Variáveis Aleatórias

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Variáveis Aleatórias"

Transcrição

1 Variáveis Aleatórias Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades Itens 5. e 6. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

2 Variável aleatória Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Eemplos: número de coroas obtido no lançamento de moedas; número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote; número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção; número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo; BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

3 Variável aleatória Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Eemplos: volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento; resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão; tempo de resposta de um sistema computacional; grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 3

4 Variável aleatória Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais. X = número de coroas obtido no lançamento de moedas Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)} X: 0 BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 4

5 Variável aleatória discreta variável aleatória contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável E. os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais E número de defeitos em... 0 tempo de resposta de... BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 5

6 Variável aleatória discreta: função de probabilidade p ( ) = P( X = i i ) satisfazendo: p( ) i 0 p( i ) = i BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 6

7 Variável aleatória discreta: função de probabilidade X = número obtido no lançamento de um dado comum. p() f() área total = BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 7

8 Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumulada F ( ) = P( X ), R até BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 8

9 BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumulada distribuição acumulada < < < < < < = 6 se 6 5 se se se se 6 se 6 se 0 ) ( F F() X = número obtido no lançamento de um dado comum.

10 Variáveis aleatórias contínuas tempo de resposta de um sistema computacional; rendimento de um processo químico; tempo de vida de um componente eletrônico; resistência de um material; etc. Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproimadas para contínuas): número de transações por segundo de uma CPU; número de defeitos numa amostra de itens; etc. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 0

11 Variável aleatória: discreta contínua Discreta ½ p() ½ f() área total = 4 8 setores 3 f() BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

12 Variável aleatória: discreta contínua Contínua II III 0 0 I III f() área total = BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

13 Variável aleatória contínua II 0 0 I 0 0 III III 70 0 f() área = P( 0 X < 90) f() área total = evento {0 X < 90} BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 3

14 Variável aleatória contínua As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer: f ( ) 0, R e + f ( ) d( ) = f() Se A = [a, b], então P ( A) f ( ) d( ) = b a a b BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 4

15 Variável aleatória contínua Eemplo 6.3 f ( t) e = 0, t, para para t 0 t < 0 f(t) 3 t P( T 3 + > 3) = f ( t) dt = 3 + e t dt = e t + 3 = 0 + e (3) = e 6 BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 5

16 Variável aleatória contínua Função de distribuição acumulada F( ) = P( X ) = f ( s) ds, R Eemplo 6.3 F( t) = 0, e t, para para t 0 t < 0 F(t) t BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 6

17 Variável aleatória discreta: Valor esperado Valores possíveis Probabilidades p p µ = E k ( X ) = j= j p j 3... p 3... k p k Total BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 7

18 Variável aleatória discreta: Variância Valores possíveis 3... k Total Probabilidades p p p 3... p k σ Ou: k = V ( X ) = ( j µ ) p j j= ) V ( X ) = E( X µ onde: E ( X ) = k j= Desvio padrão: σ = DP ( X ) = Var( X ) j p j BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 8

19 Variável aleatória contínua Valor esperado e variância + µ = E ( X ) = f ( ) d σ + = V ( X ) = ( µ ) f ( ) d ou ) V( X ) = E( X µ onde: + E ( X ) = f ( ) d BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 9

20 Propriedades do valor esperado e variância a)e(c) = c b)e(x + c) = E(X) + c c) E(cX) = ce(x) d)e(x + Y) = E(X) + E(Y) e) E(X Y) = E(X) E(Y) a)v(c) = 0 b)v(x + c) = V(X) c) V(cX) = c V(X) d)dp(cx) = c DP(X) BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 0

21 Propriedades do valor esperado e variância p() Distribuição de X E(X) p(y) Distribuição de Y = X + c p(z) Distribuição de Z = cx E(X) + c y ce(x) z BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

22 Variáveis aleatórias independentes X, X,..., Xn podem ser consideradas variáveis aleatórias independentes se o conhecimento de uma não altera as distribuições de probabilidades das demais. Vale para variáveis aleatórias independentes: V(X + Y) = V(X) + V(Y) V(X Y) = V(X) + V(Y) BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 004 Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas APOIO: Fundação de Apoio

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1 Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável Aleatória

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 1 Probabilidade

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017 VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À ADMINISTRAÇÃO

MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À ADMINISTRAÇÃO Curso de ós-graduação Disciplina: MÉTODOS QUNTITTIVOS LICDOS À DMINISTRÇÃO Junho - 01 Universidade das méricas v. Dom Luís, 300 Lj. 15 Meireles 85 3433-5476 TIM 9605-704 OI 8518-5476 www.uniamericas.com.br

Leia mais

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB.

