Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X X(s) R X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real X(s) é denominada variável aleatória. O conjunto formado por todos os valores, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { R / X(s) } Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

2 Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta. Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada i X(S) o número f( i ) P(X i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f( i ), para todo i f( i ) A coleção dos pares [ i, f( i )] para i,,,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X.

3 Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é: KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC R S f () CCC X f [;] KKK CKK /8 KKC /8 KCK /8 CCK CKC /8 KCC R S f () CCC X f [;] Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores: Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, } A função de probabilidade f() P(X ), associa a cada X(S), um número no intervalo [; ] dado por: f() P(X ) P(X(s) ) P([ X(S) / X(s) })

4 Desta forma: f() P(X ) P{(,)} / f() P(X ) P{(,), (, )} /... f() P(X) P{(6, 5), (5, 6)} / f() P(X ) P{(6, 6)} / A distribuição de probabilidade será: f() A distribuição de probabilidade de X será então: Σ Através de: uma tabela uma epressão analítica (fórmula) um diagrama Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado. 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6 Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R ( - )/ se 7 ( - -)/ se > 7,8,6,4,,,8,6,4,,

5 (a) Epectância, valor esperado µ E(X).f ().P(X ) (b) Desvio padrão σ f ()( µ) f () µ Calcular o valor esperado e a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6.f() 4/6 /6 /6 4/6 /6 f() 4/6 4/6 /6 6/6 8/6 (a) Epectância ou valor esperado µ E (X).f () caras 6 (b) Desvio padrão 8 σ f () µ (c) Moda m o caras (d) Mediana m e caras Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Binomial Negativa Uniforme Poisson 5

6 EXPERIMENTO Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por ou fracasso e ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q p. Conjunto de Valores X(S) {, } A Função de Probabilidade (fp) A Função de Probabilidade (fp),,8,6 p f () P(X ) p se se,4,, A Função de Distribuição (FD) Função de Distribuição F() P(X ) q se < se < se q p 6

7 Características Epectância ou Valor Esperado E(X).f ().q +.p p Variância V ( X ) ( p.q p + E ( X.p ) p ( ) - E(X) p ) pq p Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade,. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X. Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p %, assim a distribuição é:,9 f () P(X ), se se EXPERIMENTO Como eistem apenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) {,,,,..., n} A Função de Probabilidade (fp) n f () P(X ) p q n 7

8 A Função de Probabilidade (fp) A Função de Distribuição (FD),8,6,4,,,8,6,4,, n k F() P(X ) p q k k n-k se < se n se > n,,9,8,7,6,5,4,,,, Função de Distribuição Características Epectância ou Valor Esperado n n E(X).f (). p q np Variância V(X) E(X ) - E(X) n n E(X ). p q n(n -) p + np V(X) E(X n p ) - E(X) n(n ) p + np (np) Assim: + np np( p) npq E (X) σx np npq Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade,. Seja X o número de circuitos rejeitados em testes. Determine a distribuição de X. 8

9 Como se tratam de testes a variável X é Binomial com p %, assim a distribuição é: f () P(X ) (,).(,9) para,,,..., EXPERIMENTO A distribuição Geométrica, também, está relacionada com o eperimento de Bernoulli. A diferença é que, agora, o que é fiado é o primeiro sucesso e não o número de tentativas, isto é, X número de tentativas realizadas até se conseguir o primeiro sucesso. Conjunto de Valores X(S) {,,,,...} A Função de Probabilidade (fp) f () P(X ) p q,4 A Representação Gráfica A Função de Distribuição (FD), F() P(X ) - q se < se, A distribuição G(,4) 9

10 A Função de Distribuição (FD),,8,6,4,, A distribuição acumulada da G(,4) Características Epectância ou Valor Esperado E(X).f ().p q p Variância V(X) E(X ) - E(X) q V(X).p q p p Suponha que um jogador de futebol converta de cada 4 penalidades cobradas. Determine a probabilidade de ele errar 4 penalidades antes de converter a primeira? Neste caso, tem-se: p (/4) 75% e q (/4) 5% X Número de tentativas antes do primeiro sucesso, é, então, uma G(,75) f() P(X ),75.,5 - para,,, Portanto: f(4) P(X 4),75.,5,7%

11 EXPERIMENTO A distribuição binomial negativa é também conhecida como de Pascal ou de Pólya. Ela fornece o número de falhas até um número fio de sucessos. Um eperimento que apresenta uma distribuição binomial negativa satisfaz as seguintes condições: CONDIÇÕES Cada tentativa apresenta apenas dois resultados: sucesso ou fracasso; O eperimento consiste de uma seqüência de tentativas independentes; A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas; O eperimento continua até que um total de r sucessos sejam observados, onde r é um valor inteiro maior do que um, fiado de antemão. Conjunto de Valores X(S) {r, r +, r +,...} A Função de Probabilidade (fp) f () P(X ) p r r q r,6,4,, A Representação Gráfica A distribuição BN(,4) A Função de Distribuição (FD) F() k - r p q k r r - k r se < r se r

