LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Construir um quadro e o gráfico de uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória X: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas. 2. Fazer X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine: a) quadro da distribuição de probabilidade de X; b) c) d) e) Probabilidade de soma máxima 6; f) Probabilidade de se obter pelo menos soma 3; g) F(4) h) F(8) i) F(15) j) F(1) k) F(5,5) l) F(12) 3. Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula; a) Determine k. b) Calcular c) Quanto vale F(5)? 4. Um homem de vendas calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%. Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. Construa o quadro de distribuição de probabilidade para a variável aleatória Y: número de clientes que assinam um contrato de venda. 5. Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade: X p(x) 0,20 0, ,30 0,10 a) Encontrar o valor de P(3); b) Qual é o valor da função acumulativa para x = 5? c) Encontrar a média da distribuição; d) Calcular a variância e o desvio padrão.

2 6. A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada pela fórmula: a) Calcular P(x) para x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5; b) Some as probabilidades obtidas no item a. O que você diria a respeito das probabilidades para valores maiores do que 5? 7. O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto são: Número de chamadas (x) Probabilidades p(x) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02 a) Calcular F(2); b) Determinar e ; c) Qual é o número esperado de chamadas em um minuto? d) O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média. Avalie o coeficiente de variação para essa distribuição. 8. Seja Z a variável aleatória correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó. a) Construir o quadro de distribuição de probabilidades e o gráfico para Z; b) Calcular c) Calcular F(8); d) Qual é o número médio de pontos? 9. Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidos aleatoriamente três pessoas. Fazer X a variável aleatória: número de rapazes. a) Determinar a distribuição de probabilidade da variável X. Construir um quadro. b) Calcular as probabilidades: i. ; ii. ; iii. ; iv. ; v. ; vi. ; vii.. c) Determinar: F(2,5); F(3); F(0,5); F(3,5); F(2); F(1); F(6); F(-0,5) 10. De acordo com uma pesquisa do Data Journal, 70% das pessoas que trabalham em escritórios utilizam PCs da IBM. Se dois indivíduos que trabalham em escritórios são selecionados, encontrar a distribuição de probabilidade da variável X: número de usuários de PCs da IBM. Calcular a média e o desvio padrão dessa variável.

3 11. Seja X uma V. A. Contínua, com a função densidade de probabilidade dada por: Pede-se: a) Determine a constante a para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade; b) Traçar o gráfico da função densidade de probabilidade; c) Obter a função de distribuição acumulada F(x) e traçar o seu gráfico. d) Calcular e) Calcular f) Calcular 12. Suponha que uma v.a. X tenha os possíveis valores k = 1,2,... e as respectivas probabilidades são avaliadas pela expressão geral:. Pede-se: a) Determinar o valor de a para que se tenha uma função de probabilidade; b) P(X ser par); c) P(X ser divisível por 3); d) P(X 5); 13. Seja f(x) uma f.d.p. dada por: Pede-se: a) Determinar o valor de k para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade; b) Traçar o gráfico da função; c) Calcular a probabilidade P(X 1) 14. Uma variável aleatória continua possui a seguinte função densidade de probabilidade: Pede-se: a) A constante k, para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade; b) ; c) ; d) ; e) ;

4 15. A temperatura de um congelador, em graus centígrados, é uma variável aleatória T, com função densidade: Pede-se: a) Determinar o valor de k para que f(t) seja uma função densidade de probabilidade; b) Traçar o gráfico da função; c) Calcular ; d) Calcular ; e) Calcular ; f) Calcular ;

5 LISTA DE EXERCICIOS MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Distribuição Bernoulli 1) No lançamento de um dado, a variável aleatória X anota o número de faces 4 obtidas. Determine a média e o desvio-padrão de X. 2) Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X anota o número de bolas brancas obtidas. Calcule a média e o desviopadrão de X. 3) Uma caixa contém 12 canetas das quais 5 são defeituosas. Uma caneta é selecionada ao acaso e a variável aleatória X anota o número de canetas defeituosas obtidas. Determine a média e o desvio-padrão de X. 4) Um lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Uma peça é selecionada deste lote e a variável aleatória X anota o número de peças defeituosas obtidas. Determine a média e a variância de X. 5) Uma variável aleatória X admite distribuição de Bernoulli com variância 0,24, sabendo-se que a média da variável aleatória X é maior que 0,5, determine esta média. Distribuição Binomial 6) Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades: a) de ocorrer seis caras; b) de dar pelo menos duas caras; c) de não dar nenhuma coroa; d) de dar pelo menos uma coroa; e) de não dar cinco caras e cinco coroas. 7) Admitindo que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade de um casal com seis filhos ter quatro filhos homens e duas mulheres. 8) Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, seria esperado que tivessem: a) nenhuma menina? b) três meninos? c) quatro meninos? 9) Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez o ponto 3 em n jogadas de um dado? 10) Um time X tem de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, calcule a probabilidade de: a) X vencer exatamente três partidas; b) X vencer o menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas.

