Probabilidade parte 2. Robério Satyro

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1 Probabilidade arte Robério Satyro

2 Definição de robabilidade Vamos analisar o fenômeno aleatório lançamento de uma moeda erfeita. Nesse caso, temos: = {C, C} () = Os subconjuntos de são, {C}, { C} e {C, C}. Assim: () = 0 (C) = ( C) = (C, C) = Vemos que (A) 0, ara todo A. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

3 Definição de robabilidade Considerando A = {C} e B = { C}, vemos que: A B = e (A B) = ({C} { C}) = (C, C) = () = = + = ({C}) + ({ C}) = (A) + (B). Assim, odemos teoricamente considerar robabilidade como uma função definida nas artes de um conjunto () com valores reais. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Proriedades Podemos então definir as seguintes roriedades: P : (A) 0, ara qualquer A ; P : () = ; P 3 : (A B) = (A) + (B), quando A B =. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Consequências Como consequências da definição de robabilidade, temos as seguintes roriedades: ª roriedade: Imossibilidade ou () = 0 Como um evento qualquer A (A ) ode ser escrito como A e como A =, odemos alicar a roriedade P 3 e temos: (A) = (A ) = (A) + () () = 0 () = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Consequências ª roriedade: Probabilidade do evento comlementar Observe que, sendo A a comlementar de A, temos: notação ara A A = e A A = Logo: () = (A A ) Alicando P e P 3, temos: = (A) + ( A) ( A) = - (A) ( A) = - (A) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Consequências 3ª roriedade: Probabilidade da união de dois eventos Admitiremos sem justificativas que: (A B) = (A) + (B) (A B) - robabilidade da união de dois eventos quaisquer. (A B) = (A) + (B), quando A B = UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Vamos raticar... No lançamento simultâneo de dois dados erfeitos distinguíveis, qual é a robabilidade de não sair soma 5? Nesse caso, o esaço amostral tem 36 elementos: = {(, ), (, ), (, 3),...,(6, 5), (6, 6)} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Vamos raticar... Seja A o evento sair soma 5 ; A = {(, 4), (4, ), (, 3), (3, )} n(a) = 4 (A) = n(a) n() ( A) = - (A) - 9 = 9 9 = 8 9 A robabilidade de não sair soma 5 é 8 9. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Vamos raticar... Ao retirar uma carta de um baralho de 5 cartas, qual é a robabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás? Evento V: a carta é vermelha ; Evento A: a carta é ás Evento (V A): a carta é vermelha ou ás (V A) = (V) + (A) (V A) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 0

11 Vamos raticar... Num baralho de 5 cartas, há 6 cartas vermelhas e 6 cartas retas. Há também 4 ases, dos quais são vermelhos. Logo: (V) = 6 5 = (A) = 4 5 = 3 (V A) = 5 = 6 Assim: (V A) = = 4 6 = 7 3 A robabilidade de a carta ser vermelha ou ás é de 7 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

12 Vamos raticar... Uma máquina roduz 50 arafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao egar ao acaso 3 arafusos, qual é a robabilidade de que: a) Os três sejam erfeitos? n() = 50 = 50! ! = = !47! ! Evento A: os três arafusos são erfeitos, como são erfeitos retiramos os 5 defeituosos dos 50 e combinamos 3 a 3. n(a) = 45 = 45! ! = !4! 3.. 4! (A) = ,7398 7% UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

13 Vamos raticar... b) Os três sejam defeituosos Evento B: os três arafusos são 5 defeituosos, que ode ocorrer de 3 maneiras. Logo: n(b) = 5 3 = 5! 3!! = ! 3!. = 0 (B) = 0 = ,0005 0,05% UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

14 Vamos raticar... c) Pelo menos um seja defeituoso? Evento C: elo menos um é defeituoso, que é o comlementar do evento A: os três são erfeitos (que é o mesmo que nenhum é defeituoso ). Logo: (E) = ( A) = (A) 0,7398 0,760 8% UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

15 Probabilidade Condicional Analisemos a seguinte situação: Uma moeda é lançada três vezes. Nesse caso o esaço amostral é: = {CCC, CC C, C CC, C C C, CCC, CC C, C CC, C C C} Consideramos o evento A: sair cara exatamente duas vezes. Então: A = {CC C, C CC, CCC} (A) = 3 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

