Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal"

Transcrição

1 Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

2 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória: quais são os resultados possíveis; qual é a probabilidade de cada resultado acontecer. Variável discreta: pares valores probabilidade. Variável contínua: função densidade de probabilidades 2

3 Modelo de Bernoulli Modelo teórico discreto Apenas dois resultados possíveis: sucesso, fracasso. x p(x) 0 p p Total E(X) = p V(X) = p ( p) F( x) 0 - p se se se x 0 0 x x 3

4 Modelo Binomial Modelo teórico discreto X terá distribuição binomial se: X = X + X X n X, X 2,..., X n variáveis aleatórias discretas INDEPENDENTES com distribuição de Bernoulli, com parâmetro p CONSTANTE. X: número de sucessos em n realizações de um experimento de Bernoulli Com probabilidade de sucesso p constante (0 < p < ) 4

5 Exemplo Lançamento de moeda honesta 4 vezes, identificação face voltada para cima: registro do número de caras (C). Sucesso = Cara; p = 0,5; p = 0,5 Independência P(X=0) = P(K K 2 K 3 K 4 ) = P(K ) P(K 2 ) P(K 3 ) P(K 4 ) P(X=0) = ( p) 4 = 0,0625 P(X=) = P[(C K 2 K 3 K 4 ) (K C 2 K 3 K 4 ) [(K K 2 C 3 K 4 ) [(K K 2 K 3 C 4 ) ] Cada sub-evento é M.E. com os outros. P(X=) = 4 p (-p) 3 = 0,25 5

6 Modelo binomial 6 x n p x p x n x X P ) ( (x = 0,,..., n)!!!, x x n n = x n C x n E(X) = n p V(X) = n p ( p)

7 Exemplo pelo modelo binomial n = 4; p = 0,5; p = 0,5 P( X 0) 4 0, ,5 0,0625 0, 0625 P( X ) 4 0,5 4 0,5 40,5 0,25 0, 25 7

8 Probabilidades Exemplo pelo modelo binomial 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 Distribuição binomial (n = 4; p = 0,5) X = Número de caras em 4 lançamentos da moeda E(X) = n p = 4 0,5 = 2 V(X) = n p ( p) = 4 0,5 0,5 = 8

9 Modelo de Poisson Modelo teórico discreto. Experimento aleatório com espaço amostral infinito enumerável. Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço): distribuição de Poisson. Exemplos: chamadas telefônicas por minuto, mensagens que chegam a um servidor por segundo acidentes por dia, defeitos por m2, etc.. 9

10 Modelo de Poisson X = núm. de ocorrências em [t, t+] t t+ n intervalos de amplitude /n, com n p = probab. de ocorrência em cada intervalo P( X n x x nx x) p ( p) n p 0 n p > 0 P( X x) t x t e x! (x =0,, 2,...) 0

11 Modelo de Poisson P( X x) e t t x (x = 0,, 2,...) x! E( X ) t V ( X ) t

12 Exemplo 2 Estudos de tráfego mostram que cerca de 3 mensagens chegam a um servidor a cada milissegundo. Calcule a probabilidade de que pelo menos 4 mensagens cheguem em milissegundo. P( X 4) P( X 4) P( X 5)... P( X 4) P( X 4) P( X 4) P( X 0) P( X ) P( X 2) P( X 3) 2

13 Exemplo 2 3 x P(X=x) Resultado 0 0,0498 0, , ,224 0! 3 0) ( 0 3 e X P! 3 ) ( 3 e X P 2! 3 2) ( 2 3 e X P 3! 3 3) ( 3 3 e X P 0,3528 0,6472 4) ( X P

14 Modelo teórico contínuo. f(x) Modelo Uniforme f(x) = x 4

15 f(x) Modelo Uniforme a b x P(a < X < b) = b - a E( X ) Var( X )

16 Modelo Exponencial Relação com a Poisson. X: variável aleatória discreta com distribuição de Poisson número de ocorrências em um intervalo finito com uma taxa λ. T: variável aleatória contínua tempo entre as ocorrências seguirá uma distribuição exponencial com valor esperado /λ 6

