PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE

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1 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 3.1 INTRODUÇÃO Muitas variáveis aleatórias associadas a experimentos aleatórios têm propriedades similares e, portanto, podem ser descritas através de uma mesma distribuição de probabilidade. Cada distribuição parte de pressuposições bem definidas. Um cuidado especial deve ser tomado ao escolher a distribuição de probabilidade que descreva corretamente as observações que são geradas no experimento aleatório. São apresentadas a seguir as principais distribuições de variáveis aleatórias discretas, suas características básicas, seus parâmetros, médias e variancias. 3.2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Esta é a mais simples de todas as distribuições de probabilidade e é aquela em que a v.a. assume todos os seus possíveis valores com probabilidades iguais. Assim se a v.a. X assume os valores x 1, x 2,..., x n com probabilidades iguais, então a função de probabilidade de X será : p ( x ) = 1 n, x = x 1, x 2,..., x n. Note que esta distribuição tem um único parâmetro: n A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO: µ = E(X) = i=1 n x 2 σ ( X) = V(X) = n i n i=1 (x µ i n ) 2

2 74 ESTATÍSTICA OBSERVAÇÃO : Em particular, se os valores de X forem equiespaçados, podemos mostrar que: µ = E(X) = x x 1 + n 2 EXEMPLO Quando um dado é jogado e o número da face voltada para uma é observado, o espaço amostral é : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada elemento de S tem a mesma probabilidade de ocorrência igual a 1/6. Portanto temos uma distribuição uniforme da v.a. X = n o de pontos, isto é : Graficamente : p(x) 1/6 p(x) = 1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, x 3.3 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Seja um experimento onde só podem ocorrer dois resultados: um que chamaremos de "sucesso" (S) e outro que chamaremos de "fracasso" (F). Por exemplos: uma moeda sendo lançada só pode levar a dois resultados: cara (S) e coroa (F); uma peça que é fabricada pode ser perfeita (S) ou defeituosa (F); uma pessoa pode responder sim (S) ou não (F) a uma questão; um componente eletrônico pode durar 500 horas ou mais (S) ou menos do que 500 horas (F); um sistema pode não falhar durante a operação por um período de 20 horas (S) ou pode apresentar uma ou mais falhar nesse período (F). Experimentos que podem levar a apenas dois resultados são geralmente chamados de Experimentos de Bernoulli (Jacques Bernoulli, , matemático suíço, foi o primeiro a descrever tais experimentos, no século XVII). Associamos uma v.a. X a estes resultados, de tal forma que:

3 ESTATÍSTICA 75 X = 1 se o resultado for um "sucesso" X = 0 se o resultado for um "fracasso" Se p for a probabilidade de ocorrer um "sucesso" então q = 1 - p será a probabilidade de ocorrer um "fracasso" no experimento. Podemos, daí, escrever a função de probabilidade da v.a. X: ou ainda, p(x) = P(X= x) = p, x= 1 q, x= 0 x 1 x p(x) = P(X = x) = p (1 p), x = 0,1 A Média e a Variancia: µ = E(X) = 0(1 p) + 1(p) = 0+ p= p σ 2 2 [ ( ] 2 = V(X) = (0-p) (1 p) + 1-p) p = pq Assim, a média da v.a. de Bernoulli é p, a proba bilidade de se obter sucesso. Note que se p for alta, a média de sucessos é alta também. Já a variancia é pq, o produto da probabilidade de sucesso pela probabilidade de fracasso e será máxima quando p=q=1/2. EXEMPLO Numa grande indústria têxtil, 80% dos funcionários são mulheres. Seja X a v.a. que assume o valor 1 quando um funcionário aleatoriamente escolhido é uma mulher e 0 quando o funcionário é um homem. Uma vez que é considerado "sucesso" quando o funcionário aleatoriamente escolhido é uma mulher, e 80% dos funcionários são mulheres, temos que: p = 0,8 e q = 1 - p = 0,2 µ= E(X) = 0,8 e σ² = 0,8 x 0,2 = 0,16

