Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial

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1 . a. Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial? b. Qual é a probabilidade de caras em lançamentos de uma moeda honesta? c. Qual é a probabilidade de menos que caras em lançamentos de uma moeda honesta? a. A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando () existirem somente resultados mutuamente exclusivos, () as n tentativas são independentes, e () a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa b.!!! Em muitos livros, p(a probabilidade de fracasso) é definida como q. Aqui n =, X =, p = ½, e q = ½. Substituindo estes valores na equação acima, obtemos:!!!!!! , No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: A B C Descrição O número de tentativas bem-sucedidas O número de tentativas independentes 0, A probabilidade de sucesso em cada tentativa Fórmula Descrição (resultado) 0,00 <--=DISTRBINOM(A;A;A;FALSO) A probabilidade de exatamente de tentativas serem bem-sucedidas (0,00) Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim Bertolo Página

2 O link é: c. P(X < ) = P(0) + P() + P()! 0 0! 0!! 0!! ,0!!!!!! ,!!!!!! , Então, P(X < ) = P(0) + P() + P()= 0,0 + 0, + 0, = 0, Numa planilha Excel teríamos: A B C D 0 0, 0,0 0, 0, <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) 0, <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO). a. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filhoa com cabelos loiros seja ¼. Se houverem crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? b. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,, qual é a probabilidade de que em disparos o alvo seja atingido no mínimo vezes? a. Aqui n =, X =, p = /, e q = /. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos!!!!!! , No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: Bertolo Página

3 A 0, B Fórmula 0,8 <--=DISTRBINOM(A;A;A;FALSO) Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim O link é: b. Aqui n =, X, p = 0, e p = 0, P(X ) = P() + P()!!! 0, 0,... 0,0, 0,089 0,0...!!! 0, 0, 0, 0, 0, 0,008 P(X ) = P() + P() = 0,0 + 0,008 = 0,08 Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: Bertolo Página

4 . a. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 0 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 0% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que dos tubos extraídos sejam defeituosos? b. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 8% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 0 dos itens extraídos sejam aceitáveis? a. Aqui n = 0, X, p = 0, e p = 0,8 P(X ) = P(0) + P() + P() Assim, 0 0! 0! 0 0! 0, 0,8 0,0 0!! 0! 0, 0,8 0 0,0, 0,8 0!! 0! 0, 0,8 0,00, 0,00 P(X ) = P(0) + P() + P() = 0,0 + 0,8 + 0,00 = 0,8 ou,8% b. Aqui n =, X = 0, p = 0,8 e p = 0,. A probabilidade de X = 0 itens aceitáveis com p = 0,8 é igual a probabilidade de X = itens defeituosos com p = 0,. Mas fazendo os cálculos encontramos: A B C D 0 0 0, 0,08 0,8 0, <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) 0,99 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO)!!! 0, 0,8 00 0,000090,98 0,09 ou,% A 0 0,8 Fórmula 0,089 <--=DISTRBINOM(A;A;A;FALSO) B. a. Se moedas honestas forem lançadas simultaneamente ou moeda honesta for lançada vezes, calcule a distribuição de probabilidade completa e desenhe a num gráfico b. Calcule e trace o gráfico da distribuição de probabilidade para uma amostra de itens tomada aleatoriamente de um processo de produção sabido produzir 0% de itens defeituosos a. Usando n = ; X = 0Ca, Ca, Ca, Ca ou Ca; P = /, obtemos: Bertolo Página

5 A B C D E F 0 0, 0,0 0, 0, 0, 0,0 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO) Probabilidade 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Figura Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento de Moedas Honestas. Note na figura que quando p 0,, a distribuição de probabilidade é simétrica. 0, 0,0 0,0 0,0 0 Número de Caras b. Usando n = ; X = 0,,,, ou defeituosas; p = 0,, obtemos A B C D E F G 0 0, 0,80 0,0 0,08 0, 0,08 0,00 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO) Probabilidade 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,80 0,0 0,08 0, Figura Distribuição de Probabilidades de Itens Defeituosos numa amostra de itens extraídos aleatoriamente de um processo de produção que se sabe produzir 0% de itens defeituosos. Note na figura que quando p 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica para a direita. 0,0 0 0,08 0,00 Número de Caras. Calcule o valor esperado e o desvio padrão e determine a simetria ou assimetria da distribuição de probabilidade de a. Exercício a. b. Exercício b. c. Exercício a. d. Exercício b. a. E(X) = μ = n.p =.(/) = / =, filhos loiros. σ X =,,0 Bertolo Página

6 Como p < 0,, a distribuição de probabilidade de crianças loiras é assimétrica à direita. b. E(X) = μ = n.p =.(0,) =, disparos. σ X = 0,0, 0,8 0,9 Como p < 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica à direita. c. E(X) = μ = n.p = 0.(0,) = tubos defeituosos. σ X = 00,0,8,, Como p < 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica à direita. d. E(X) = μ = n.p =.(0,8) =, itens aceitáveis. σ X = 0,80,,9,8 á Como p > 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica à esquerda. Bertolo Página