17 Modelo Exponencial f(t) f(t) = e - t, λ e t > 0 E( T) Var( T) 2 P(T > t 0 ) = e - t 0 t 0 t 7

18 Exemplo 3 O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano? 8

19 Exemplo 3 = 0,75 P(T > t) = e - t P(T > ) = e -() = 0,4724 ou 47,24% 9

20 Frequências Modelo Normal Muitas variáveis aleatórias tem distribuições como: Alturas de homens adultos ,4,5,6,7 Alturas (m),8,9 2,0 20

21 Modelo Normal f(x) f ( x) x e 2 x ( ) 2 : média : desvio padrão 2 2

22 Características Área abaixo da curva é igual a (00% de probabilidade). A variável aleatória pode assumir valores de - a +. Área = x 22

23 Características Simetria em relação à média. 50% x 23

24 Exemplo área = 68,3%

25 Exemplo área = 95,4%

26 Exemplo área = 99,7%

27 Normal Padronizada z = x - z - variável normal padronizada x - variável normal - média - desvio padrão 27

28 Normal Padronizada x z 28

29 Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média n p e variância n p (- p) x 29

30 Exemplo 4 Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 0 perguntas, seja X o número de respostas corretas. 30

31 Exemplo 4 Distribuição binomial: n=0 p=0,5 P(X) 0,205 0,246 0,205 0,7 0,7 0,044 0,00 0,0 0,044 0,0 0, número de respostas corretas (X) 3

32 Exemplo 4 Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas? P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(0)=0,7+0,044+0,00+0,00=0,72 0,205 0,246 0,205 P(X>6) = 0,72 0,7 0,7 0,044 0,00 0,0 0,044 0,0 0,

33 Exemplo 4 (de novo) Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal) P(X>6,5) x 33

34 Exemplo 4 (de novo) P(X>6,5) 5 6,5 x 34

35 Exemplo 4 (de novo) = 5 =,5839 x = 6,5 x - 6,5-5 z = = = 0,95, ,95 0,7 Lembrando: a probabilidade. Exata (pela binomial) era de 0,720 z 35

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal 1 Distribuição de Probabilidades A distribuição

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 1 Probabilidade

Leia mais

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa.

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Narciso Gonçalves da Silva www.pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Introdução Distribuições Discretas de Probabilidade Muitas variáveis

Leia mais

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 004 Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas APOIO: Fundação de Apoio

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável Aleatória

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/famat/viali/ s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X X(s) R X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real X(s) é denominada

Leia mais

Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística I Aula 8 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Lembram o que vimos sobre V.A. contínua na Aula 6? Definição: uma variável

Leia mais

Modelos Probabiĺısticos Discretos

Modelos Probabiĺısticos Discretos Discretos Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 19 de Setembro de 2017 Material de Apoio e-mail: gilbertoliska@unipampa.edu.br Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de 2017 1 /

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte IV 2012/02 1 Distribuição Poisson Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Ententer suposições para cada uma das

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Modelos de distribuição Para utilizar a teoria

Leia mais

Estatística. Capítulo 4: Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 4: Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 4: Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Capítulo 4 Baseado no Capítulo 4 do livro texto, Distribuições Teóricas de Probabilidades

Leia mais

PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Aula 7 11 e 12 abril MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocásticos

PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Aula 7 11 e 12 abril MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocásticos PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Aula 7 11 e 12 abril 2007 1 Distribuições Discretas 1. Distribuição Bernoulli 2. Distribuição Binomial 3. Distribuição Geométrica 4. Distribuição Pascal

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Distribuição Geométrica Considere novamente uma sequência

Leia mais

Introdução à probabilidade e estatística I

Introdução à probabilidade e estatística I Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ ESTATÍSTICA II Nota de aula 1 Prof. MSc. Herivelto T Marcondes dos Santos Fevereiro /2009 1 Modelos de probabilidade 1.1 Variável aleatória Definição: Sejam ε um

