. Um autocarro está parado durante 10 minutos cada vez que chega ao ponto de partida. Cada viagem de ida e volta dura 40 minutos Qual a probabilidade de um indivíduo que não conhece o horário chegar à paragem e tomar de imediato o autocarro? 4.2. Se o passageiro utilizar habitualmente este autocarro, qual a probabilidade de em 5 dias da semana encontrá-lo, se em cada dia utiliza-o só uma vez? 5. Numa urna existem bolas verdes e brancas. Fazem-se oito extracções com reposição. Sabe-se que a probabilidade de saírem quatro bolas verdes é dupla da de saírem três bolas verdes. Determine a probabilidade de sair uma bola branca. Áurea Sousa /Deptº. Matemática U.A. 1

2 6. Uma fábrica produz dez recipientes de vidro por dia. Supõe-se que existe uma probabilidade constante p=0.1 de que apareça um recipiente defeituoso. Após a sua produção, os recipientes são inspeccionados e os defeituosos separados. Admita que existe uma probabilidade constante r=0.1 de que um recipiente defeituoso seja mal classificado. Seja o número de recipientes classificados como defeituosos ao fim de um dia de produção. Admita que todos os recipientes fabricados num dia são inspeccionados nesse dia. Determine P ( = 3) e ( > 3) 7. Uma urna contém vinte bolas, das quais cinco são brancas. Quatro bolas são extraídas ao acaso da urna. Seja o número de bolas brancas encontradas na amostra. Defina a função de probabilidade para a v.a. nas seguintes condições: 7.1. A extracção das bolas é feita com reposição A extracção das bolas é feita sem reposição. 8. Suponhamos que uma urna contém 1000 bolas, das quais 400 são brancas. Retiram-se 4 bolas ao acaso. Determine a probabilidade da amostra só ter bolas brancas. 9. Numa fábrica de têxteis existem numerosos teares do mesmo tipo. Depois de muitas observações, chegou-se à conclusão de que avariam em média 3 teares por mês. Admita que há independência entre as avarias. Determine a probabilidade de que durante um mês avariem 7 teares. 10. Sabendo que p=0.001 é a probabilidade de uma peça produzida por uma certa máquina ser defeituosa, qual a probabilidade de num lote de 1000 peças haver pelo menos uma defeituosa? 11. Entre as 14 e as 16 horas, o número médio de chamadas telefónicas por minuto numa empresa é 2.5. Considere, o número de chamadas telefónicas por minuto, como uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro λ. Determine a probabilidade de durante um minuto haver quando muito quatro chamadas. 12. Admita que 300 erros de impressão estão distribuídos aleatoriamente em 500 páginas de um livro. Áurea Sousa /Deptº. Matemática U.A. 2

3 12.1. Determine a probabilidade de uma página conter exactamente dois erros Determine a probabilidade de cinco páginas conterem menos do que seis erros. 13. Um estudo aprofundado sobre o tráfico de uma ponte, com seis faixas de rodagem, revelou que o número de veículos que passa em cada faixa de rodagem por minuto nos dias úteis entre as 20 h e as 7 h é bem descrito por uma distribuição de Poisson de média dois. Com base nos dados deste estudo, diga qual a probabilidade de num minuto aleatoriamente seleccionado do período entre as 21 h e as 23 h de um dia útil, terem passado no máximo dois veículos numa faixa de rodagem da ponte? E na ponte? 14. Um dispositivo é composto por 1000 elementos que trabalham independentemente uns dos outros. A probabilidade de falha de qualquer elemento, durante o intervalo de tempo t, é Seja o número de elementos que falham durante o intervalo de tempo t Determine ( 3 < < 5) Qual o número mais provável de avarias no intervalo de tempo t? 15. Suponha que há em média dois suicídios por ano numa população de pessoas. Determine a probabilidade de numa população de habitantes, num determinado ano, ter havido: Zero suicídios Dois ou mais suicídios. 16. Um distribuidor de batatas de semente chegou à conclusão, após numerosos ensaios, que 5% das batatas não germinam. As batatas são vendidas em sacos de 200 batatas, garantindo a germinação de 90%. Qual a probabilidade de um determinado saco não cumprir o garantido? 17. Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três brancas e duas azuis. Uma amostra de seis bolas é retirada com reposição. Determine a probabilidade de saírem: Três bolas vermelhas, duas brancas e uma azul Duas de cada cor. Áurea Sousa /Deptº. Matemática U.A. 3

4 18. Suponha que, comprimento de uma barra, tem distribuição normal de valor médio 10 m e variância 4 m 2. Suponha, ainda, que cada uma das barras obedece a determinada categoria consoante o seu comprimento. Considere três categorias < 8, 8 < 12 e 12. Se 15 dessas barras forem fabricadas, qual a probabilidade de se ter na amostra um número igual de barras de cada categoria? 19. O diâmetro de um cabo eléctrico tem distribuição normal com valor médio µ = 0. 8 cm e σ 2 = cm 2. Determine a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0.81 cm. 20. Seja uma variável aleatória com distribuição normal com valor médio µ e variância σ. Determine o valor da probabilidade: P( µ σ < < µ + σ ) Foram medidos os coeficientes intelectuais (Q.I.) de uma população escolar de 2000 alunos e verificou-se que seguiam a lei normal com µ=85 e σ=30. Determine: O número de alunos cujo Q.I. é inferior a O número de alunos cujo Q.I. é superior a O número de alunos cujo Q.I. está entre 70 e As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 1.60 m e Desvio padrão 0.30 m. Determine a probabilidade de um aluno medir: Entre 1.50 m e 1.80 m Mais de 1.75 m Menos de 1.48 m. 23. Seja uma v.a. com distribuição normal em que µ = 2 e σ = Determine: ( 2.3) ( ). 24. Seja ~Nor(0, 1). Calcule o valor de k de tal modo que P ( < K ) = Áurea Sousa /Deptº. Matemática U.A. 4

5 25. Seja uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros µ e σ. Qual a probabilidade de diferir da média: Mais de metade do desvio padrão Menos de ¾ do desvio padrão. 26. Seja uma variável aleatória ~Nor(3, 2). Calcule c de tal modo que ( c) = P( c) P > 2 <. 27. O treinador de um atleta especialista no salto em comprimento fez um estudo estatístico dos saltos dados nos últimos tempos pelo seu atleta e verificou que se distribuíam normalmente com valor médio de 7.23 metros e desvio padrão de 0.33 m Qual é a probabilidade de ele dar um salto entre os 7 e os 7.5 metros? O atleta vai dar o último salto a que tem direito e para se classificar para a fase seguinte precisa de ultrapassar os 7.55 metros. Qual a probabilidade de o conseguir? 28. Seja uma variável aleatória com distribuição normal reduzida. Determine o valor de k, tal que: ( 0 K ) = ( k) = ( K 2 ) = 0. 1 Áurea Sousa /Deptº. Matemática U.A. 5