INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1 o Semestre Ficha de Exercícios - Teoria das Probabilidades 2009/2010 Instruções: A Teoria das Probabilidades, tendo sido abordada no Ensino Secundário, é apresentada a título de revisão através do conjunto de exercícios que se segue. Questões: 1. Lançam-se dois dados, um branco e outro vermelho e representa-se o resultado por um par ordenado (B,V ). Qual a probabilidade da soma B + V ser: (a) Ímpar. (b) Divisível por cinco. (c) Ímpar ou divisível por 5. (d) Ímpar e divisível por 5.

2 2. Uma cidade de habitantestemàsuadisposiçãodoishipermercados: ODesbarato eo OPão Mole. Um inquérito revelou os seguintes dados: pessoas vão diariamente a O Desbarato ; pessoas vão diariamente a O Pão Mole ; pessoas vão diariamente a ambos. Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja cliente: (a) De pelo menos um dos hipermercados. (b) De nenhum desses hipermercados. (c) Exclusivamente do hipermercado O Desbarato. 3. Numa população 20% das famílias têm máquina de lavar louça, 30% têm máquina de lavar roupa e 10% têm ambos os tipos de máquinas. Calcule a probabilidade de uma família escolhida ao acaso: (a) Terpelomenosumdostiposdemáquina. 2

3 (b) Não ter nenhum dos tipos de máquina. (c) Ter um só tipo de máquina. 4. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: P (A) =P (B) =P (C) = 1 4 ; P (A B) =P (B C) =0; P (A C) = 1 8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C ocorra. 5. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: A B C = Ω; A B = ; B C = ; Calcule P (A C) e P (A C). P (A) =0.3; P B =0.7; P (C) =0.5. 3

4 6. Sabe-se que em relação a um dado programa de televisão se tem para um casal, a seguinte situação: a probabilidade de o homem ver um programa é 0.4; a probabilidade da mulher ver o mesmo programa é 0.5; a probabilidade do homem ver o programa porque a mulher o vê é 0.7. Determine a probabilidade de: (a) Um casal ver o programa. (b) A mulher ver o programa porque o homem o vê. (c) Pelo menos um elemento do casal ver o programa. 7. Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo concluiu-se que, este é louco com uma probabilidade igual a 0.6, ladrão com uma probabilidade igual a 0.7 e não é louco nem ladrão com uma probabilidade de (a) Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão. 4

5 (b) Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão. (c) Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é louco. 8. Considere dois acontecimentos A e B tais que: P (A B) =P (A)+P (B) 0.2 P (B/A) =0.4. Determine: (a) P (A). (b) P B/A. 5

6 9. Dados dois acontecimentos A e B, taisque P (A) =0.3, P(B) =0.4 e P (A B) =0.5. Determine: (a) Se A e B são mutuamente exclusivos. (b) Se A e B são independentes. (c) P (A/B), P (A/B), P (B/A), P (A/B). 6

7 10. Considere os acontecimentos A, B e C de probabilidade não nula. Sabe-se que: - A é incompatível com B ecomc. - Dois dos acontecimentos são independentes entre si. - P (A) =0.3, P (C) =0.25 e P (B C) =0.05. Calcule P (A B C). 11. Numa amostra de 100 peças seleccionadas ao acaso dos fornecimentos de duas fábricas A e B, verificou-se que algumas eram defeituosas. No quadro seguinte apresenta-se um resumo dos resultados obtidos: Sem Defeito Com Defeito Fábrica A Fábrica B (a) Diga, justificando, se os acontecimentos ser fornecido pela fábrica A e ter defeito são independentes. (b) Calcule a probabilidade de uma peça fornecida pela fábrica B não ter defeito. 12. Numa fábrica verificou-se que um certo artigo pode apresentar defeitos de dois tipos. A probabilidade de ocorrerodefeitodotipoa é 0.1 e a probabilidade de ocorrer o defeito do tipo B é Sabendo que os defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule a probabilidade de: (a) Um artigo não ter qualquer defeito. 7

