Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008

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1 Variável Aleatória Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008

2 Denição de Variável Aleatória Considere um experimento E e seu espaço amostral Ω = {a 1, a 2,..., a n }. Variável aleatória é qualquer função que associa a cada elemento do espaço amostral um valor númerico. As variáveis aleatórias (v.a.) podem ser classicadas em: discretas (se assumir valores num conjunto enumeravel com certa probabilidade) contínua (se seu conjunto de valores qualquer intervalo dos números reais, o que seria um conjunto não enumerável).

3 Variável Aleatória Discreta Distribuição de Probabilidade Uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é uma relação dos distintos valores x i de X juntamente com as probabilidades associadas. A notação utilizada é a seguinte: P(X = x i ) = p(x i ) = p i, i = 1, 2,... ou ainda X x 1 x 2 x 3... P(X = x i ) p 1 p 2 p 3...

4 Para que uma função P(X = x i ) = p(x i ) seja uma distribuição de probabilide, é necessário que: 1. P(X = x i ) 0 e P(X = x i ) 1 2. P(X = x i ) = 1 3. P(X = x) = p(x)

5 Exemplo: No lançamento de duas moedas, a variável aleatória X anota o número de caras obitdas. Os valores de X e a função de probabilidade associada são: Ω = (C, C); (C, K); (K, C); (K, K), onde C é coroa e K cara. Evento CC CK KC KK X Valores de X Probabilidade P(X = x) 1/4 2/4 1/4 Exercício: No lançamento de dois dados, a variável aleatória S anota a soma das faces superiores do dado. Determine os valores de S e a função de probabilidade associada.

6 Função de Distribuição de Probabilidade A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é denida para qualquer número real x, pela seguinte expressão: F (X ) = P(X = x) Exemplo: Do exercício anterior, podemos calcular probabilidades do tipo P(X 5) = 1/ /36 + 3/36 + 4/36 = 10/36 P(X > 8) = P(X 9) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36 P(6 X ) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36

7 Para calcularmos probabilidades associadas a uma variável aleatória temos basicamente de saber calcular as probabilidades dos eventos: P(X = x) e P(X x) Outras probabilidades calculam-se como combinações dessas duas. Assim, no exemplo acima: P(X 9) = 1 P(X 8) P(6 X 8) = P(X 8) P(X < 6) = P(X 8) P(X 5)

8 Esperança Matemática ou Valor Esperado de uma Variável Aleatória Um valor esperado é simplesmente uma média dos possíveis resultados pesados de acordo com a sua probabilidade de ocorrência, isto é: E(X ) = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) x n P(X = x n ) n = x i P(X = x i ) i=1

9 Exercício: Um comerciante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira e na sexta-feira de 5%. Seu lucro é de u.m. se vender na segunda-feira é diminui 40% a cada dia. Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda. L ,80 P(L = l) 0,50 0,30 0,10 0,05 0,05 E(L) = , , , , 88 0, 05 = 2.199, 84

10 Propriedades do Valor Esperado Se a e b são constantes e X uma variável aleatória, então: 1. E(a) = a 2. E(bX ) = be(x ) 3. E(X ± a) = E(X ) ± a 4. E(a ± bx ) = a ± be(x ) Exemplo: Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir da o número x i de aparelhos vendidos em uma semana e a respectiva probabilidade: Número x i Probabilidade 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 Se é de R$ 20,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana?