6 11) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é. Se ele atirar seis vezes, qual a probabilidade de: a) Acertar exatamente dois tiros? b) Não acertar nenhum tiro? 12) Em um teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas? 13) Uma variável aleatória com distribuição binomial tem a função repartição dada por: Determinar: a) n; b) p e q; c) média de Y; d) variância de Y; e) P(Y 1) f) P(2 Y 4) 14) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa; b) três defeituosas; c) mais do que uma boa. Distribuição de Poisson 15) Admitindo que X tem distribuição de probabilidades de Poisson, encontrar as probabilidades: a) P(X = 5) quando = 3,0; b) P(X 2) quando = 5,5; c) P(X 4) quando = 7,5; d) P(X = 8) quando = 4,0; 16) Suponha que X tenha distribuição binomial com n = 100 e p = 0,02. Usar a aproximação de Poisson para encontrar: a) P(X 3); b) P(X = 5); c) P(X = 0); d) P(X < 2); 17) Uma amostra aleatória de 230 pessoas é selecionada. Cada indivíduo da amostra responde se prefere comprar um PC ou um VCR. Assumindo que 3% do público prefere um PC, determinar, aproximadamente, a probabilidade de um grupo de 10 pessoas preferir PC.

7 18) um fábrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu a cada km. a) Qual a probabilidade de que num teste de km haja no máximo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande km sem estourar nenhum pneu? 19) Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a probabilidade de: a) receber quatro chamadas num dia; b) receber três ou mais chamadas num dia. 20) A média de chamadas telefônicas numa hora é três. Qual a probabilidade de: a) receber exatamente três chamadas numa hora? b) receber quatro ou mais chamadas em 90 minutos? 21) Na pintura de paredes, aparecem defeitos em média na proporção de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem três defeitos numa parede de 2X2 cm? 22) Uma loja atende em média a dois clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora: a) atender exatamente a dois clientes; b) atender a três clientes. 23) Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de Em cada cidade de habitantes, encontre a probabilidade de que em dado ano tenha havido: a) 0; b) um; c) dois; d) dois ou mais suicídios. 24) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que dada página contenha: a) nenhum erro; b) exatamente dois erros. 25) Certa loja recebe em média cinco clientes por hora. Qual a probabilidade de: a) receber dois clientes em 24 minutos? b) receber pelo menos três clientes em 18 minutos? 26) A média de chamadas telefônicas em uma hora é três. Qual a probabilidade de: a) receber três chamadas em 20 minutos? b) receber no máximo duas chamadas em 30 minutos?

8 27) De acordo com o National Office of Vital Statistics of U.S. Departamento f Health, Education and Welfere, o número médio de acidentes ocorridos por ano é 3,0 por pessoas. Determinar a probabilidade de em uma cidade de habitantes haver menos de três acidentes. 28) Um contador Geiser marca em média 40 sinais por minutos, quando nas proximidades de certa substância radioativa. Determinar a probabilidade de que haja dois sinais em um período de seis segundos. 29) Em uma estrada, passam em média 1,7 carro por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos? 30) Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo três caminhos por dia. Se chegarem mais de três caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor. Sabendo que, em média, chagam diariamente dois caminhões, qual a probabilidade de, em certo dia, ter que enviar caminhões para outro distribuidor? 31) Uma fábrica produz tecidos com 2,2 defeitos, em média, por peça. Determinar a probabilidade de haver ao menos dois defeitos em duas peças. Distribuição Multinomial 32) Jogue um dado 8 vezes. Calcule a probabilidade de aparecer 2 número 2; 2 números 5 e os demais números uma vez. 33) As lâmpadas coloridas produzidas por uma fabrica são 60% verdes, 30% azuis e 10% amarelas. Em 5 lâmpadas, encontre a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas. 34) O sangue humano foi classificado em 4 tipos: A, B, O e AB. Numa cera população, as probabilidades destes tipos são respectivamente: 0,40; 0,45; 0,10 e 0,05. Qual a probabilidade de que em 5 indivíduos escolhidos ao acaso haja: a) dois do tipo A e um de cada um dos outros? b) Três do tipo A e dois do tipo O? 35) Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Retiram-se 8 bolas com reposição. Qual a probabilidade de sair 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis? Distribuição Geométrica 36) A duração (em centenas de horas) de um determinado componente eletrônico foi modelada por uma distribuição geométrica com parâmetro p=0,8. Determine a probabilidade desse componente eletrônico: a) durar menos de 400 horas; b) durar mais de 500 horas.