Leia mais

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é

Leia mais

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística Capítulo 3 Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística definições e propriedades: Propriedade 5: A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um evento pode mudar se soubermos

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Distribuições Teóricas de Probabilidade Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas

Leia mais

Modelos Binomial e Poisson

Modelos Binomial e Poisson Modelos Binomial e Poisson Cristian Villegas clobos@usp.br http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/lce0216/ 1 Distribuição Bernoulli Se um experimento possui dois possíveis resultados, sucesso

Leia mais

a) Considerando o lançamento de dois dados, o espaço amostral é Tabela 1: Tabela de distribuição de X. X P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

a) Considerando o lançamento de dois dados, o espaço amostral é Tabela 1: Tabela de distribuição de X. X P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 1 Exercício 1 Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. a) Encontre a tabela da distribuição dessa variável. b) Construa o gráfico

Leia mais

rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aleatórias Discretas

rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aleatórias Discretas ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 03: Variáveis Aleatórias Discretas Qual a similaridade na natureza dessas grandezas? Tempo de espera de um ônibus

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade

Leia mais

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB.

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 1) Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas. X : o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116. Y :

Leia mais

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada Variável Aleatória Uma função X que associa a cada Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado

Leia mais

1 Distribuição de Bernoulli

1 Distribuição de Bernoulli Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 6 Professor: Carlos Sérgio Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos

Leia mais

Variáveis Aleatórias - VA

Variáveis Aleatórias - VA Variáveis Aleatórias - VA cc ck kc kk 0 1 2 1/4 1/2 Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - Introdução Se entende por VA ou V. indicadoras uma lista de valores

Leia mais

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari denise@ita.br Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte II 29 de Março de 2011 Distribuição Uniforme Discreta Média Propriedade da falta de memória Objetivos Ao final deste capítulo você

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade 1 Aspectos Gerais 2 Variáveis Aleatórias 3 Distribuições de Probabilidade Binomiais 4 Média e Variância da Distribuição Binomial 5 Distribuição de Poisson 1 1 Aspectos Gerais

Leia mais

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008 Variável Aleatória Gilson Barbosa Dourado gdourado@uneb.br 6 de agosto de 2008 Denição de Variável Aleatória Considere um experimento E e seu espaço amostral Ω = {a 1, a 2,..., a n }. Variável aleatória

Leia mais

PARTE 2. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini

PARTE 2. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini PARTE 2 Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini Conteúdo Introdução a Probabilidade Conceito de Experimento Conceito de Espaço Amostral Conceito de Variável Aleatória Principais Distribuições de Probabilidade

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades Itens 5. e 6. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 Variável aleatória Uma variável

Leia mais

Variável Aleatória Poisson. Número de erros de impressão em uma

Variável Aleatória Poisson. Número de erros de impressão em uma EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 7. Principais Variáveis Aleatórias Discretas Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Variável Aleatória Poisson Caraterização: Usa-se quando o experimento

Leia mais

Experimento Aleatório

Experimento Aleatório Probabilidades 1 Experimento Aleatório Experimento aleatório (E) é o processo pelo qual uma observação é ob;da. Exemplos: ü E 1 : Jogar uma moeda 3 vezes e observar o número de caras ob;das; ü E 2 : Lançar

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 AULAS 6 e 7 ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 Em aulas passadas vimos as funções de probabilidade de variáveis discretas e contínuas agora vamos ver

Leia mais

Modelos básicos de distribuição de probabilidade

Modelos básicos de distribuição de probabilidade Capítulo 6 Modelos básicos de distribuição de probabilidade Muitas variáveis aleatórias, discretas e contínuas, podem ser descritas por modelos de probabilidade já conhecidos. Tais modelos permitem não

Leia mais

Bioestatística F. Modelo Binomial. Enrico A. Colosimo

Bioestatística F. Modelo Binomial. Enrico A. Colosimo Bioestatística F Modelo Binomial Enrico A. Colosimo Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais http://www.est.ufmg.br/~enricoc 2011 1 / 1 Variável aleatória discreta Definição Uma

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1 Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo

Leia mais

Capítulo4- Modelos de probabilidade.

