Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

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1 Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

2 Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um número. Exemplos: (i) Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e coroas. ={kkk,kkc,ckk,kck,kcc,ckc,cck,ccc}, em que k =cara e c =coroa. (ii) De um lote de material hospitalar com 4 peças das quais são defeituosas, peças são extraídas até as defeituosas sejam retiradas. ={DD,DPD,PDD,DPPD,...}, em que D =defeituosa e P =perfeita. (iii) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. ={MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF}, em que F =feminino e M =masculino.

3 Introdução Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessado na mensuração de algo e no seu registro como um número. Mesmo nos exemplos apresentados acima poderemos atribuir um número real a cada elemento do espaço amostral. Exemplos: (i) Seja X o número de caras. X(kkk)=3, X(kkc)=X(ckk)=X(kck)=,X(kcc)=X(ckc)=X(cck)=1 e X(ccc)=0. (ii) Seja X o número de peças retiradas. X(DD)=, X(DPD)=X(PDD)=3 e X(DPPD)=X(DPDP)=...=4. (iii) Seja X o número de meninos. X(MMM)=3, X(MMF)=X(MFM)=X(FMM)=, X(MFF)=X(FMF)=X(FFM)=1 e X(FFF)=0.

4 Introdução Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos interesse em uma ou mais quantidades. Elas são funções dos resultados que ocorreram e, em muitas situações, a própria função identidade. Nesses casos, os elementos resultantes são as quantidades de interesse. Após a realização do fenômeno teremos uma observação conhecida que, no entanto, não é mais aleatória. Podemos considerar que a observação conhecida do fenômeno aleatório produz um particular valor observado da variável aleatória. Assim, uma outra realização do fenômeno forneceria um outro valor observado da variável, na maioria das vezes, diferente do anterior.

5 Introdução Desejamos então atribuir um número real x a cada resultado do espaço amostral. O domínio de X é, e os números na imagem são números reais.

6 Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação. Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma soma de fatores não-controlados. Toda vez que uma variável é influenciada pela aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória. Exemplos: número de livros de uma biblioteca, peso de recém-nascidos. Usaremos letras maiúsculas para indicar variáveis aleatórias (X, Y, Z, ) Letras minúsculas representarão valores assumidos por variáveis aleatórias (x, y, z, )

7 Introdução

8 Introdução Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua Dizemos que uma v.a. é discreta quando seus possíveis valores podem ser dispostos em uma lista (finita ou infinita) Exemplos: Número de filhos. Número de funcionários de uma empresa. Número de tumores detectados por um exame. Número de testes defeituosos.

9 Introdução Um caso especial da variável aleatória discreta é quando esta pode assumir um dentre dois valores possíveis. Este tipo de variável recebe, em estatística, o nome de variável dicotômica ou binária. Exemplos: Classificar um tumor como malígno ou benígno. Determinar, através de uma imagem de satélite, se numa determinada área de floresta está ou não ocorrendo uma queimada. Em coletas de sangue, se o fator Rh é + ou.

10 Introdução Dizemos que uma v.a. é contínua quando ela pode assumir qualquer valor em um dado intervalo. Exemplos: Tempo até a cura de uma doença. Altura de árvores. Peso de recém-nascidos. Concentração de CO na água. Poluição sonora.

11 Variável Aleatória Discreta Distribuição de Probabilidades Entende-se por distribuição de probabilidades o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por uma v.a. discreta, com as respectivas probabilidades. A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. Exemplo: considere o experimento verificar 3 peças de uma linha de produção de material hospitalar e observar se as peças são Defeituosa (D) ou Não Defeituosa (N). Temos, Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} x Total P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1

12 Variável Aleatória Discreta Seja X uma variável aleatória discreta, então X pode assumir os valores x 1, x,... Chamaremos de função de probabilidade da variável aleatória X a função que a cada x i associa sua probabilidade de ocorrência, ou seja, tal que: P( X x ) P( X( ) x ) p( x ) i i i a) 0 p( x i ) 1 b) i1 p( x i ) 1

13 Exemplo 1 Consideremos uma amostra com 4 doadores de sangue, dos quais são fator Rh +, e sorteamos ao acaso dois doadores, com reposição. Seja N = fator Rh- e P = fator Rh+. Então, ={NN, NP, PN, PP} Definindo X como sendo o número de doadores com fator Rh+, temos: {NN} {NP,PN} {PP} X() 0 1

14 Consideremos a variável aleatória do exemplo anterior, então: P(X = 0) = ¼, P(X = 1) = ½, P(X = ) = ¼. P(X ) = P() = 1 P(X < 0)=P() = 0 Podemos observar que ( ) 1 0 P( X i) 1, para i = 0,1, e P X i i0 Dessa forma, a distribuição de probabilidade do exemplo é: x i 0 1 P(X= x i ) 1/4 1/ 1/4

15 Variáveis Aleatórias contínuas A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. O modelo para v.a. discretas que estudaremos será o Modelo Binomial. No caso de v.a. contínuas a distribuição de probabilidades dá lugar à função densidade de probabilidade que depende de conceitos matemáticos um pouco mais complexos e não será abordada nesse curso. Lidaremos com o modelo para v.a.'s contínuas denominado modelo Normal, o qual é apropriado a diversas situações nas mais diferentes áreas.

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19 Variável aleatória Contínua

20 ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios, parâmetros podem ser empregados para caracterizar a distribuição de probabilidade. Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos associar certos parâmetros os quais fornecem informações sobre a distribuição. MÉDIA (Esperança) VARIÂNCIA OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis aleatórias que sintetizem características relevantes de uma distribuição de probabilidade.

21 ESPERANÇA (VALOR MÉDIO) DEFINIÇÃO: Dada uma Variável aleatória discreta X, assumindo os valores x 1,x,...,x n, o valor esperado, a esperança matemática de X, denotado por E(X) é definida por E( X i1 x p( x ), i i se x i.p(x i ) < (se a série convergir) ) NOTAÇÃO: E(X )

22 Exemplo 1 Considere a variável aleatória discreta X: x i 0 1 p(x i ) 1/4 1/ 1/4 Temos que, E( X ) 3 i1 x p( i x i )

23 VARIÂNCIA DEFINIÇÃO: Seja X uma variável aleatória com esperança dada por E(X). A variância de X é definida por Var E( ) ( X ) E( X ) X OBSERVAÇÃO: A variância nos dá a dispersão dos valores da variável em relação ao valor esperado. NOTAÇÃO: Var ( X ) Notamos que se uma variável aleatória é medida em certa unidade, a variância dessa variável é expressa no quadrado dessa unidade. Para fins de comparação e facilidade de interpretação introduz-se o conceito do desvio padrão da variável aleatória, denotado por ( X ), que é definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é, ( X ) ( X ).

24 Exemplo 3 Considere a variável aleatória discreta X: Calcule a Var(X) x i 0 1 p(x i ) 1/4 1/ 1/ , ) ( ) ( i i x i p x X E 3 1, ) ( ) ( i i x i p x X E (1) 3 )] ( [ ) ( ) ( X E X E X Var

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