INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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Luiz Fernando Campos de Paiva
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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1 o Semestre Ficha de Exercícios - Teoria das Probabilidades 2009/2010 Instruções: A Teoria das Probabilidades, tendo sido abordada no Ensino Secundário, é apresentada a título de revisão através do conjunto de exercícios que se segue. Questões: 1. Lançam-se dois dados, um branco e outro vermelho e representa-se o resultado por um par ordenado (B,V ). Qual a probabilidade da soma B + V ser: (a) Ímpar. (b) Divisível por cinco. (c) Ímpar ou divisível por 5. (d) Ímpar e divisível por 5.

de revisão através do conjunto de exercícios que se segue. Questões: 1.

2 2. Uma cidade de habitantestemàsuadisposiçãodoishipermercados: ODesbarato eo OPão Mole. Um inquérito revelou os seguintes dados: pessoas vão diariamente a O Desbarato ; pessoas vão diariamente a O Pão Mole ; pessoas vão diariamente a ambos. Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja cliente: (a) De pelo menos um dos hipermercados. (b) De nenhum desses hipermercados. (c) Exclusivamente do hipermercado O Desbarato. 3. Numa população 20% das famílias têm máquina de lavar louça, 30% têm máquina de lavar roupa e 10% têm ambos os tipos de máquinas. Calcule a probabilidade de uma família escolhida ao acaso: (a) Terpelomenosumdostiposdemáquina. 2

Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja cliente: (a) De pelo menos um dos hipermercados. (b) De nenhum desses hipermercados.

3 (b) Não ter nenhum dos tipos de máquina. (c) Ter um só tipo de máquina. 4. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: P (A) =P (B) =P (C) = 1 4 ; P (A B) =P (B C) =0; P (A C) = 1 8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C ocorra. 5. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: A B C = Ω; A B = ; B C = ; Calcule P (A C) e P (A C). P (A) =0.3; P B =0.7; P (C) =0.5. 3

C) = 1 8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C ocorra. 5.

4 6. Sabe-se que em relação a um dado programa de televisão se tem para um casal, a seguinte situação: a probabilidade de o homem ver um programa é 0.4; a probabilidade da mulher ver o mesmo programa é 0.5; a probabilidade do homem ver o programa porque a mulher o vê é 0.7. Determine a probabilidade de: (a) Um casal ver o programa. (b) A mulher ver o programa porque o homem o vê. (c) Pelo menos um elemento do casal ver o programa. 7. Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo concluiu-se que, este é louco com uma probabilidade igual a 0.6, ladrão com uma probabilidade igual a 0.7 e não é louco nem ladrão com uma probabilidade de (a) Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão. 4

Determine a probabilidade de: (a) Um casal ver o programa. (b) A mulher ver o programa porque o homem o vê. (c) Pelo menos um elemento do casal ver o programa. 7.

5 (b) Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão. (c) Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é louco. 8. Considere dois acontecimentos A e B tais que: P (A B) =P (A)+P (B) 0.2 P (B/A) =0.4. Determine: (a) P (A). (b) P B/A. 5

6 9. Dados dois acontecimentos A e B, taisque P (A) =0.3, P(B) =0.4 e P (A B) =0.5. Determine: (a) Se A e B são mutuamente exclusivos. (b) Se A e B são independentes. (c) P (A/B), P (A/B), P (B/A), P (A/B). 6

7 10. Considere os acontecimentos A, B e C de probabilidade não nula. Sabe-se que: - A é incompatível com B ecomc. - Dois dos acontecimentos são independentes entre si. - P (A) =0.3, P (C) =0.25 e P (B C) =0.05. Calcule P (A B C). 11. Numa amostra de 100 peças seleccionadas ao acaso dos fornecimentos de duas fábricas A e B, verificou-se que algumas eram defeituosas. No quadro seguinte apresenta-se um resumo dos resultados obtidos: Sem Defeito Com Defeito Fábrica A Fábrica B (a) Diga, justificando, se os acontecimentos ser fornecido pela fábrica A e ter defeito são independentes. (b) Calcule a probabilidade de uma peça fornecida pela fábrica B não ter defeito. 12. Numa fábrica verificou-se que um certo artigo pode apresentar defeitos de dois tipos. A probabilidade de ocorrerodefeitodotipoa é 0.1 e a probabilidade de ocorrer o defeito do tipo B é Sabendo que os defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule a probabilidade de: (a) Um artigo não ter qualquer defeito. 7

No quadro seguinte apresenta-se um resumo dos resultados obtidos: Sem Defeito Com Defeito Fábrica A 30 10 Fábrica B 40 20 (a) Diga, justificando, se os acontecimentos ser fornecido pela fábrica A e

8 (b) Um artigo ter defeito. (c) Um artigo com defeito ter um e um só tipo de defeito. 13. Supondo que se tem conhecimento da seguinte informação: - a probabilidade do acontecimento ver o anúncio do produto A é 0.35; - a probabilidade do acontecimento comprar o produto A é a probabilidade do acontecimento comprar o produto A, tendo visto o anúncio do produto A é (a) Calcule a probabilidade de ver o anúncio e comprar o produto A. (b) Calcule a probabilidade de ver o anúncio ou comprar o produto A. (c) Calcule a probabilidade de ver o anúncio do produto A se comprou esse produto. (d) Os acontecimentos ver o anúncio do produto A e comprar o produto A são independentes? Justifique. 8

35; - a probabilidade do acontecimento comprar o produto A é 0.23 - a probabilidade do acontecimento comprar o produto A, tendo visto o anúncio do produto A é 0.43.