Capítulo4- Modelos de probabilidade. Capítulo4- Modelos de probabilidade. 1- Modelos de probabilidade(110) 1.1) Introdução.(110) 1.) Fenómenos aleatórios(11) Experiência determinística-produz sempre o mesmo resultado desde que seja repetido

Leia mais

Tema 4- Modelos de probabilidade. (Versão: para o manual a partir de 2016/17)

Tema 4- Modelos de probabilidade. (Versão: para o manual a partir de 2016/17) Tema 4- Modelos de probabilidade. (Versão: para o manual a partir de 016/17) 1- Modelos de probabilidade(136) 1.1) Introdução.(36) (Vídeo: 33) 1.) Fenómenos aleatórios(138) Experiência determinística-produz

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Contínuas 1/19

Distribuições de Probabilidade Contínuas 1/19 all Distribuições de Probabilidade Contínuas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte

Leia mais

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC Assunto: Função Densidade de Probabilidade Prof. Mariana Pereira de Melo 1. Suponha que f(x) = x/8 para 3

Leia mais

Aula 07. Modelos Probabilísticos. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

Aula 07. Modelos Probabilísticos. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1 ula 07 Modelos Probabilísticos Stela dami Vayego - DEST/UFPR 1 Probabilidade Universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas,... Modelos Probabilísticos Distribuições de Frequências Resultados ou

Leia mais

2.1 Variáveis Aleatórias Discretas

2.1 Variáveis Aleatórias Discretas 4CCENDMMT02-P PROBABILIDADE E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Girlan de Lira e Silva (1),José Gomes de Assis (3) Centro de Ciências Exatas e da Natureza /Departamento de Matemática /MONITORIA Resumo: Utilizamos

Leia mais

Probabilidade. Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade

Probabilidade. Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade Probabilidade Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Indica o valor correspondente ao resultado de um experimento A palavra aleatória indica que, em

Leia mais

Cap. 8 - Variáveis Aleatórias

Cap. 8 - Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras ESQUEMA DO CAPÍTULO 8.1 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 8.2 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8.3 O PROCESSO DE POISSON

Leia mais

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório?

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório? Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos

Leia mais

Probabilidade Revisão de Conceitos

Probabilidade Revisão de Conceitos Probabilidade Revisão de Conceitos Espaço de Amostras A totalidade dos possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo: jogar dados S = {(1,1),(1,),... (,1),(,)... (6,6)} S é dito o número de

Leia mais

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Definições, Principais Tipos, Aplicações em Confiabilidade de Sistemas CLARKE, A. B., DISNEY, R. L. Probabilidade e Processos Estocásticos, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos

Leia mais

Estatística Aplicada I

Estatística Aplicada I Estatística Aplicada I ESPERANCA MATEMATICA AULA 1 25/04/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Abril de 2017 EXPERIMENTO RESULTADOS EXPERIMENTAIS VARIÁVEL ALEATÓRIA X = variável aleatória = descrição numérica

Leia mais

Distribuições Discretas

Distribuições Discretas META: Estudar o comportamento das Variáveis Aleatórias Discretas, bem como das Distribuições Binomial e Poisson e suas aplicações. Entender o comportamento de uma Variável aleatória Contínua. OBJETIVOS:

Leia mais

PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves

PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE NO ENEM As questões de probabilidade no Enem podem cobrar conceitos relacionados com probabilidade condicional e probabilidade de eventos simultâneos.