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 1) Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas. X : o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116. Y :

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos. Conceitos básicos, variáveis aleatórias

Probabilidade e Modelos Probabilísticos. Conceitos básicos, variáveis aleatórias robabilidade e Modelos robabilísticos Conceitos básicos, variáveis aleatórias 1 Incerteza e robabilidade Tomar decisões: Curso mais provável de ação: Se desejamos passear de barco e não sabemos nadar,

Leia mais

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos

Leia mais

Cap. 4 - Probabilidade

Cap. 4 - Probabilidade Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa

Leia mais

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008 Variável Aleatória Gilson Barbosa Dourado gdourado@uneb.br 6 de agosto de 2008 Denição de Variável Aleatória Considere um experimento E e seu espaço amostral Ω = {a 1, a 2,..., a n }. Variável aleatória

Leia mais

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 8 Testes de hipóteses APOIO: Fundação de Ciência e Tecnologia

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Contínuas 1/19

Distribuições de Probabilidade Contínuas 1/19 all Distribuições de Probabilidade Contínuas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte

Leia mais

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada Variável Aleatória Uma função X que associa a cada Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O

Leia mais

PRO 2271 ESTATÍSTICA I. 3. Distribuições de Probabilidades

PRO 2271 ESTATÍSTICA I. 3. Distribuições de Probabilidades PRO71 ESTATÍSTICA 3.1 PRO 71 ESTATÍSTICA I 3. Distribuições de Probabilidades Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são valores numéricos que são atribuídos aos resultados de um eperimento aleatório.

Leia mais

Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/famat/viali/ s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X X(s) R X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real X(s) é denominada

Leia mais

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

Conceitos básicos: Variável Aleatória

Conceitos básicos: Variável Aleatória : Variável Aleatória Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma eperiência aleatória. Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas. Eemplo 1: Suponha que lança duas moedas

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Variáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Variáveis Aleatórias Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Exemplo No lançamento de duas moedas ao ar, os resultados possíveis são: FF, FC, CF ou CC. No entanto, o nosso interesse

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Prof.ª Sheila Regina Oro Projeto Recursos Educacionais Digitais Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo TESTE DE HIPÓTESES POPULAÇÃO Conjectura (hipótese),

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado

Leia mais

Estatística para Cursos de Engenharia e Informática

Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Estatística para Cursos de Engenharia e Informática BARBETTA, Pedro Alberto REIS, Marcelo Menezes BORNIA, Antonio Cezar MUDANÇAS E CORREÇOES DA ª EDIÇÃO p. 03, após expressão 4.9: P( A B) = P( B A) p.

Leia mais

Distribuições Discretas

Distribuições Discretas META: Estudar o comportamento das Variáveis Aleatórias Discretas, bem como das Distribuições Binomial e Poisson e suas aplicações. Entender o comportamento de uma Variável aleatória Contínua. OBJETIVOS:

Leia mais

Poder do teste e Tamanho de Amostra

Poder do teste e Tamanho de Amostra Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 24 Poder do teste e Tamanho de Amostra APOIO: Fundação de Ciência

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES BERNOULLI E BINOMIAL

DISTRIBUIÇÕES BERNOULLI E BINOMIAL DISTRIBUIÇÕES BERNOULLI E BINOMIAL Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 26 de junho de 2017 Distribuição Bernoulli Nos experimentos

Leia mais

a) Considerando o lançamento de dois dados, o espaço amostral é Tabela 1: Tabela de distribuição de X. X P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

a) Considerando o lançamento de dois dados, o espaço amostral é Tabela 1: Tabela de distribuição de X. X P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 1 Exercício 1 Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. a) Encontre a tabela da distribuição dessa variável. b) Construa o gráfico

Leia mais

Variáveis Aleatórias - VA

Variáveis Aleatórias - VA Variáveis Aleatórias - VA cc ck kc kk 0 1 2 1/4 1/2 Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - Introdução Se entende por VA ou V. indicadoras uma lista de valores

Leia mais

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório?