4 76 ESTATÍSTICA OBSERVAÇÃO: A probabilidade de sucesso, p, é uma proporção populacional, ou seja, é uma proporção de sucessos obtida ao longo do tempo. No exemplo anterior, a proporção da população (composta por todos os funcionários da indústria) é 0,8. Se uma amostra de 100 funcionários fosse tomada ao acaso e destes, 65 fossem mulheres, então 0,65 seria a proporção de mulheres nesta amostra de 100 elementos. Quanto maior a amostra, mais próxima a proporção amostral estará da proporção populacional. 3.4 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Suponha que se realize n vezes, independentemente, um experimento de Bernoulli e se observe uma v.a. X igual ao número de vezes em que ocorre "sucesso". Se p for a probabilidade de "sucesso", constante para todas as realizações do experimento, então a v.a. X terá distribuição binomial. Para construir a função de probabilidade da v.a. X devemos observar, inicialmente, que esta variável pode assumir os valores 0,1,...,n e que a probabilidade de "fracasso" será q = 1 - p. Quando realizamos n vezes um experimento de Bernoulli, observamos uma seqüência de "sucessos" (S) e "fracassos" (F). Considere, inicialmente, a seguinte particular seqüência: Considerando a independência e a probabilidade p de "sucesso" constante em todas as realizações do experimento, a probabilidade de ocorrência desta seqüência é: p p... p q q... q = px qn-x Podemos obter x "sucessos" (e portanto n-x "fracassos") em n realizações do n experimento através de seqüências possíveis como esta e todas elas terão a x mesma probabilidade de ocorrência px qn-x. Sendo assim, a probabilidade de se obter x "sucessos" será dada por:

5 ESTATÍSTICA 77 P(X=x) = px qn-x + px qn-x px qn-x = n px qn-x x Finalmente, podemos escrever, então, que a função de probabilidade de uma v.a. X com distribuição binomial é dada por: n p(x) = P(X=x) = px qn-x, x = 0, 1,..., n x Os parâmetros desta distribuição são: n: o número de realizações do experimento e p: a probabilidade de sucesso em cada realização do experimento. OBSERVAÇÕES : a) Ao utilizar esta distribuição devemos observar que o resultado definido para ser "sucesso" terá probabilidade p. O outro resultado será necessariamente definido como sendo "fracasso" e terá, consequentemente, probabilidade q = 1 - p. b) Uma vez definido o resultado que será "sucesso", a v.a. X será o número de "sucessos" observados em n realizações independentes do experimento. c) Note que a condição de independência é essencial. Caso contrário a função de probabilidade não poderia ser encontrada da forma mostrada acima. d) Ainda sobre a independência, podemos encontrá-la quando o experimento se trata de retirar uma amostra com reposição ou de uma população infinita. Poderia ser simplesmente a repetição de um experimento tal que possua probabilidade constante p de um determinado resultado (sucesso). e) A expressão obtida para P( X = x ) é o k-ésimo termo do desenvolvimento de (q + p) n segundo o binômio de Newton, daí o nome distribuição binomial dado a essa distribuição. f) n x = n! (n - x)! x! A Média e a Variancia: Para o cálculo da média e da variancia consideramos o fato de que uma v.a. X binomial (ou com distribuição binomial) com parâmetros n e p pode ser vista como uma soma de n v.a.'s independentes de Bernoulli X1, X2,..., Xn. Assim, utilizando as propriedades da média e da variancia e a média e variancia de uma v.a. de Bernoulli, temos que:

6 78 ESTATÍSTICA µ = E(X) = E (X1 + X Xn ) = = E (X1)+ E(X2)+... +E(Xn) = p + p p = np σ2 = V(X) = V (X1 + X Xn ) = = V (X1)+ V(X2)+... +V(Xn) = pq + pq pq = npq EXEMPLO 1: Considere o experimento binomial onde três moedas são lançadas. Suponha que as moedas são viciadas de tal forma que a probabilidade de ocorrer cara (H) seja 0.25 (e, consequentemente, a probabilidade de coroa (T) seja 0.75). Se o resultado "cara" for chamado de "sucesso", então uma v.a. X igual ao número de "sucessos" assume valores inteiros de 0 a 3. Os oito possíveis resultados, os valores correspondentes de X e suas probabilidades são: Resultado x p(x) TTT 0 q3 = TTH 1 q2.p = (0.75)2(0.25) THT 1 q.p.q= (0.75)(0.25)(0.75) HTT 1 p.q2= (0.25)(0.75)2 HHT 2 p2.q= (0.25)2(0.75) HTH 2 p.q.p= (0.25)(0.75)(0.25) THH 2 q.p2= (0.75)(0.25)2 HHH 3 p3 = Assim, p(0) = P(X=0) = = (0.25)0 (0.75)3 0 3 p(1) = P(X=1) = 3 (0.25)(0.75)2 = (0.25)(0.75)2 1 3 p(2) = P(X=2) = 3 (0.25)2(0.75) = (0.25)2(0.75) 2 3 p(3) = P(X=3) = (0.25)3 = (0.25)3 (0.75)0 3

7 ESTATÍSTICA 79 Graficamente, EXEMPLO 2 Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. ( a ) Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? ( b ) Qual é a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? ( c ) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas? Podemos considerar cada caixa de 5 peças como sendo 5 realizações independentes de um experimento de Bernoulli onde peça defeituosa é sucesso. Assim: sucesso = peça defeituosa p = 0,1, q = 1-0,1 = 0,9 n = 5 X = n o de peças defeituosas ( X = 0, 1,2, 3, 4, 5 ) A função de probabilidade de X é dada por: p(x) = P(X=x) = 5 x 5 x 0,1 0,9, x = 0,1,...,5 x ( a ) P(3 peças defeituosas) = P(X = 3) = ,, = 0,0081 ( b) P(2 ou mais peças defeituosas) = P(X 2) = 1 - P(X < 2) = [ P(X=0) + P(X=1) ] = ,,,, = 0,0815

8 80 ESTATÍSTICA ( c ) A empresa para multa se X 1. Portanto, para cada caixa: P(pagar multa) = P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 0,4095. Teremos, daí, uma nova binomial onde cada caixa pode ou não pagar multa (sucesso ou fracasso) com n = 1000 e p = 0,4095. O número esperado de caixas que pagam multa será : E( caixas que pagam multa ) = n p = (1000).(0,4095) = 409,5 O valor esperado da multa no lote será de: R$ (10,00) (409,5) = R$ 4095, DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Na distribuição Binomial a v.a. é o número de sucessos em n provas independentes do experimento. Vamos agora analisar uma v.a. X que denota o número de sucessos num intervalo contínuo, por exemplo, o número de falhas de um determinado sistema num intervalo de 4 horas, o número de defeitos por metro quadrado de uma chapa de aço, o número de aviões que chegam a um aeroporto por dia, o número de bactérias numa determinada cultura, etc. A v.a. X tem distribuição de Poisson. Um experimento de Poisson possui as seguintes características: 1 ) O número de sucessos que ocorrem num intervalo ou uma região especificada é independente daqueles que ocorrem em qualquer outro intervalo de tempo ou região disjunto. 2 ) A probabilidade de ocorrência de um único sucesso durante um intervalo pequeno ou numa região é proporcional ao comprimento do intervalo ou região e não depende do número de sucessos que ocorrem fora deste intervalo ou região. 3 ) A probabilidade de mais de um sucesso ocorrendo em tais intervalos pequenos ou regiões pequenas é desprezível. A função de probabilidade de uma v.a. X de Poisson é dada por: e λ x λ p(x) = P(X = x) =, x= 0,1,2,... x! onde λ, o parâmetro da distribuição, é o número médio de sucessos que ocorrem num dado intervalo ou região.