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema

Leia mais

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

Técnicas Computacionais em Probabilidade e Estatística I. Aula I

Técnicas Computacionais em Probabilidade e Estatística I. Aula I Técnicas Computacionais em Probabilidade e Estatística I Aula I Chang Chiann MAE 5704- IME/USP 1º Sem/2008 1 Análise de Um conjunto de dados objetivo: tratamento de um conjunto de dados. uma amostra de

Leia mais

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade de Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade de Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia

Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia Carlos R. V. Kiffer Médico Infectologista Professor Doutor / Pesquisador Visitante LEMC / UNIFESP Sumário O que é Estatística? Conceitos População

Leia mais

Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade

Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade Espaço Amostral Base da Teoria de Probabilidades Experimentos são realizados resultados NÃO conhecidos previamente Experimento aleatório Exemplos: Determinar

Leia mais

ICMS/PE 2014 Resolução da Prova de Estatística Professor Fábio Amorim. ICMS PE 2014: Resolução da prova de Estatística Prof.

ICMS/PE 2014 Resolução da Prova de Estatística Professor Fábio Amorim. ICMS PE 2014: Resolução da prova de Estatística Prof. ICMS/PE 2014 Resolução da Prova de Estatística Professor Fábio Amorim 1 de 6 Pessoal, segue a resolução das questões de Estatística da prova realizada pela SEFAZ-PE, para o cargo de Auditor Fiscal do Tesouro

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos. Conceitos básicos, variáveis aleatórias

Probabilidade e Modelos Probabilísticos. Conceitos básicos, variáveis aleatórias robabilidade e Modelos robabilísticos Conceitos básicos, variáveis aleatórias 1 Incerteza e robabilidade Tomar decisões: Curso mais provável de ação: Se desejamos passear de barco e não sabemos nadar,

Leia mais

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD)

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD) Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações podem ser descritas por uma variável

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 1 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações

Leia mais

Cap. 4 - Probabilidade

Cap. 4 - Probabilidade Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa

Leia mais

Distribuições Importantes. Distribuições Discretas

Distribuições Importantes. Distribuições Discretas Distribuições Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Bernoulli Definição Prova ou experiência de Bernoulli é uma experiência aleatória que apenas tem dois resultados possíveis: A que se designa

Leia mais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Introdução Considere o experimento: Lançamento de uma moeda. Resultados

Leia mais

PRO 2271 ESTATÍSTICA I. 3. Distribuições de Probabilidades

PRO 2271 ESTATÍSTICA I. 3. Distribuições de Probabilidades PRO71 ESTATÍSTICA 3.1 PRO 71 ESTATÍSTICA I 3. Distribuições de Probabilidades Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são valores numéricos que são atribuídos aos resultados de um eperimento aleatório.

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 7 11/2014 Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Probabilidade e Estatística 3/41 Variáveis Aleatórias Colete

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Distribuição Normal

Distribuições de Probabilidade. Distribuição Normal Distribuições de Probabilidade Distribuição Normal 1 Distribuição Normal ou Gaussiana A distribuição Normal ou Gaussiana é muito utilizada em análises estatísticas. É uma distribuição simétrica em torno

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte I 2012/02 1 Variáveis Aleatórias Contínuas 2 Distribuições de Probabilidade e Funções Densidades de Probabil 3 4 Objetivos Ao final

Leia mais

Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine)

Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine) Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1 Objetivos: Neste capítulo, você aprenderá:

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova de Probabilidade Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 31 de outubro de 014 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva

Leia mais

MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel

MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 e 16 Introdução à probabilidade (eventos,

Leia mais

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais O que é probabilidade? Número de 0 até 1 que expressa a tendência de

Leia mais

Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener

Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia Elétrica Processos Estocásticos Campina Grande - PB Módulo

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017 VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências Estatística Aplicada à Engenharia

Leia mais

AULA 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS

AULA 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA MEAU- MESTRADO EM ENGENHARIA AMBIENTAL URBANA ENG C 18 Métodos de Pesquisa Quantitativos e Qualitativos AULA 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS Docente: Cira Souza

Leia mais

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais O que é probabilidade? Número de 0 até 1 que expressa a tendência de

Leia mais

SUMÁRIO. Prefácio, Espaço amostrai, Definição de probabilidade, Probabilidades finitas dos espaços amostrais fin itos, 20