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório? Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos

Leia mais

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições Motivação: MOQ-2: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS VA s e Distribuições Definimos anteriormente Espaço de Probabilidades como sendo a tripla (W,, P(.)), em que, dado um eperimento, W representa

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema

Leia mais

Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas

Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Professor Jorge Luiz A. Ferreira Função que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição de probabilidade

Leia mais

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis

Leia mais

Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística I Aula 8 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Lembram o que vimos sobre V.A. contínua na Aula 6? Definição: uma variável

Leia mais

Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se

Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se Estatística Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se X 1,..., X n é uma amostra, T = função(x 1,..., X n é uma estatística. Exemplos X n = 1 n n i=1 X i = X 1+...+X n : a média amostral

Leia mais

ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007

ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007 ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias 1 Definição: A uma função X de domínio Ω com valores em Ñ X:Ω Ñ, ω X(ω)=x, chamamos variável aleatória (v.a.) em Ω. Ao contradomínio da função X, designaremos por V X

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Narciso Gonçalves da Silva www.pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Introdução Distribuições Discretas de Probabilidade Muitas variáveis

Leia mais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Introdução Considere o experimento: Lançamento de uma moeda. Resultados

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 28 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 8 1 Desigualdades de Markov e

Leia mais

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Lançam-se 3 moedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: W = {(c,c,c),(c,c,r),(c,r,c),(c,r,r),(r,c,c),(r,c,r),(r,r,c),(r,r,r)}

Leia mais

Princípios de Modelagem Matemática Aula 09

Princípios de Modelagem Matemática Aula 09 Princípios de Modelagem Matemática Aula 09 Prof. José Geraldo DFM CEFET/MG 12 de maio de 2014 1 Modelos estatísticos e estimação de parâmetros A verificação de um modelo matemático demanda a realização

Leia mais

PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS

PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS RINCIAIS MODELOS CONTÍNUOS 0 5.. Modelo uniforme Uma v.a. contínua tem distribuição uniforme com parâmetros α e β α β se sua função densidade de probabilidade é dada por, f β α 0, Notação: ~ Uα, β. 0,

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Tipos de Modelos Determinístico Sistema Real Probabilístico Modelo determinístico Causas Efeito Exemplos Gravitação F GM 1 M /r

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : I, em que I. Esquematicamente: As variáveis aleatórias

Leia mais

Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br www.ufjf.br/joaquim_neto Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF

Leia mais

Funções de variável aleatória

Funções de variável aleatória Desigualdade de hebshev ágina de Funções de variável aleatória Funções de variável aleatória aso discreto uponhamos que é uma variável aleatória que toma valores {... n } e tem unção de probabilidade p

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser

Leia mais

Efeito. Causas. Determinístico. Sistema Real. Probabilístico. Experiência para o qual o. modelo probabilístico é adequado.

Efeito. Causas. Determinístico. Sistema Real. Probabilístico. Experiência para o qual o. modelo probabilístico é adequado. Sistema Real Determinístico Probabilístico Causas Efeito X Causas Efeito Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. ❶ Não é possível prever um resultado particular, mas pode-se enumerar

Leia mais

Distribuições derivadas da distribuição Normal. Distribuição Normal., x real.