16 Probabilidade Condicional Agora, consideremos que, ao ser lançada a moeda três vezes, o resultado do rimeiro lançamento foi cara. Qual é a robabilidade de sair cara exatamente duas vezes? O esaço amostral assa a ser B com: B = {CCC, CC C, C CC, C C C} e A = {CC C, C CC} em que A = A B e a robabilidade edida é: (A ) = n(a ) n(b) = 4 = UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

17 Probabilidade Condicional Observe que a robabilidade do evento sair cara em ambos os lançamentos foi modificada ela resença do evento condicionante o resultado do rimeiro lançamento foi cara. Definimos: Evento A: exatamente lançamentos dão cara. dois dos três A = {CC C, C CC, CCC} Evento B: o rimeiro lançamento dá cara. B = {CCC, CC C, C CC, C C C} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

18 Probabilidade Condicional Denotamos or A/B o evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu e or (A/B) a robabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B. (A/B) é a robabilidade de sair cara exatamente duas vezes, tendo saído cara no rimeiro lançamento. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

19 Probabilidade Condicional Vimos que: (A/B) = (A ) = Então: (A/B) = n(a ) n(a B) = n(b) n(b) Dividimos ambos os termos da fração or n() 0, temos: n(a B) n() (A B) (A B) (A/B) = = n(b) (B) (A/B) = (B) n() Logo: (A B) = (A/B). (B) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

20 Vamos raticar... Uma família lanejou ter 3 crianças. Qual é a robabilidade de que a família tenha 3 homens, já que a rimeira criança que nasceu é homem? Nesse caso, chamando M: mulher e H: homem, temos: = {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH, HMH, MHM} n() = 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 0

21 Vamos raticar... Evento A: a família tem 3 homens A = (HHH) Evento B: a rimeira criança é homem B = {HHH, HHM, HMH, HMM} A B = {HHH}; (A B) = 8 ; (B) = 4 8 = (A/B) = (A B) (B) = 8 = 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

22 Vamos raticar... As esquisas de oinião aontam 0% da oulação é constituída de mulheres que votam no artido X. Sabendo que 56% da oulação são mulheres, qual a robabilidade de que uma mulher selecionada ao acaso da oulação toda vote no artido X? B: essoa escolhida mulher A: a essoa vota no artido X A B: mulher que vota no artido X UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

23 Vamos raticar... Procuramos (A/B). (B) = 0,56, que é equivalente a dizer que 56% da oulação são mulheres. (A B) = 0,, que é equivalente a dizer que 0% da oulação são mulheres que votam no artido X. Portanto, (A/B) = 0, = 0,35, que é 0,56 equivalente a dizer que 35% das mulheres votam no artido X. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

24 Eventos Indeendentes A indeendência de eventos é muito imortante em robabilidade. Aós analisar um exemlo, definiremos o que são eventos indeendentes. Consideremos o exerimento lançar dois dados erfeitos de cores diferentes. Seja A o evento sair o 6 no º dado e B, sair o 3 no º dado. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

25 Eventos Indeendentes Observemos que: n() = 36 A = {(6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B = {(, 3), (, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} (A) = 6 36 = 6 (B) = 6 36 = 6 A B = (6, 3) = (A B) = 36 (B A) (B/A) = = = (A) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

26 Eventos Indeendentes Assim, (B) = (B/A) =, ou seja, a 6 robabilidade de sair 3 no º dado não foi afetada elo fato de sair 6 no º dado, ou, ainda a robabilidade de ocorrer B não deendeu da ocorrência de A. Nesse caso, dizemos que A e B são eventos indeendentes. A robabilidade de ocorrer um deles não deende do fato de ter ou não ocorrido o outro. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

27 Eventos Indeendentes Dessa forma, também é verdade que (A) = (A/B). (A B) Assim, como (A/B) =, temos: (B) (A B) = (A/B). (B) = (A). (B) Logo, o fato de A e B serem eventos indeendentes é equivalente a dizer que (A B) = (A). (B). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

28 Eventos Indeendentes Poderíamos, então, dar a definição: Dois eventos A e B de um esaço amostral (com (A) 0 e (B) 0) são indeendentes se, e somente se, (A/B) = (A), ou de modo equivalente: (A B) = (A). (B) Com isso, odemos afirmar que dois eventos A e B são deendentes quando (A B) (A). (B) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

