rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aleatórias Discretas

Transcrição

1 ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 03: Variáveis Aleatórias Discretas

2 Qual a similaridade na natureza dessas grandezas? Tempo de espera de um ônibus Resultados de lançamento amento de um dado Soma de dois dados Erro em relação ao centro do alvo no lançamento amento de uma bomba Pontos onde caem gotas de chuva numa região demarcada na calçada ada

3 Definição Emprega-se o termo variável vel aleatória para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento.. A palavra aleatória indica que em geral só conhecemos aquele valor depois que o experimento é realizado.

4 contínua nua x discreta As propriedades das variáveis veis aleatórias discretas são estudadas por somas e diferenças as, enquanto o estudo das variáveis veis contínuas nuas requer ferramentas do Cálculo como integrais e derivadas.

5 Distribuição de Probabilidades Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável vel aleatória condições para uma distribuição de probabilidades: 0 p(x) 1 para todo x Σ p(x) ) = 1 todos os valores possíveis de x

6 Distribuição de probabilidades para variáveis veis aleatórias discretas A distribuição de probabilidade ou função massa de probabilidade de uma variável vel aleatória discreta especifica as probabilidades de observação para cada valor quando o experimento ocorre.

7 Exemplo Lançamento amento de dois dados: 1/36 se x = 2 ou 12 2/36 se x = 3 ou 11 p(x) ) = 3/36 se x = 4 ou 10 4/36 se x = 5 ou 9 5/36 se x = 6 ou 8 6/36 se x = 7

8 Exemplo p(x) 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/ x

9 Função distribuição cumulativa Σ F(x) ) = P(X x) = p(y) y: y x

10 Exemplo (dois dados) 0 se x < 2 1/36 se 2 x < 3 3/36 se 3 x < 4 F(x) ) = 6/36 se 4 x < 5 10/36 se 5 x < 6 15/36 se 6 x < 7 21/36 se 7 x < 8 26/36 se 8 x < 9 30/36 se 9 x < 10 33/36 se 10 x < 11 35/36 se 11 x < 12 36/36 se 12 x

11 F(x) 36/36 30/36 24/36 18/36 12/36 6/ x

12 Exemplo Para quaisquer dois números a e b com a b: P(a X b) = F(b) F(a-) ) = F(b) F(a 1) No exemplo dos dois dados: P(3 X 6) = F(6) F(2) = 15/36-1/36 = 14/36 P(X 5) = F(5) = 10/36 P(X = 8) = F(8) F(7) = 26/36-21/36 = 5/36

13 Esperança E(x) ) = μ x = Σx p(x) A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio teórico de um número infinito de provas

14 Exemplo (dois dados) E(X) = μ = 2 (1/36) 2 (1/36) + 3 (2/36) (3/36) (4/36) (5/36) (6/36) (5/36) (4/36) (3/36) + 11 (2/36) (1/36) = 252/36 = 7

15 Variância e Desvio-padrão V(X)= σ 2 = E[(X- μ) 2 ] = = Σ[(x - μ)2 p(x) p(x)] = Σ[x2 p(x) ] - μ 2 σ = V(X) 0,5 O desvio-padrão nos dá uma medida do quanto a distribuição de probabilidade se dispersa em torno da média

16 Exemplo (dois dados) V(X) = (2-7)( 7)2 (1/36) + (3-7) 7)2 (2/36) + + (4-7) 7)2 (3/36) + (5-7) 7)2 (4/36) + + (6-7) 7)2 (5/36) + (7-7) 7)2 (6/36) + + (8-7) 7)2 (5/36) + (9-7) 7)2 (4/36) + + (10-7) 7)2 (3/36) + (11-7) 7)2 (2/36) + + (12-7) 7)2 (1/36) = 5,833 σ = 5,833 0,5 = 2,415

17 Distribuições de probabilidade discretas Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrica Binomial negativa Poisson

18 Uniforme p(x) 1/ x

19 Bernoulli Se um experimento pode ter apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso, por exemplo). Se fizermos X=1 quando o resultado for sucesso e X=0 quando for fracasso, então: P(X=1) = p P(X=0) = 1-p1 Esta variável vel aleatória é chamada de Bernoulli e sua esperança é dada por: E[X] = 1.p + 0.(1-p) = p

20 Binomial O experimento consiste de uma seqüência de n experimentos de Bernoulli, onde n é fixado antes do experimento As tentativas são idênticas e cada uma resulta em sucesso (S) ou falha (F) As tentativas são independentes A probabilidade de sucesso (p) é constante entre as tentativas

21 n = 3 SSS, SSF, SFS, SFF, FSS, FSF, FFS, FFF P(SSS) = P(S) P(S) P(S) P(S) = p 3 P(SSF) = p p (1p (1 p) = p2 (1p (1 p) P(SFS) = p p (1p (1 p) = p2 (1p (1 p) P(SFF) = p (1p (1 p) p) (1 p) = p (1p (1 p) 2 P(FSS) = p p (1p (1 p) = p2 (1p (1 p) P(FSF) = p (1p (1 p) p) (1 p) = p (1p (1 p) 2 P(FFS) = p (1p (1 p) p) (1 p) = p (1p (1 p) 2 P(FFF) = (1 p) p) (1 p) p) (1 p) = (1 p) 3

22 Binomial n ( ) b(x; ; n, p) = x p x (1-p) p) n-x x = 0, 1, 2... n E[X] = np V[X] = np(1-p) p) = npq q = 1-p1

23 Exemplo Nas condições do exercício cio 8 (aula 2), qual a probabilidade de que exatamente duas bombas atinjam o alvo? 4 ( ) b(2; 4, 40%) = 2 0,4 2 (1-0,4) 4-2 = = 6. 0,16. 0,36 = 0,3456