9 Duração em horas (centenas) Probabilidade 0 0, , , , , , ) Uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência da primeira cara. Sabendo que a probabilidade de cara é de 0,4. a) Qual a probabilidade de. b) Qual a probabilidade de. 38) A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de transito numa esquina é de 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 6 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Distribuição de Pascal 39) Numa linha de montagem, 10% das peças são defeituosas. A probabilidade de a quinta peça que se analisa ser a segunda defeituosa é Distribuição Hipergeométrica 40) Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que: (a) Exatamente duas estejam queimadas? (b) Pelo menos uma esteja boa? (c) Pelo menos duas estejam queimadas? (d) O número esperado de lâmpadas queimadas? (e) A variância do número de lâmpadas queimadas? 41) Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lâmpadas para verificar se estão boas. Se uma centena incluir 12 lâmpadas queimadas, qual a probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada?

10 LISTA DE EXERCICIOS - DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Distribuição Uniforme 1) Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [3, 5]. a) Determine a função densidade de probabilidade associada. b) Construa o gráfico desta função. 2) Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [0, 10]. a) Determine a média da distribuição; b) Determine o desvio padrão. 3) Se uma variável aleatória tem distribuição uniforme, qual a probabilidade de que a variável assuma um valor maior que a média? 4) Uma variável aleatória tem distribuição uniforme com média 4 e variância. Determine a probabilidade de: a) x < 4 b) 2,5 < x < 4,5 c) x > 6 Distribuição Normal 5) Fazer z uma variável com distribuição normal padronizada e, com auxílio da tabela, encontrar. a) b) c) d) e) f) g) 6) A duração de certo componente eletrônico pode ser considerado normalmente distribuída com média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: a) Entre 700 e dias; b) Mais que 800 dias; c) Menos que 750 dias; d) Exatamente dias. 7) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Encontrar o número de alunos que pesam: a) Entre 60 e 70 kg; b) Mais que 63,2 kg. 8) Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio padrão 15. Quinze por cento dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados recebem nota F. encontrar o mínimo para receber A e o mínimo para passar, não receber F.

11 9) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal de média km e desvio padrão de km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) Durar mais que km; b) Durar entre e km. 10) X é uma variável aleatória contínua, tal que X tem média 12 e desvio padrão= 5. Qual a probabilidade de uma observação ao acaso: a) Ser menor do que -3? b) Cair entre -1 e 15? 11) O salário semanal dos operários industriais é distribuído normalmente em torno de uma média de $ 180 com desvio padrão de $ 25. Pede-se: a) Encontrar a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre $ 150 e $ 178; b) Dentro de que desvio, de ambos os lados da média, cairão 96% dos salários? 12) Certo produto tem peso médio de 10 g e desvio padrão de 0,5 g. É embalado em caixas de 120 unidades que pesam em média 150 g e tem desvio padrão de 8 g. Qual a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais de g? 13) Um avião de turismo de quatro lugares pode levar uma carga útil de 350 kg. Supondo, que os passageiros tenham peso de 70 kg, com distribuição normal de peso, e desvio padrão de 20 kg, e que a bagagem de cada passageiro pese em média 12 kg, com desvio padrão de 5 kg e distribuição normal de peso, calcule a probabilidade de : a) Haver sobrecarga se o piloto não pesar os quatro passageiros e as respectivas bagagens; b) Que o piloto tenha de tirar pelos menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga. 14) Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição. Aproximação da Distribuição Binomial pela distribuição Normal 15) Calcule a probabilidade de se obter menos de 45 caras em 120 lançamentos de uma moeda. 16) Um candidato, pela ultima pesquisa, detém 20% dos votos de uma região. Calcule a probabilidade de que em um conjunto de 200 eleitores selecionados ao acaso nesta região ele obtenha: a) Entre 30 e 80 votos; b) No máximo 20 votos; c) Exatamente 45 votos. 17) Uma variável aleatória X admite distribuição binomial de probabilidade com média 20 e desvio padrão 4. Determine a probabilidade de que em 100 repetições independentes do experimento tenhamos: a)

12 b) c) d) Distribuição Exponencial 18) Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir: Determinar: a) A probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de horas; b) A probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média; c) O desvio padrão da distribuição. 19) Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribuição de Poisson com a média de uma interrupção por mês (quatro semanas), qual a probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja um intervalo de: a) Menos de uma semana? b) Entre 10 e 12 semanas? c) Exatamente um mês? d) Mais de três semanas? 20) O tempo de atendimento numa oficina é aproximadamente exponencial com média de quatro minutos. Qual é a probabilidade de: a) Espera superior a quatro minutos? b) Espera inferior a cinco minutos? c) Espera de exatamente quatro minutos? 21) Sabemos que o intervalo entre ocorrências sucessivas de uma doença contagiosa é uma variável aleatória que tem distribuição exponencial com média de 100 dias. Qual é a probabilidade de não se ter registro de incidência da doença por pelo menos 200 dias a partir da data em que o último caso for registrado?

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