9 ESTATÍSTICA 81 A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO : µ = E(x) = λ σ 2 (x) = V(x) = λ EXEMPLO 1: Se um banco espera receber, em média, 3 cheques sem fundo por dia, qual a probabilidade de, num dia qualquer, receber: a) 4 cheques sem fundo; b) no máximo 2 cheques sem fundo; c) 5 cheques sem fundo em dois dias consecutivos. Seja a v.a. X = número de cheques sem fundo recebidos em um dia. Para um dia a média é λ = 3 e a função de probabilidade de X é: x e p(x) = P(X = x) =, x= 0,1,2,... x! 3 3 Assim, 3 4 e 3 a) p(4) = P(X = 4) = = 0, ! b) P(X 2) = p(0) + p(1) + p(2) = = c) Para dois dias, vamos considerar a v.a. Y=número de cheques sem fundo em dois dias; a média é λ = 6 e a função de probabilidade de Y é: e 6 y 6 p(y) = P(Y = y) =, y = 0,1,2,... y! Assim, e P(Y = 5) = = 0, !

10 82 ESTATÍSTICA EXEMPLO 2: Numa linha adutora de água, de 60km de extensão, o número de vazamentos no período de um mês, segue um processo de Poisson de parâmetro λ = 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3km de extensão? Para um intervalo de 60km de extensão, a média de vazamento é 4, então, num intervalo de 3km a média será µ = 0,2. Se X é a v.a. que representa o número de vazamentos em 3km, então a função de probabilidade de X será: p(x) = P(X = x) = e 0,2 0,2 x x!, x = 0,1,... P( pelo menos 1 vazamento ) = P(X 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = = 1 e -0,2., ! = 0, APROXIMAÇÃO DE POISSON PARA A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Suponha que uma v.a. X tenha distribuição Binomial com parâmetros n e p. Lembre, então, que a média é µ = n.p. Podemos mostrar que quando n é grande e p pequeno, mas mantém-se constante a média µ = n.p, então no limite temos a distribuição de Poisson de média µ. Ou seja : -np n x n-x e ( np) lim p ( p) n x 1 = x! p 0 x Note que isto significa que quando temos uma situação tipicamente binomial mas se observa que o número de realizações n é grande e a probabilidade p de sucessos é pequena, usamos este resultado, ou seja, usamos a distribuição de Poisson com parâmetro λ = n.p. Este fato faz com que a distribuição de Poisson se adapte bem aos chamados fenômenos raros, ou seja, pequenas probabilidades de ocorrência do evento sucesso, quando observado o experimento um grande número de vezes.

11 ESTATÍSTICA 83 EXEMPLO 1 Seja uma v.a. X que tem média µ=4. Os gráficos abaixo mostram a aproximação de Poisson em 2 casos : p = 1/3 ; n = 12 e p = 1/24 ; n = 96. µ = 4, p = 1/3, n =12 p(x) Distribuição Binomial = Distribuição de Poisson = µ = 4, p = 1/24, n =96 p(x) EXEMPLO 2 Num certo processo de fabricação no qual artigos de vidro são produzidos, defeitos (bolhas) ocorrem ocasionalmente, tornando a peça inadequada para venda. Sabe-se que em média 1 a cada 1000 desses artigos produzidos tem defeito. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 8000 artigos contenha menos de 7 artigos com defeito?