11 Variância A variância da variável aleatória X é denida por: σ 2 = Var(X ) = E[(X µ) 2 ] = E(X 2 ) µ 2 O desvio padrão (σ) é a raiz quadrada da variância: Dp(X ) = σ = σ 2. Propriedades 1. Var(X ) > 0 2. Var(X ± a) = Var(X ) 3. Var(bX ) = b 2 Var(X ) 4. Var(a ± bx ) = b 2 Var(X ) 1. Dp(X ) > 0 2. Dp(X ± a) = Dp(X ) 3. Dp(bX ) = b Dp(X ) 4. Dp(a ± bx ) = b Dp(X )

12 Modelos Teóricos Discretos de Probabilidade Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas administrativos, vericamos que muitos problemas apresentam as mesmas caractéristicas o que nos permite estabelecer um modelo teórico para determinação da solução de problemas. Os componentes principais de um modelo estatístico teórico: 1. Os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir; 2. A função de probabilidade associada à variável aleatória X ; 3. O valor esperado da variável aleatória X ; 4. A variância e o desvio-padrão da variável aleatória X.

13 Distribuição (ou modelo) de Bernoulli Característica do modelo Se uma variável aleatória X só pode assumir os valores 0 e 1 com P(X = 0) = q e P(X = 1) = p com p + q = 1, então diremos que a variável aleatória X admite distribuição de Bernoulli. Discrição do modelo 1. X = {0, 1} 2. P(X = 0) = q e P(X = 1) = p; 3. E(X ) = p; 4. Var(X ) = p q e Dp(X ) = p q Podemos escrever o modelo do seguinte modo: onde q = 1 p. P(X = x) = p x q 1 x

14 Exemplo: No lançamento de uma moeda, a variável aleatória Y anota o número de caras obtidas. 1. X = {0, 1}; 2. P(X = 0) = 1/2 e P(X = 1) = 1/2; 3. E(X ) = 0 1/ /2 = 1/2; 4. Var(X ) = 1/2 1/2 = 1/4 e Dp(X ) = 1/4 = 1/2. Exercício: Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória B anota o número de bolas brancas obtidas. Calcule a média e o desvio-padrão de B.

15 Ditribuição Binomial Característica do modelo Esta distribuição de probabilidade é utilizada na descrição de situações, nas quais tem-se n repetições independentes, sendo que em cada repetição apresenta apenas dois resultados possíveis, que podem ser denotados como "sucesso"ou "fracaso". Além disso, assume-se que a probabilidade de "sucesso"a cada nova repetição do experimento é constante e igual a p e que deseja-se contar quantos "sucessos"teve-se em n tentativas. Discrição do modelo 1. X = {0, 1, 2,, n}; 2. P(X = k) = ( n)p k q n k, k = 0, 1, 2, ( ) n n e k k = n! k!(n k)! 3. E(X ) = n p; 4. Var(X ) = n p q e Dp(X ) = n p q

16 Exemplo: Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo: a) nenhuma peça defeituosa; b) uma peça defeituosa. Temos 1. X - número de peças defeituosas na caixa. X = {0, 1, 2,, 12}; 2. P(defeituosa) = 0, 10 = p, P(não defeituosa) = 0, 90 = q; 3. P(X = k) = ( ) 12 k 0, 10 k 0, k. Resposta a): ( 12 P(X = 0) = 0 ) 0, , = 12! 0!(12 0)! 0, 9012 = 0, 282 Resposta b) ( ) 12 P(X = 1) = 0, , ! = 1 1!(12 1)! 0, 10 0, 9012 = 0, 377

17 Distribuição de Poisson É uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos especicados. A variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo. Os intervalos pode ser de tempo, distância, área, volume ou alguma unidade similar. Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 1. X = {0, 1, 2, }; 2. P(X = k) = e λ λ k k!, k = 0, 1, 2 ; 3. E(X ) = λ; 4. Var(X ) = λ.

18 Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial nestes aspectos fundamentais: 1. A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, enquanto que a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média λ; 2. Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória X são 0, 1, 2,, n, mas a distribuição de Poisson tem os valores de X de 0, 1, 2,, sem qualquer limite superior. Obs: O parâmetro λ é usualmente referido como taxa de ocorrência. Exemplo: Suponha que o número de carros que chegam a uma la do guichê de um pedágio tem distribuição de Poisson a uma taxa de três carros por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem cinco carros em um minuto.

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