12 A Função de Distribuição (FD),,8,6,4,, A distribuição acumulada da BN(,4) Características Epectância ou Valor Esperado r r r E(X).f (). p q r r r p Variância V(X) E(X ) - E(X) r r r rq V(X). p q r r p p Suponha que um jogador de basquete acerte 4 a cada 5 lances livres. Seja X o número de erros antes do terceiro acerto. Determine a probabilidade que ele precise fazer 6 lances, isto é, P(X 6). Neste caso, tem-se: r, p (4/5) 8% e q % X Número de tentativas antes do terceiro acerto é, então, uma BN(;,8) f () P(X ),8 r onde, 4, 5, 6,, 7, f (6), 6 6 P(X 6),8., 5,8.,,4 4,% OBSERVAÇÕES: Eiste uma relação entre a Binomial e a Pascal (Binomial Negativa). Na Binomial fia-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) e observa-se o número de sucessos.

13 Na Binomial Negativa fia-se o número de sucessos e observa-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) necessário para obter o número fiado de sucessos. EXPERIMENTO A distribuição Binomial é deduzida com base em n repetições de um eperimento de maneira independente (isto é, p constante), ou retiradas com reposição de uma população finita. EXPERIMENTO Se a eperiência consistir na seleção de objetos, sem reposição, de uma população finita, de tamanho N, onde r apresentam uma característica N r não apresentam esta característica, então eistirá dependência entre as repetições. EXPERIMENTO Neste caso a variável aleatória X número de objetos com a característica r em uma amostra de tamanho n, terá uma distribuição denominada de Hipergeométrica. Conjunto de Valores : má{, n N+r)},..., mín{r, n} A Função de Probabilidade (fp) r N r n r f () P(X ) N n

14 A Função de Probabilidade (fp) H(; 5; 5),,,,,, onde A Função de Distribuição (FD) se < j r N r k n F ( ) P (X ) se j N n j k se > k j má{, k mín{r, n - N + r} n},,9,8,7,6,5,4,,,, Função de Distribuição H(; 5; 5) σ X Características Epectância ou Valor Esperado E (X) npq np Desvio Padrão N n N Onde p r N Uma fábrica recebe um lote de peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito. Pela Hipergeométrica: N, r 5, n f () P(X ) 58,8% 4

15 Pela Binomial: n e p 5/ 5% f() P(X ).(,5) 59,87%.(,95) EXPERIMENTO A distribuição uniforme é a mais simples das variáveis discretas. A variável assume os valores:,,..., n sempre com igual probabilidade. DEFINIÇÃO Uma variável aleatória X que assume os valores,,..., n é dita uniforme discreta se todos os valores ocorrem com a mesma probabilidade, isto é, f( i ) /n. Conjunto de Valores X(S) {,,..., n } A Função de Probabilidade (fp) A Representação Gráfica,,5 f ( i ) P(X i) / n, A distribuição U() 5

16 A Função de Distribuição (FD) A Função de Distribuição (FD), F(i) P( i) i n se se < i,8,6,4,, A distribuição acumulada da U() Características Epectância ou Valor Esperado n n E(X) i.f ( i) i i n i Variância V(X) E(X ) - E(X) (X) [ n ( ) ] V i i n Suponha que um dado honesto é lançado. Seja X valor da face voltada para cima. Determinar a distribuição de X Σ f() /6 /6 /6 /6 /6 /6 6

17 EXPERIMENTO Na Binomial a variável que interessa é o número de sucessos em um intervalo discreto (n repetições de um eperimento). Muitas vezes, entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo contínuo, como o tempo, área, superfície, etc. EXPERIMENTO Para determinar a f() de uma distribuição deste tipo, será suposto que: (i) Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes; (ii) Em intervalos de mesmo tamanho as probabilidades de um mesmo número de sucessos são iguais EXPERIMENTO (iii) Em intervalos muito pequenos a probabilidade de mais de um sucesso é desprezível; (iv) Em intervalos muito pequenos a probabilidade de um sucesso é proporcional ao tamanho do intervalo. Definição: Se uma variável satisfaz estas quatro propriedades ela é dita VAD de POISSON. Se X é uma VAD de POISSON, então a função de probabilidade de X é dada por: A Função de Probabilidade (fp) λ e. λ f () P(X )! para,,,... λ é denominada de taa de sucessos A Função de Probabilidade (fp) P(),5,,9,6,,

18 A Função de Distribuição (FD) Função de Distribuição P(), F() P(X ) k -λ e. λ k! k se < se,9,8,7,6,5,4,,,, Características Epectância ou Valor Esperado Desvio Padrão E(X) λ σx λ O número de consultas a uma base de dados computacional é uma VAD de Poisson com λ 6 em um intervalo de dez segundos. Qual é a probabilidade de que num intervalo de 5 segundos nenhum acesso se verifique? A taa de consultas é de seis em dez segundos em cinco segundos teremos uma taa de λ consultas. Então: e. f () P(X )! e - 4,98% - Considerando o eemplo dado na Hipergeométrica, que foi resolvido, também, pela Binomial, é possível ainda utilizar a Poisson. Para isto deve-se fazer λ np. 8

19 Então: λ.,5,5. f () P(X ) e -,5!. e -,5 6,65% 9