Probabilidade e Estatística. Estimação de Parâmetros Intervalo de Confiança

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1 Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva Estimação de Parâmetros Intervalo de Confiança

2 Introdução A inferência estatística é o processo que consiste em utilizar as estatísticas amostrais (estimadores), para se obter informações sobre a população. Pode-se fazer inferência estatística através da Estimação e dos Testes de Hipóteses. A estimação é o processo que consiste em utilizar as estatísticas amostrais, para estimar os parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer parâmetro populacional pode ser estimado através de uma estatística amostral. Existe duas formas de fazer a estimação de parâmetros: por ponto ou intervalar (intervalo de confiança).

3 Intervalo de confiança Intervalo de confiança (IC) ou estimativa intervalar é o intervalo de valores que contém o parâmetro da população com uma determinada probabilidade de acerto.

4 Intervalo de confiança O nível de confiança (1 α) é a probabilidade de que o intervalo de confiança estimado contenha o parâmetro populacional. α é denominado nível de significância. e são os valores críticos

5 Intervalo de confiança Podem ser determinados intervalos de confiança para diferentes parâmetros populacionais como: Média Diferença entre médias Variância Proporção Diferença entre proporções Etc.

6 Intervalo de confiança para média O intervalo de confiança para μ é baseada na distribuição amostral da média e no nível de confiança. Não é necessário que os dados estejam normalizados. A variância populacional pode ou não ser conhecida.

7 IC para média com variância conhecida Para população infinita: é erro de estimativa

8 IC para média com variância conhecida Para população finita utiliza-se o fator de correção para o desvio-padrão:

9 IC para média com variância conhecida Exemplo Uma variável aleatória contínua X tem média μ e variância σ = 16. Uma amostra é obtida aleatoriamente com 40 valores obtendo média igual a 13. Construir um intervalo de confiança com nível de significância de 5% para μ.

10 Tabela Z

11 IC para média com variância desconhecida A variância populacional é estimada através da variância amostral. O intervalo de confiança é obtido através da distribuição t de Student com (n 1) graus de liberdade

12 IC para média com variância desconhecida Exemplo: As notas de uma prova de Matemática de uma amostra de 10 alunos de uma turma de uma determinada escola estão apresentadas na tabela abaixo. Construir um intervalo de confiança de 90% para a média das notas de Matemática de todos os alunos desta escola. Aluno Soma Nota 5,5 6,0 3,5 8,0 7,0 3,0 4,0 9,0 6,5 7,5 60,0

13 Tabela t de Student

14 Intervalo de confiança para Se Xi ~ N(, ) X i então ~ N (0,1) Logo: ( X i ) ~ 1 Portanto: n i 1 ( X ) i ~ n n i 1 mas ( X X) i ~ n 1 (perde-se 1 grau de liberdade) n ( Xi X) n i 1 ( i ) ( 1) n 1 i 1 s X X n s ( n 1) s ~ n 1

15 Intervalo de confiança para n xa xb +

16 Intervalo de confiança para Exemplo: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição desconhecida com média μ e variância σ. Retira-se uma amostra de 1 valores com variância s =,34. Construir um intervalo de confiança de 95% para a variância populacional.

17 Tabela da Qui-quadrado ( )

18 Intervalo de confiança para proporção p Como o desvio-padrão muitas vezes não é conhecido, então pode ser estimado por

19 Intervalo de confiança para proporção p Exemplo: De 10 peças fabricadas, 1037 são perfeitas. Supondo o número de peças fabricadas está normalmente distribuído, construir um intervalo de confiança ao nível de 1% de significância para a proporção de peças fabricadas que são defeituosas.

20 Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias Sabe-se que: e ( x z = ( x 1 - x 1 - x) - ( 1 - ) 1 n 1 + n ) ~ N( 1 -, n n ) Então: Observação: Quando os desvios-padrão populacionais σ 1 e σ são desconhecidos, uma boa aproximação é obtida substituindo-os pelos respectivos desvios-padrão amostrais s 1 e s, levando em conta algumas considerações.

21 Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias Exemplo: Foi escolhido uma turma de uma escola A e uma turma de uma escola B e aplicado uma prova de Probabilidade e Estatística. A turma da escola A com 50 alunos obteve média 76 com desvio-padrão de 6 e a turma da escola B com 75 alunos obteve média 8 com desvio-padrão de 8. Encontre um intervalo de confiança, com 5% de significância, para a diferença µ 1 - µ, onde µ 1 representa a média de todos alunos da escola A e µ a média de todos os alunos da escola B que poderiam fazer esta prova.

22 Intervalo de confiança para a diferença entre duas proporções Sabe-se que: e Então: O desvio-padrão pode ser estimado por:

23 Intervalo de confiança para a diferença entre duas proporções Exemplo: Seja p 1 e p as proporções de defeitos de um processo já existente e de um novo processo, respectivamente. Uma amostra de 1500 itens do processo já existente apresentou 75 itens com defeitos e uma amostra de 000 itens do novo processo apresentou 80 itens com defeitos. Construir um intervalo de confiança de 90% para p 1 p.

24 Dimensionamento de Amostras Tamanho de Amostra para Estimar a Média População infinita (com reposição) População finita (sem reposição)

25 Dimensionamento de Amostras Tamanho de Amostra para Estimar a Proporção População infinita (com reposição) População finita (sem reposição)

26 Dimensionamento de Amostras Exemplos 1) Peças são produzidas em grande escala numa indústria e deseja-se fazer um estudo sobre a massa das peças produzidas no mês. Pela especificação do produto, o desvio padrão é 10 kg e tolera-se um erro amostral até kg. Determine o tamanho da amostra para construir um intervalo de confiança com 5% de significância. = 96

27 Dimensionamento de Amostras Exemplos ) Considere que no exemplo anterior a produção mensal da indústria é de 500 peças. = 81

28 Dimensionamento de Amostras Exemplos 3) Uma fábrica tem um grande número de funcionários e deseja-se verificar quantos são sindicalizados. Presume-se que esse número não seja superior a 30% do total dos funcionários. Estimar o número de funcionários sindicalizados a um nível de confiança de 90% com tolerância de erro de 3%. = 631

29 Dimensionamento de Amostras Exemplos 4) Considere que no exemplo anterior que a fábrica tem 1500 funcionários = 445

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