SUMÁRIO. Prefácio, Espaço amostrai, Definição de probabilidade, Probabilidades finitas dos espaços amostrais fin itos, 20 SUMÁRIO Prefácio, 1 3 1 CÁLCULO DAS PROBABILIDADES, 15 1.1 Introdução, 15 1.2 Caracterização de um experimento aleatório, 15 1.3 Espaço amostrai, 16 1.4 Evento, 17 1.5 Eventos mutuamente exclusivos, 17

Leia mais

Estatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade

Estatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação

Leia mais

Fundamentos de Estatística

Fundamentos de Estatística Fundamentos de Estatística Clássica Workshop Análise de Incertezas e Validação Programa de Verão 2017 Marcio Borges 1 1LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA mrborges@lncc.br Petrópolis, 9 de Fevereiro

Leia mais

Distribuições discretas de probabilidade

Distribuições discretas de probabilidade 4 Distribuições discretas de probabilidade x = número de respostas corretas x = número de chegadas pontuais Estatística Aplicada Larson Farber x = número de funcionários que alcançou a cota de vendas x

Leia mais

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias 1 Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias Nos programas de simulação existe um GNA e inúmeras outras funções matemáticas descritas como Funções Geradoras de

Leia mais

HEP-5800 BIOESTATÍSTICA. Capitulo 2

HEP-5800 BIOESTATÍSTICA. Capitulo 2 HEP-5800 BIOESTATÍSTICA Capitulo 2 NOÇÕES DE PROBABILIDADE, DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, DISTRIBUIÇÃO NORMAL Nilza Nunes da Silva Regina T. I. Bernal MARÇO DE 2012 2 1. NOÇÕES DE PROBABILIDADE 1. DEFINIÇÃO Considere

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu (DepMAT ESTV) Distribuições de Probabilidade 2007/2008 1 / 31 Introdução Introdução Já vimos como caracterizar

Leia mais

Estatística 1. Resumo Teórico

Estatística 1. Resumo Teórico Estatística 1 Resumo Teórico Conceitos do Curso 1. Tipos de Variáveis e Representações Gráficas a. Tipos de Variáveis b. Distribuição de Frequências c. Histograma 2. Estatística Descritiva Medidas Estatísticas

Leia mais

Conjunto de Valores. A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores. A Função de Probabilidade (fp) Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br htt://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Bernoulli Binomial Binomial Negativa ou Pascal Geométrica Hiergeométrica Uniforme Poisson Eerimento Qualquer um que corresonda a

Leia mais

Coleta e Modelagem dos Dados de Entrada

Coleta e Modelagem dos Dados de Entrada Slide 1 Módulo 02 Coleta e Modelagem dos Dados de Entrada Prof. Afonso C. Medina Prof. Leonardo Chwif Três Etapas Coleta Tratamento Inferência Coleta dos Dados 1. Escolha adequada da variável de estudo

Leia mais

Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430

Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Fabrício Simões IFBA 16 de novembro de 2015 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 16 de novembro de 2015 1 / 34 1 Motivação 2 Conceitos

Leia mais

PROBABILIDADE. Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti

PROBABILIDADE. Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de incerteza que existe em um determinado experimento.

Leia mais

Aula de Estatística 13/10 à 19/10. Capítulo 4 (pág. 155) Distribuições Discretas de Probabilidades

Aula de Estatística 13/10 à 19/10. Capítulo 4 (pág. 155) Distribuições Discretas de Probabilidades Aula de Estatística 13/10 à 19/10 Capítulo 4 (pág. 155) Distribuições Discretas de Probabilidades 4.1 Distribuições de probabilidades Variáveis Aleatórias Geralmente, o resultado de um experimento de probabilidades

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE ESTATÍSTICA

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE ESTATÍSTICA RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE ESTATÍSTICA Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução resumida das questões de Estatística da prova de Auditor da SEFAZ/PI 2015. Vale dizer que utilizei a numeração da prova

Leia mais

Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se

Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se Estatística Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se X 1,..., X n é uma amostra, T = função(x 1,..., X n é uma estatística. Exemplos X n = 1 n n i=1 X i = X 1+...+X n : a média amostral

Leia mais