12 84 ESTATÍSTICA Este experimento é um experimento binomial com n = 8000, p = 0,001. Como p é pequeno e n cosideravelmente grande, vamos aproximar com a distribuição de Poisson, usando : µ = λ = n.p = ,001 = 8 Se X representa o número de artigos defeituosos, temos uma v.a. de Poisson com função de probabilidade dada por: p(x) = P(X=x) = e 8 8 x x!, x = 0,1,... P( X < 7 ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = = e. 8 0! e. 8 e. 8 e. 8 e. 8 e. 8 e = 0,3134 1! 2! 3! 4! 5! 6! DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA Considere um experimento que consiste em repetir um experimento de Bernoulli, independentemente, até conseguir o primeiro sucesso. A v.a. X que representa o número de realizações necessárias para isso, tem distribuição geométrica. Para encontrar a função de probabilidade basta observar que a ordem de fracassos e sucesso é a seguinte : x-1 1 F F... F S x Temos, daí, x-1 fracassos a 1 sucesso. Se a probabilidade de sucesso em cada prova é constante e igual a p (e a probabilidade de fracasso é q = 1 - p) então a probabilidade dessa seqüência é : q.q...q. p = p.q x-1 Portanto a função de probabilidade da v.a. X geométrica é : p(x) = P( X = x ) = p.q x-1, x = 1, 2,... onde p é a probabilidade de sucesso em cada realização do experimento.

13 ESTATÍSTICA 85 A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO : µ = E(x) = 1 p σ 2 (x) = V(x) = q p 2 PROPRIEDADE : A distribuição geométrica tem a propriedade de não ter memória, isto é, a probabilidade de que o número de provas até o 1 o sucesso seja s + t, sabendo-se que as s primeiras provas foram fracassos, é igual à probabilidade de o número de provas até o 1 o sucesso ser igual às t provas restantes, ou seja : P( X = s + t / X > s) = P( X = t ) F F... F F F... F S EXEMPLO s s + t O custo de lançamento de um foguete é de R$ Se o lançamento falhar ocorrerá um custo extra de R$ em virtude de consertos na plataforma de lançamento. A probabilidade de um lançamento ser bem sucedido é de 0,3. Os lançamentos são efetuados até que haja um bem sucedido. ( a ) Qual a probabilidade de serem lançados mais de 3 foguetes? ( b ) Sabendo-se que até o 2 o lançamento ainda não houve sucesso, qual a probabilidade de se conseguir sucesso no 4 o lançamento? ( c ) Qual o custo esperado do projeto? Seja a v.a X = n o de lançamentos até que haja um bem sucedido (X = 1, 2,...). A probabilidade de um sucesso em cada tentativa é p = 0,3 e a função de probabilidade de X é: p(x) = P(X=x) = (0,3) (0,7)x-1, x = 1,2,... t ( a ) P( lançados mais de 3 foguetes ) = P( X > 3 ) = 1 - P( X 3 ) = = 1 - [ P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) ] = = 1 - [(0,3)(0,7) 1-1 +(0,3)(0,7) 2-1 +(0,3)(0,7) 3-1 ] = = 0,343.

14 86 ESTATÍSTICA ( b ) P(X= 4/ X > 2) = P( X = 4 X > 2 ) P( X > 2) P( X = 4) = 1-[ P( X =1)+P( X = 2) = 0,21. = P( X = 4) P( X > 2) = P( X = 4) 1-P( X 2) 4-1 (0,3)(0,7) = [(0,3)(0,7) +(0,3)(0,7) ] = = Este resultado é igual a P( X = 2 ) = (0,3) (0,7) 2-1 = 0,21, que resulta da propriedade da distribuição geométrica. P( X = s+t / X > s) = P( X = 2 +2 / X > 2) = = P( X = 2). ( c ) Serão lançados X foguetes. O gasto total será então : G = ( X -1) = X O valor esperado do gasto é : E(G) = E( X ) = E(X) = = (1/p) = (1/0,3) = DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL Considere um experimento que consiste em repetir um experimento de Bernoulli, independentemente, até conseguir r sucessos. A v.a. X que representa o número de realizações necessárias para isso, tem distribuição de Pascal e sua função de probabilidade é dada por : p(x) = P(X = x) = x-1 r-1 r x-r p q, x = r, r +1, r + 2,... onde p é a probabilidade de sucesso em cada realização do experimento, q= 1-p e r é o número de sucessos. A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO : µ = E(X) = r p σ X) = V(X) = r.q 2 ( 2 p