29 Vamos raticar... Consideremos um cria de cachorros com 3 filhotes. Sejam os eventos A: obtenção de elo menos dois machos e B: obtenção de elo menos um de cada sexo. Os eventos A e B são indeendentes? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

30 Vamos raticar... m: macho; f: fêmea = {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff} A = {mmm, mmf, mfm, fmm} (A) = B = {mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm } (B) = 3 4 A B = {mmf, mfm, fmm} (A B ) = 3 8 Vemos que 3 = Como (A B) = (A). (B), temos que A e B são indeendentes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30

31 Método Binomial O método do roduto robabilidades é usado, or exemlo, quando se quer saber qual a robabilidade de, numa família, todas as crianças serem meninos ou todas serem meninas. Se uma casal lanejou ter 4 filhos, a robabilidade de que todos sejam meninos é: 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

32 Método Binomial Quando há mistura de sexos, or exemlo 3 meninos e menina, meninas, etc. e não se esecifica a ordem de ocorrência, odemos usar o método binomial. Vejamos agora or meio de exemlos, no que consiste o método binomial e quando odemos usa-los. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

33 Método Binomial º) Consideremos uma família com duas crianças. Se reresentarmos o nascimento de um menino or M e o nascimento de uma menina or F, temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

34 Método Binomial ( M ) ; ( F) q ; q { MM, MF, FM, FF} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

35 Método Binomial Como sabemos que cada nascimento é indeendente de nascimentos anteriores, temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Método Binomial UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36 4 ) ( ) ( (MM) ² M M 4 ) ( ) ( (MF) q F M 4 ) ( ) ( (FF) ² q F F 4 ) ( ) ( (FM) q M F

37 Método Binomial Observe que a robabilidade total é igual a : UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37

38 Método Binomial Se não considerarmos a ordem em que ocorrem os nascimentos, odemos escrever: ² q q² Onde ² é a robabilidade de nascerem meninos, q é a robabilidade de nascerem menino e menina e q² é a robabilidade de nascerem meninas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38

39 Método Binomial ² é a robabilidade de nascerem meninos, ou seja: 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39

40 Método Binomial A robabilidade de nascerem menino e menina( desconsiderando a ordem) é q, ou seja: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40

41 Método Binomial A robabilidade de nascerem meninas é q², ou seja: 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

42 Método Binomial Observemos que: ² q q² ² q q² 0 ( q)² ² UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

43 Método Binomial Em uma família, a robabilidade de nascerem n crianças, das quais k sejam meninos e n-k sejam meninas, é dada or: ( k meninos, n k meninas) n k k q n k UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43

44 Método Binomial Quando usamos essa fórmula, dizemos que estamos alicando o método binomial. Essa robabilidade é um termo da exansão binomial ( q) n ( k meninos, n k meninas) n k k q n k UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44

45 Método Binomial º) uma casal retende ter 5 filhos e deseja saber qual é a robabilidade de ter: a) 5 meninos; b) meninos e 3 meninas; c) menino e 4 meninas; d) 3 meninos e meninas UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45

46 Método Binomial a) qual é a robabilidade de ter 5 meninos? ( k meninos, n k meninas) n k k q n k UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 46

47 Método Binomial q q 5 ² q q q q UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 47

48 Método Binomial UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS ² )!!(5 5! )!!(5 5! 0)! 0!(5 5! q q q )! 5!(5 5! 4)! 4!(5 5! 3)! 3!(5 5! q q q

49 Método Binomial 0 5 q 5 q 0² q q 5 q q UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 49

50 Método Binomial a) qual é a robabilidade de ter 5 meninos? ( k meninos, n k meninas) n k k q n k 5 ; 5 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 50

51 Método Binomial b) qual é a robabilidade de ter meninos e 3 meninas? 0 ² ( k 3 q ; meninos, n q k meninas) 0 n k k q n 3 k 5 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

52 Método Binomial c) qual é a robabilidade de ter menino e 4 meninas? 5 q 4 ( k ; meninos, n q k meninas) 5 n k k q n 4 k 5 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

53 Método Binomial d) qual é a robabilidade de ter 3 meninos e meninas? 0 ( k 3 q ; meninos, n q k meninas) 0 n k k q n 3 k 5 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 53