Estatística: Probabilidade e Distribuições

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1 Estatística: Probabilidade e Distribuições Disciplina de Estatística 2012/2 Curso: Tecnólogo em Gestão Ambiental Profª. Ms. Valéria Espíndola Lessa 1

2 Aula de Hoje 23/11/2012 Estudo da Probabilidade Distribuição de Probabilidade Exercícios 2

3 Noção Básica de Probabilidade Introdução Incluir probabilidade nesta disciplina se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Assim, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial. 3

4 Experimento aleatório Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação é provável que meu time ganhe a partida de hoje pode resultar: que, apesar do favoritismo, ele perca; que, como pensamos, ele ganhe; que empate. Como vimos o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 4

5 Espaço Amostral A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S. Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais: lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}, ou seja, 2 possibilidades lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ou seja, 6 possibilidades cartas de um baralho: {todas as cartas} 5

6 Do mesmo modo, como em dois lançamentos sucessivos de uma moeda podemos obter cara nos dois lançamentos, ou cara no primeiro e coroa no segundo, ou coroa no primeiro e cara no segundo, ou coroa nos dois lançamentos, o espaço amostral é: S = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}, ou seja, n(s) = 4 possibilidades No lançamento de três moedas teremos: S = {(Ca,Ca,Ca), (Ca,Ca,Co), (Ca,Co,Co), (Co,Co,Co), (Co,Co,Ca), (Co,Ca,Ca), (Co,Ca,Co), (Ca,Co,Ca)}, ou seja, n(s)= 8 possibilidades 6

7 Assim, 1 moeda 2 1 possibilidades 2 moedas 2 2 possibilidades 3 moedas 2 3 possibilidades n moedas 2 n possibilidades E, 1 dado 6 1 possibilidades 2 dados 6 2 possibilidades 3 dados 6 3 possibilidades n dados 6 n possibilidades 7

8 Eventos Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. Um evento é sempre definido por uma sentença. Exemplos: a) Obter um número par na face superior de um dado. b) Obter um número menor ou igual a 6 na face superior de um dado. c) Obter um número 4 na face superior de um dado. d) Obter um número maior que 6 na face superior de um dado. e) Obter cara no lançamento de uma moeda. 8

9 Probabilidade Probabilidade é a chance que um evento tem de ocorrer no experimento aleatório. Para isso precisamos saber o número de resultados possíveis (espaço amostral) e o número de resultados favoráveis (evento) Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que: A Onde: n(a) é o número de elementos do evento A. na ns n(s) é o número de elementos do espaço amostral S. P 9

10 Exemplo 1: Considerando o lançamento de uma moeda calcular a probabilidade de obter cara. S = { Ca, Co} n(s) = 2 A = {Ca} n (A) = 1 P A n A n S 1 2 0,5 ou 50% 10

11 Exemplo 2: Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter um número par na face superior. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {2, 4, 6} n (A) = 3 P A n A n S 3 6 0,5 ou 50% 11

12 Exemplo 3: Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 na face superior. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n (A) = 6 P A n A n S ou 100% Evento Certo 12

13 Exemplo 4: Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter o número 4 na face superior. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {4} n (A) = 1 P A n A n S 1 6 0,166 ou 16,6% 13

14 Exemplo 5: Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter um número divisível por 3 na face superior. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {3,6} n (A) = 2 P A n A n S 2 6 0,33 ou 33,3% 14

15 Eventos Complementares Exemplo: Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é 1/6 ou 16,66%. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 será 5/6 ou 83,33% Sabemos que um evento pode ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade de que ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para o mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 q = 1 p 1/6 + 5/6 = 6/6 = 1 5/6 1 = 1/6 15

16 Eventos Independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Por exemplo quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Assim, sendo P(A) a probabilidade de realização do primeiro evento e P(B) a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é: P A B P(A) PB 16

17 Exemplo 6: Calcular a probabilidade de, ao lançarmos dois dados, obtermos 1 no primeiro e 5 no segundo. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {1} n (A) = 1 B = {5} n (B) = 1 P PB 2,78% P A 17

18 Eventos Mutuamente Exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Também podemos dizer que não há elementos comuns na realização dos dois eventos, ou seja, Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: União P(A B) A B 0 P(A) PB 18

19 Exemplo 7: Calcular a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 no lançamento de um dado. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s) = 6 A = {3} n (A) = 1 B = {5} n (B) = 1 P P(A) P B ,33 33,3% 19

20 Exemplo 8: Qual a probabilidade de sair o Ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? S = { todas as cartas} n(s) = 52 A = {Ás de ouro} n (A) = 1 P(A) ,92% Exemplo 9: Qual a probabilidade de sair um Rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? S = { todas as cartas} n(s) = 52 B = {K ouro, K paus, K espada, K copas} n (A) = 4 P(A) ,7% Exemplo 10: Em lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. P(A) b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa ,3% P(A) ,7% 20

21 Exemplo 11: De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? P ,15% Exemplo 12: Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? P P(A) P(B) P(C) ,7% 21