15 ESTATÍSTICA 87 EXEMPLO Num processo de fabricação 20% dos objetos produzidos são defeituosos. Qual é a probabilidade de precisarmos retirar somente 10 objetos para ter 5 defeituosos? Ou em outras palavras, qual é a probabilidade do 5 o objeto defeituoso aparecer na 10ª retirada? Seja a v.a. X = n o de retiradas até encontrar r = 5 objetos defeituosos (X = 5, 6,... ). A probabilidade de sucesso (objeto defeituoso) em cada retirada é p = 0,2. Daí : P(X = 10) = x-1 r-1 p r q x-r = 10 1 (0,2) ( 0, 8) = 0, DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL Seja um experimento que pode apresentar k resultados mutuamente exclusivos, com probabilidades p 1, p 2,... p k e sejam as v.a. s X 1, X 2,..., X k iguais ao número de vezes que cada um dos resultados ocorre, respectivamente, quando o experimento é realizado n vezes, independentemente. A função de probabilidade das v.a. s X 1, X 2,..., X k é dada por : P(X = x, X = x,...,x = x ) = k k n! x! x!... x! 1 2 k x x p p... p 1 2 xk 1 2 k k onde : x i = n e p i = 1 i=1 k i=1 A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO : µ i = E(X i ) = n.p i σ 2 (X i ) = V(X i ) = n.p i.q i

16 88 ESTATÍSTICA EXEMPLO Uma fábrica tem sua produção composta de 30% da máquina A, 20% da máquina B e 50% da máquina C. Retirando-se 9 peças da produção : ( a ) Qual a probabilidade de serem 4 da máquina A, 2 da máquina B e 3 da máquina C? ( b ) Qual a probabilidade de não haver nas 9 peças nenhuma da máquina B? Sejam as variáveis aleatórias : X 1 = n o de peças produzidas pela máquina A ( p 1 = 0,3 ). X 2 = n o de peças produzidas pela máquina B ( p 2 = 0,2 ). X3 = no de peças produzidas pela máquina C ( p3 = 0,5 ). n = 9 ( a ) P( X 1 = 4, X 2 = 3, X 3 = 3 ) = 9! 4! 2! 3! Note que : x 1 + x 2 + x 3 = = 9, p 1 + p 2 + p 3 = 0,3 + 0,2 + 0,5 = 1. (0,3) ( 02, ) ( 05, ) = 0,0510. ( b ) Podemos considerar sair peça da máquina B sucesso, e não sair, fracasso. Temos, assim, uma distribuição binomial com : p = 0,2 q = 0,8 n = 9 X = n o de peças que saem da máquina B. P(X = 0) = n x p.q = 9 x n-x 0 (0,2) 0, ( 08, ) 9 0 = 0, DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Consideremos um conjunto de N elementos, r dos quais tem uma determinada característica ( r N ). Serão extraídos n elementos ( n N ) sem reposição. A distribuição de probabilidade da v.a. X, igual ao n o de elementos com a referida característica que estarão entre os n retirados é dita hipergeométrica.

17 ESTATÍSTICA 89 N r x n A função de probabilidade é : r N r x n x p(x) = P(X=x) = N n, x = 0, 1,... ( r ou n ) A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO : µ = E(X) = n.p σ 2 (X) = V(X) = n.p.q N-n N-1 onde p = r / N EXEMPLO Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso para a iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que : ( a ) exatamente duas estejam queimadas? ( b ) pelo menos uma esteja boa? N=12 n=6 r=5 X = n o de lâmpadas queimadas retiradas. ( a ) P( X = 2) = = 0,3787. ( b ) Se são retiradas 6 lâmpadas e somente 5 estão queimadas, necessariamente pelo menos uma será boa, portanto : P( pelo menos uma boa ) = 1.