8 (b) Um artigo ter defeito. (c) Um artigo com defeito ter um e um só tipo de defeito. 13. Supondo que se tem conhecimento da seguinte informação: - a probabilidade do acontecimento ver o anúncio do produto A é 0.35; - a probabilidade do acontecimento comprar o produto A é a probabilidade do acontecimento comprar o produto A, tendo visto o anúncio do produto A é (a) Calcule a probabilidade de ver o anúncio e comprar o produto A. (b) Calcule a probabilidade de ver o anúncio ou comprar o produto A. (c) Calcule a probabilidade de ver o anúncio do produto A se comprou esse produto. (d) Os acontecimentos ver o anúncio do produto A e comprar o produto A são independentes? Justifique. 8

9 14. Numa turma, 50% dos alunos falam bem Inglês, 20% falam bem Francês e 15% dominam as duas línguas. (a) Averigúe se falar Francês e falar Inglês são acontecimentos independentes. (b) Calcule a probabilidade de: i. Um aluno escolhido ao acaso falar pelo menos uma das línguas. ii. Um aluno não falar nenhuma das línguas. iii. Um aluno falar uma e uma só das duas línguas. iv. Sabendo que um aluno não fala Inglês, qual a probabilidade do mesmo falar Francês? 9

10 15. Um comerciante recebe 100 toneladas de batata de três regiões diferentes. Ao chegar cada lote é classificado em duas classes, A e B, de acordo com a qualidade do produto. Sabendo que um lote acabado de chegar foi classificado na categoria A, qual a proveniência mais provável deste lote, tendo em atenção que a distribuição dos lotes recebidos até à data é a seguinte: Regiões Toneladas Qualidade A Qualidade B I II III Uma empresa possui 3 meios de transporte, T 1, T 2 e T 3, para colocar os seus produtos no mercado. Sabese que as probabilidades destes transportes atrasarem são, respectivamente, 0.05, 0.1 e Sabe-se ainda que estes meios de transporte são empregues com frequências inversamente proporcionais aos respectivos custos por remessas: 90, 70 e 40 unidades monetárias respectivamente. (a) Calcule as percentagens de utilização de cada um dos meios de transporte. (b) Determine a probabilidade de haver atraso. (c) Considerando as remessas chegadas com atraso, qual a probabilidade das mesmas terem sido transportadas por T 3? 10

11 17. De registos efectuados conclui-se que os condutores que circulam em determinada estrada podem cometer um e um só dos dois tipos de transgressões: tipo I, tipo II, e nunca ambas. De 500 condutores multados 100 cometeram transgressões do tipo I. 10% dos que cometeram transgressões do tipo I são multados. 1%dos condutores cometem transgressões do tipo I e 2% do tipo II. Calcule a probabilidade de ser multado quem cometer uma transgressão do tipo II. 18. Considere 3 urnas com a seguinte composição: a urna 1 contém 10 bolas vermelhas e duas verdes, a urna 2 contém 4 bolas vermelhas e 6 verdes e a urna 3 contém 2 bolas vermelhas e 7 verdes. Uma bola é extraída de uma das urnas, sendo a escolha da urna feita do seguinte modo: um dado é lançado uma vez, - se sair a face 1, escolhe-se a urna 1; - se sairem as faces 2 ou 3, escolhe-se a urna 2; - se sairem as faces 4, 5 ou 6, escolhe-se a urna 3. (a) Qual a probabilidade da bola extraída ser verde? (b) Qual a probabilidade de se ter escolhido a urna 1, dado que a bola extraída é vermelha? 11

12 Soluções 1 1.a: 2 ; 1.b: 7 36 ; 1.c: 7 12 ; 1.d: a: 40 ; 2.b: ; 2.c: a: 0.4; 3.b: c: : 8 5: P (A C) =0.1; P (A C) = a: 0.35; 6.b: 0.875; 6.c: a: b: c: : P (A) =0.5; P B/A = a: Não. 9.b: Não. 9.c: P (A/B) = 1 2,P(A/B) = 1 2,P(B/A) = 1 3, P (A/B) = : a: Não são independentes. 11.b: a: b: c: a: b: c: d: Não. 14.a: Não. 14.b.i: b.ii: b.iii: b.iv: : Região II a: T1 é 20%, T2 é 35%, T3 é 45%. 16.b: c: 7. 17: a: b:

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