24 Exercício cio 15 Quando fuzis são testados, verifica-se uma taxa de defeitos igual a 5%. Seja X = nº n de fuzis em pane numa amostra aleatória de 20 fuzis. a) determine P(X 2) b) qual a probabilidade de que nenhum fuzil da amostra esteja em pane c) calcule a esperança e o desvio-padrão de X

25 Exercício cio 16 20% de todos os telefones de um certo tipo são submetidos à manutenção enquanto estão no período de garantia. Desses,, 60% podem ser reparados enquanto os outros 40% devem ser substituídos por novos.. Se uma companhia compra dez desses telefones, qual a probabilidade de que exatamente dois sejam substituídos em garantia?

26 Exercício cio 17 Um teste de Estatística stica consiste em 10 questões do tipo múltipla escolha, cada uma com 5 respostas possíveis veis.. Para alguém que responda aleatoriamente (por palpite) todas as questões,, determine a probabilidade de passar,, se o percentual mínimo para aprovação é 60%. A probabilidade é suficientemente elevada para justificar o risco de tentar passar por palpite em lugar de estudar?

27 Exercício cio 18 Uma empresa aérea adota a política de vender 15 passagens para um avião que dispõe de apenas 14 assentos.. Determine a probabilidade de não haver assentos suficientes sabendo-se se que, historicamente, apenas 85% dos passageiros que fazem reserva apresentam-se para embarque.

28 Distribuição de Poisson Distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado. A variável vel aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância,, a área,, o volume etc.

29 Distribuição de Poisson p(x;λ) ) = e λ λ x x = 0, 1, 2... x! Para qualquer experimento binomial em que n é grande e p é pequeno: b(x; ; n, p) p(x;λ) onde λ = np E(X) = V(X) = λ

30 Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson exige: que a variável vel aleatória x seja o número de ocorrências de um evento em um intervalo que as ocorrências sejam aleatórias que as ocorrências sejam independentes umas das outras que as ocorrências sejam distribuídas das uniformemente sobre o intervalo considerado

31 Exemplo Para fins de análise dos impactos de bombas V-1 na II GM, o sul de Londres foi subdividido em 576 regiões com área de 0,25 km 2 cada.. A área conjunta das 576 regiões foi atingida por 535 bombas. Escolhida aleatoriamente uma região, determine a probabilidade de ela ter sido atingida exatamente duas vezes.

32 Exemplo (cont.) Número médio de impactos por região: λ = 535/576 = 0,929 Queremos a probabilidade de dois impactos em uma região, fazemos x = 2 p(x;λ) ) = e λ λ x = 2, ,929.0,9290,929 2 = 0,170 x! 2!

33 Exercício cio 19 Em um teste de placas de circuito,, a probabilidade de que qualquer diodo vai falhar é 0,01. Suponha que uma placa tenha 200 diodos. a) Quantos diodos se espera que falhem e qual é o desvio-padrão padrão? b) Qual é a probabilidade (aproximada)) de que pelo menos quatro diodos irão falhar em uma placa aleatoriamente selecionada?

34 Exercício cio 19 (cont.) c) Se cinco placas são enviadas para um cliente, qual a probabilidade de que pelo menos quatro funcionarão apropriadamente?

35 Exercício cio 20 Um aviso é enviado a todos os proprietários rios de um certo tipo de automóvel solicitando que levem seus carros a uma concessionária para checar a presença de um defeito de fabricação ão. Suponha que 0,05% dos carros apresentem o defeito e considere uma amostra aleatória de carros. a) Quais são a esperança e o desvio-padrão do número de carros na amostra que apresentam defeito? b) Qual é a probabilidade (aproximada) que mais de 10 carros amostrados apresentem defeito?

36 Exercício cio 21 Num certo local distante da explosão de uma bomba,, o número médio de fragmentos por metro quadrado é 0,1. Queremos determinar a probabilidade de que pelo menos um fragmento atingirá uma área alvo de 2 m 2.

37 Processo de Poisson P k (t) ) = e α t (αt) k k! P k (t) denota a probabilidade de que k eventos com taxa α ocorrerão durante um intervalo de tempo t. Equivale a uma distribuição de Poisson em que λ = αt.

38 Exercício cio 22 Suponha que aeronaves de pequeno porte cheguem a um aeroporto de acordo com um processo de Poisson a uma taxa α de 8 anv/hora. Portanto, tem-se λ = 8t. a) Qual a probabilidade de que exatamente 5 aeronaves cheguem durante um período de uma hora? Pelo menos 5? Pelo menos 10?

39 Exercício cio 22 (cont.) b) Quais são a esperança e o desvio- padrão do número de aeronaves que chegam num período de 90 min? c) Qual é a probabilidade de que pelo menos 20 aeronaves cheguem num intervalo de 2,5 horas?? E que no máximo 10 cheguem nesse período odo?

40 Exercício cio 23 Uma missão de reconhecimento tem duração de d horas. Foi antecipado que 60% do tempo durante a missão o sensor estará no modo passivo com taxa λ p de falhas por hora e que no restante 40% do tempo o sensor estará no modo ativo,, com λ a falhas por hora.

41 Exercício cio 23 (cont.) Encontre a probabilidade de que não haja falha no sensor durante a missão. É relevante que o período de operação ativa ocorra no início da missão,, no final ou em fragmentos ao longo da missão?