Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova de Probabilidade Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 31 de outubro de 014 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva todas as contas. Não utilize caneta vermelha. Responda todas as perguntas nas folhas correspondentes. Dena todos as v.a's necessárias. Se for necessário denir alguma v.a. binomial, você deverá garantir que ela é binomial. Se eu tivesse oito horas para derrubar uma árvore, passaria seis aando meu machado. (Abraham Lincoln)

2 Questão 1 Uma moeda honesta é lançada 0 vezes. a) Qual a probabilidade de saírem 8 caras? (1,00 ponto) Seja X a v.a. que conta o número de caras nos 0 lançamentos. O experimento Lançar uma moeda honesta e observar a face superior é repetido 0 vezes de forma independente; ou seja, a probabilidade de ocorrer cara não muda com as repetições; logo, X Bin(0, 1/). ( ) ( ) 8 ( ) Assim, P (X = 8) = = 0, Observações: 0,50 pela caracterização da v.a. binomial e 0,50 pelo cálculo da probabilidade. b) Qual a probabilidade de saírem entre 8 (inclusive) e 10 (inclusive) caras? (1,00 ponto) Temos que P (8 X 10) = ( 0 8 )( 1 ) 8 ( ) ( 0 9 )( 1 Observações: 1,00 pelo cálculo da probabilidade. ) 9 ( ) ( 0 10 )( 1 ) 10 ( ) 10 1 = 0, c) Suponha que a moeda seja desonesta e que a probabilidade de ocorrer cara seja o dobro da probabilidade de sair coroa. Calcule a probabilidade de saírem 8 caras. (1,5 pontos) Temos que determinar qual é a probabilidade de ocorrer cara. Sabemos que P ({C})+P ({K}) = 1. Como P ({C}) = P ({K}), segue que P ({C}) = 3 e P ({K}) = 1 3. Seja Y a v.a. que conta o número de caras nos 0 lançamentos. Esta v.a. é binomial pelo mesmo motivo que a v.a. denida anteriormente também era. Assim, Y Bin(0, /3). ( ) ( ) 8 ( ) Portanto, P (Y = 8) = = 0, Observações: 0,50 pelo cálculo de p, 0,5 pela caracterização da nova v.a. e 0,50 pelo cálculo da probabilidade.

3 Questão Na fabricação de peças de determinado tecido os defeitos seguem uma distribuição de Poisson com taxa de 1 defeito a cada 50 m. Lembre-se de que se Y P oisson(λ), então P (Y = k) = e λ λ k, k = 0, 1,, k! a) Na produção de 50 metros desse tecido, qual a probabilidade de que não ocorram defeitos? (0,75 pontos) Seja X a v.a. que conta o número de defeitos a cada 50 metros de tecido. Dessa forma, X P oisson(1) e então P (X = 0) = e ! = 0, Observações: 0,5 pela denição da v.a. e 0,50 pelo cálculo da probabilidade. b) Na produção de 1000 m desse tecido, qual a probabilidade de que ocorram pelo menos três defeitos? (1,5 pontos) Seja Y a v.a. que conta o número de defeitos a cada 1000 metros de tecido. Uma regra de três simples nos mostra que Y P oisson(4). Logo, P (Y 3) = 1 P (Y < 3) = 1 [P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = )] ( ) 4 = 1 e 4 0 0! ! + 4! = 0, Observações: 0,5 pela denição da v.a., 0,5 pelo cálculo da nova taxa e 0,75 pelo cálculo da probabilidade. c) Em um período de 80 dias de trabalho, a produção diária é de 1000 m. Em quantos dias, provavelmente, haverá uma produção com exatamente dois defeitos? (1,00 ponto) Temos que P (Y = ) = e 4 4! haverá produções com exatamente dois defeitos em 11 dias. = 0, Agora, (0, 1465) 80 = 11, 7. Logo, é provável que Observações: 0,50 pelo cálculo da probabilidade, 0,5 pela estimativa e 0,5 pela resposta.

4 Questão 3 Uma v.a X possui a seguinte distribuição de probabilidades: x p(x) 0, 0,3 0,4 0,1 a) Calcule P (X < 4). (0,50 pontos) Temos que P (X < 4) = 0, + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9. Observações: 0,50 pelo cálculo da probabilidade. b) Calcule a média e o desvio padrão de X. (1,00 ponto) Note que e E(X) = 1 (0, ) + (0, 3) + 3 (0, 4) + 4 (0, 1) =, 4 Portanto, E(X ) = 1 (0, ) + (0, 3) + 3 (0, 4) + 4 (0, 1) = 6, 6. DP (X) = 6, 6 (, 4) = 0, Observações: 0,5 pelo cálculo da média, 0,50 pelo cálculo de (EX ) e 0,5 pelo cálculo do desvio padrão. c) Determine a função de distribuição de X e esboce o seu gráco. (1,00 ponto) Temos os seguintes casos: x < 1 F (x) = 0 1 x < F (x) = 0, x < 3 F (x) = 0, 5 3 x < 4 F (x) = 0, 9 4 x F (x) = 1 Logo, O gráco de F está abaixo 0, x < 1 0,, 1 x < F (x) = 0, 5, x < 3 0, 9, 3 x < 4 1, x 4

5 Observações: 0,50 pela construção da F e 0,50 pela construção do gráco.

6 Questão 4 Uma urna contém 6 bolas numeradas de 1 a 6. Uma pessoa paga R$600,00 e retira uma bola aleatoriamente. Se retirar a bola 6, recebe R$1.500,00; se retirar as bolas, 3, 4 ou 5, nada recebe; e se retirar a bola 1, irá escolher outra bola, sem repor a primeira, e se esta bola for a de número 6, recebe R$3.600,00; caso contrário, nada recebe. a) Calcule o lucro esperado nesse jogo. (1,5 pontos) Considere a seguinte árvore de probabilidades: Note que os primeiros ramos dizem respeito ao resultado da primeira extração e os segundos ramos, da segunda extração. Dena a v.a. L que é o lucro obtido em uma jogada. Essa variável pode assumir os valores -600, 900 e Dessa forma, E(L) = 600 P (L = 600) P (L = 900) P (L = 3000) ( 4 = ) ( ) 5 = 30. Portanto,o jogador perde, em média, R$30,00. Observações: 0,75 pela árvore (ou por uma v.a. convenientemente denida), 0,15 pela denição da v.a. Lucro, 0,5 pelo cálculo da média de L e 0,10 pela resposta. b) Quanto o jogador deve pagar para jogar, de forma que o jogo torne-se favorável a ele? (1,5 pontos) Digamos que o jogador deva pagar K reais para jogar. Este valor deve ser tal que o lucro médio seja positivo. A v.a. lucro que denotaremos novamente por L assume agora, os valores K, K e K. Portanto a sua média vale E(L) = K P (L = K) + (1.500 K) P (L = K) + (3.600 K) P (L = K) ( 4 = K ) + (1.500 K) 1 ( 1 + (3.600 K) ) 5 = K

7 Dessa forma, para que tenhamos E(L) > 0, o número K deve satisfazer K > 0, o que nos dá K < 370. Portanto, para que o jogo torne-se favorável ao jogador, ele deve pagar um valor menor do que R$370,00. Observações: 0,5 pela denição da nova v.a. lucro, 0,50 pelo cálculo da média de L e 0,50 pela interpretação.

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