9 14. Numa turma, 50% dos alunos falam bem Inglês, 20% falam bem Francês e 15% dominam as duas línguas. (a) Averigúe se falar Francês e falar Inglês são acontecimentos independentes. (b) Calcule a probabilidade de: i. Um aluno escolhido ao acaso falar pelo menos uma das línguas. ii. Um aluno não falar nenhuma das línguas. iii. Um aluno falar uma e uma só das duas línguas. iv. Sabendo que um aluno não fala Inglês, qual a probabilidade do mesmo falar Francês? 9

Um aluno escolhido ao acaso falar pelo menos uma das línguas. ii. Um aluno não falar nenhuma das línguas. iii.

10 15. Um comerciante recebe 100 toneladas de batata de três regiões diferentes. Ao chegar cada lote é classificado em duas classes, A e B, de acordo com a qualidade do produto. Sabendo que um lote acabado de chegar foi classificado na categoria A, qual a proveniência mais provável deste lote, tendo em atenção que a distribuição dos lotes recebidos até à data é a seguinte: Regiões Toneladas Qualidade A Qualidade B I II III Uma empresa possui 3 meios de transporte, T 1, T 2 e T 3, para colocar os seus produtos no mercado. Sabese que as probabilidades destes transportes atrasarem são, respectivamente, 0.05, 0.1 e Sabe-se ainda que estes meios de transporte são empregues com frequências inversamente proporcionais aos respectivos custos por remessas: 90, 70 e 40 unidades monetárias respectivamente. (a) Calcule as percentagens de utilização de cada um dos meios de transporte. (b) Determine a probabilidade de haver atraso. (c) Considerando as remessas chegadas com atraso, qual a probabilidade das mesmas terem sido transportadas por T 3? 10

Regiões Toneladas Qualidade A Qualidade B I II 20 40 4 28 16 12 III 40 20 20 16. Uma empresa possui 3 meios de transporte, T 1, T 2 e T 3, para colocar os seus produtos no mercado.

11 17. De registos efectuados conclui-se que os condutores que circulam em determinada estrada podem cometer um e um só dos dois tipos de transgressões: tipo I, tipo II, e nunca ambas. De 500 condutores multados 100 cometeram transgressões do tipo I. 10% dos que cometeram transgressões do tipo I são multados. 1%dos condutores cometem transgressões do tipo I e 2% do tipo II. Calcule a probabilidade de ser multado quem cometer uma transgressão do tipo II. 18. Considere 3 urnas com a seguinte composição: a urna 1 contém 10 bolas vermelhas e duas verdes, a urna 2 contém 4 bolas vermelhas e 6 verdes e a urna 3 contém 2 bolas vermelhas e 7 verdes. Uma bola é extraída de uma das urnas, sendo a escolha da urna feita do seguinte modo: um dado é lançado uma vez, - se sair a face 1, escolhe-se a urna 1; - se sairem as faces 2 ou 3, escolhe-se a urna 2; - se sairem as faces 4, 5 ou 6, escolhe-se a urna 3. (a) Qual a probabilidade da bola extraída ser verde? (b) Qual a probabilidade de se ter escolhido a urna 1, dado que a bola extraída é vermelha? 11

Calcule a probabilidade de ser multado quem cometer uma transgressão do tipo II. 18.

12 Soluções 1 1.a: 2 ; 1.b: 7 36 ; 1.c: 7 12 ; 1.d: a: 40 ; 2.b: ; 2.c: a: 0.4; 3.b: c: : 8 5: P (A C) =0.1; P (A C) = a: 0.35; 6.b: 0.875; 6.c: a: b: c: : P (A) =0.5; P B/A = a: Não. 9.b: Não. 9.c: P (A/B) = 1 2,P(A/B) = 1 2,P(B/A) = 1 3, P (A/B) = : a: Não são independentes. 11.b: a: b: c: a: b: c: d: Não. 14.a: Não. 14.b.i: b.ii: b.iii: b.iv: : Região II a: T1 é 20%, T2 é 35%, T3 é 45%. 16.b: c: 7. 17: a: b:

10: 0.7. 11.a: Não são independentes. 11.b: 2 3 12.a: 0.855. 12.b: 0.145. 12.c: 0.14. 13.a: 0.151. 13.b: 0.43. 13.c: 0.654. 13.d: Não. 14.a: Não. 14.b.i: 0.55. 14.b.ii: 0.

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