Distribuições derivadas da distribuição Normal. Distribuição Normal., x real. Distribuições derivadas da distribuição Normal Distribuição Normal Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ, quando sua densidade de probabilidade é f ( x) π σ e ( x µ ) σ,

Leia mais

Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II

Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II 13 de Dezembro de 2013 Exercício 1. Descreva o espaço de probabilidade associado às seguintes experiências aleatórias: 1. Uma moeda

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências Estatística Aplicada à Engenharia

Leia mais

Cap. 11 Testes de comparação entre duas amostras

Cap. 11 Testes de comparação entre duas amostras Estatística Aplicada às Ciências Sociais Sexta Edição Pedro Alberto Barbetta Florianópolis: Editora da UFSC, 006 Cap. 11 Testes de comparação entre duas amostras Planejamento da pesquisa e análise estatística

Leia mais

Probabilidade Lista 6 - Variáveis Aleatórias Contínuas e Vetores Aleatórios

Probabilidade Lista 6 - Variáveis Aleatórias Contínuas e Vetores Aleatórios Probabilidade Lista - Variáveis Aleatórias Contínuas e Vetores Aleatórios Exercício. Uma v.a. X tem distribuição triangular no intervalo [0, ] se sua densidade for dada por 0, x < 0 cx, 0 x /2 c( x), /2

Leia mais

Introdução à probabilidade e estatística I

Introdução à probabilidade e estatística I Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos

Leia mais

Fundamentos de Estatística

Fundamentos de Estatística Fundamentos de Estatística Clássica Workshop Análise de Incertezas e Validação Programa de Verão 2017 Marcio Borges 1 1LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA mrborges@lncc.br Petrópolis, 9 de Fevereiro

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA. Ministério da Educação

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA. Ministério da Educação INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA Ministério da Educação Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba - Campus Cajazeiras Diretoria de Ensino / Coord. do Curso

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal 1 Distribuição de Probabilidades A distribuição

Leia mais

Modelos discretos e contínuos

Modelos discretos e contínuos Modelos discretos e contínuos Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 1

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Modelos de distribuição Para utilizar a teoria

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória

Leia mais

Nome: N o : Espaço reservado a classificações

Nome: N o : Espaço reservado a classificações ESTATÍSTICA I 2 o Ano/Gestão 1 o Semestre Época Normal Duração: 2 horas 1 a Parte Teórica N o de Exame: abcde 03.Jan.11 Este exame é composto por duas partes. Esta é a 1 a Parte Teórica (Cotação: 8 valores).

Leia mais

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa.

Leia mais

Probabilidade e Estatística. Estimação de Parâmetros Intervalo de Confiança

Probabilidade e Estatística. Estimação de Parâmetros Intervalo de Confiança Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://páginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Estimação de Parâmetros Intervalo de Confiança Introdução A inferência estatística é o processo

Leia mais

Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener

Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia Elétrica Processos Estocásticos Campina Grande - PB Módulo

Leia mais

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC Assunto: Função Densidade de Probabilidade Prof. Mariana Pereira de Melo 1. Suponha que f(x) = x/8 para 3

Leia mais

Probabilidade Revisão de Conceitos

Probabilidade Revisão de Conceitos Probabilidade Revisão de Conceitos Espaço de Amostras A totalidade dos possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo: jogar dados S = {(1,1),(1,),... (,1),(,)... (6,6)} S é dito o número de

Leia mais

Probabilidade. Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade

Probabilidade. Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade Probabilidade Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Indica o valor correspondente ao resultado de um experimento A palavra aleatória indica que, em

Leia mais

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade de Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade de Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Lista de Exercicios 1 MEDIDAS RESUMO. ESTIMAÇÃO PONTUAL.

Lista de Exercicios 1 MEDIDAS RESUMO. ESTIMAÇÃO PONTUAL. Introdução à Inferência Estatística Departamento de Física é Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 5 de setembro de 004 Lista de Exercicios 1 MEDIDAS RESUMO. ESTIMAÇÃO PONTUAL. 1 Medidas Resumo DISTRIBUIÇÕES

Leia mais

Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia

Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia Carlos R. V. Kiffer Médico Infectologista Professor Doutor / Pesquisador Visitante LEMC / UNIFESP Sumário O que é Estatística? Conceitos População

Leia mais

Modelos básicos de distribuição de probabilidade

Modelos básicos de distribuição de probabilidade Capítulo 6 Modelos básicos de distribuição de probabilidade Muitas variáveis aleatórias, discretas e contínuas, podem ser descritas por modelos de probabilidade já conhecidos. Tais modelos permitem não

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um

Leia mais

Modelos Probabiĺısticos Discretos

Modelos Probabiĺısticos Discretos Discretos Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 19 de Setembro de 2017 Material de Apoio e-mail: gilbertoliska@unipampa.edu.br Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de 2017 1 /

Leia mais

PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves

PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE NO ENEM As questões de probabilidade no Enem podem cobrar conceitos relacionados com probabilidade condicional e probabilidade de eventos simultâneos.

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 26 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 5 1 Variáveis aleatórias Definição

Leia mais

Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Efeito. Causas. Prof. Lorí Viali, Dr.

Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Efeito. Causas. Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/~viali Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Determinístico Sistema Real Causas Efeito Probabilístico X Causas Efeito

Leia mais

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais O que é probabilidade? Número de 0 até 1 que expressa a tendência de

Leia mais

AULA 3. Probabilidade

AULA 3. Probabilidade AULA 3 META: Do mesmo modo que acontece com a teoria da mecânica, que atribui definições precisas a termos de uso diário, como trabalho e força, também a teoria das probabilidades tenta, quantificar, a

Leia mais

Exemplos. Experimento Aleatório. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras;

Exemplos. Experimento Aleatório. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras; Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Eperimento Aleatório Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Eemplos E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se

Leia mais

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE 3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação

Leia mais

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas

Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais O que é probabilidade? Número de 0 até 1 que expressa a tendência de

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23 I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23 Probabilidade As definições de probabilidade apresentadas anteriormente podem

Leia mais

É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas;

É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/famat/viali Eperiência na qual o resultado é incerto. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E : Joga-se uma

Leia mais

INE 5118 Exercícios variáveis aleatórias Exemplo 1 - Uma fábrica produz recipientes de vidro. Existe uma probabilidade igual a 0,2 de produzir um

INE 5118 Exercícios variáveis aleatórias Exemplo 1 - Uma fábrica produz recipientes de vidro. Existe uma probabilidade igual a 0,2 de produzir um Exemplo 1 - Uma fábrica produz recipientes de vidro. Existe uma probabilidade igual a 0, de produzir um recipiente defeituoso. Antes que esses recipientes sejam estocados, eles são inspecionados e os defeituosos

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO Área Científica Matemática Probabilidades e Estatística Curso Engenharia do Ambiente º Semestre º Ficha n.º: Probabilidades e Variáveis Aleatórias. Lançam-se ao acaso moedas. a) Escreva o espaço de resultados

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística Capítulo 3 Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística definições e propriedades: Propriedade 5: A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um evento pode mudar se soubermos

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 1 / 25 VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas Distribuições de Probabilidade Variáveis aleatórias contínuas 1 Variáveis contínuas Uma variável aleatória contínua toma um nº infinito não numerável de valores (intervalos de números reais), os quais

Leia mais

3. Variáveis aleatórias

3. Variáveis aleatórias 3. Variáveis aleatórias Numa eperiência aleatória, independentemente de o seu espaço de resultados ser epresso numericamente, há interesse em considerar-se funções reais em Ω, denominadas por variáveis

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 7 11/2014 Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Probabilidade e Estatística 3/41 Variáveis Aleatórias Colete

Leia mais

PROBABILIDADES: VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO NORMAL

PROBABILIDADES: VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO NORMAL PROBABILIDADES: VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO NORMAL Aula 6 META Estudar o comportamento e aplicação das Variáveis Aleatórias Contínuas, bem como da Distribuição Normal. OBJETIVOS Ao final

Leia mais

CAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Todas as coisas aparecem e desaparecem por causa da concorrência de causas e condições. Nada nunca existe inteiramente só, tudo está em relação com todo

Leia mais

Distribuições Amostrais

Distribuições Amostrais Estatística II Antonio Roque Aula Distribuições Amostrais O problema central da inferência estatística é como fazer afirmações sobre os parâmetros de uma população a partir de estatísticas obtidas de amostras

Leia mais