22 Exemplo 13: Se de um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é probabilidade de a primeira carta ser o Ás de paus e a segunda ser o Rei de paus? S = { todas as cartas} n(s) = 52 A = {Ás de paus} n (A) = 1 B = {Rei de paus} n(b) = 1 P P(A) P(B) ,038% 22

23 Probabilidade com União e Intersecção de Eventos Exemplo 14: Entre os números de 1 a 15, qual a probabilidade de escolher um número que seja divisor de 12 ou 18? S: Espaço amostral; S: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} A: Escolher um número que seja divisor de 12; A:{1,2,3,4,6,12} n(a) = 6 B: Escolher um número que seja divisor de 18; B:{1,2,3,6,9,18} n(b) = 6 Ao mesmo tempo Mas, os números vão até 15, então não iremos incluir o 18 no espaço amostral. Daí temos, B: {1,2,3,6,9}, n(b) = 5 Neste caso, iremos fazer P(AUB) = P(A) + P(B), porém é preciso considerar que os eventos A e B tem elementos comuns. Todos os divisores, sem repetí-los 23

24 A B: Escolher um número que seja divisor de 12 e 18; A B:{1,2,3,6} n(a B) = 4 A U B: Escolher um número que seja divisor de 12 ou 18. A U B:{1,2,3,4,6,9,12} n(a U B) = 7 Calculando as probabilidades, temos: P( A) P( B) P( A B) P( A B) n( A) n( S) n( B) n( S) n( A B) n( S) n( A B) n( S) P(A Ou seja, soma-se as duas probabilidades A e B e subtrai-se a intersecção entre elas. Podemos resumir com a fórmula: B) P(A) P(B) P(A B) 24

25 Exemplo 15: Jogando-se um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par? S:{1,2,3,4,5,6} n(s) = 6 A:{4} n(a) = 1 B:{2,4,6} n(b) = 3 A B: {4} n = 1 P(A B) P(A) P(B) P(A B) 25

26 Distribuição de Probabilidade Introdução Consiste numa organização dos dados de um problema de probabilidade numa tabela ou gráfico para melhor interpretação destes. 26

27 Variável Aleatória É a característica numérica dos resultados de um experimentos; Analisa-se as ocorrências desta característica no experimento aleatório;

28 Exemplo 16: Fazer a distribuição da probabilidade de sair Coroa (Co) no lançamento simultâneo de duas moedas (diferentes). Variável Aleatória: número de Coroas (Co) no lançamento simultâneo de duas moedas. Espaço amostral S = { (Ca,Ca) (Ca,Co) (Co,Ca) (Co,Co)}

29 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. No Exemplo 16, a variável aleatória X tem três possibilidades: não sair nenhuma Coroa (zero), uma coroa, ou duas coroas.

30 Distribuição de Probabilidade Ainda no Exemplo 16 do lançamento de duas moedas, temos: Ponto Amostral Nº de Coroas(X) (Ca,Ca) 0 (Ca,Co) 1 (Co,Ca) 1 (Co,Co) 2 (X) Freq. P(X) 0 1 ¼ 1 2 2/4 2 1 ¼ = 4 = 1 Organizando...

31 Gráfico da Distribuição de Probabilidades

32 Tipos de Distribuição de Probabilidades Para Variáveis Aleatórias Continuas, usa-se as distribuições: Normal Gama Exponencial Para as Variáveis Aleatórias Discretas, usa-se as distribuições: Binominal Poisson Geométrica Não veremos todos estes casos. Faremos um breve estudo das distribuições, construindo tabelas e gráficos de colunas

33 Exemplo 17: Vamos considerar a distribuição de frequência do número de acidentes diários em um estacionamento: Número de Acidentes Diários Frequências = 30

34 Em um dia, a probabilidade de: Não ocorrer acidentes é: Ocorrer um acidente é: Ocorrerem dois acidentes: Ocorrerem três acidentes: p p p p 0,73 0, ,07 0,03

35 Então, podemos construir a tabela: Número de Acidentes (X) Probabilidades P(X) 0 0,73 1 0,17 2 0,07 3 0,03 = 1,00

36 E o gráfico.

37 Exemplo 18: Na jogada de três moedas, fazer a distribuição da probabilidade para o número de Caras (Ca). Espaço Amostral: S = { (Ca,Ca,Ca), (Ca,Ca,Co) (Ca,Co,Ca) (Co,Ca,Ca) (Ca,Co,Co) (Co,Ca,Co) (Co,Co,Ca) (Co,Co,Co) } X (vezes que aparece cara) Frequência P(X) 0 1 1/ / / /8

38 Gráfico:

39 Exemplo 19: Uma empresa tem quatro caminhões de aluguel. Sabendo-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados está na tabela abaixo, determine: Nº Caminhões alugados por dia Probabilidade de Alugar 0 0,1 = 10% 1 0,2 = 20% 2 0,3 = 30% 3 0,3 = 30% 4 0,1 = 10%

40 Pergunta-se: a) Qual é a probabilidade de alugar, num dia, mais de dois caminhões? Somar P(3) + P(4) = 0,3 + 0,1 = 0,4 b) Qual é a probabilidade de alugar no mínimo um caminhão? Somar P(1) até P(4) => 0,9 c) Qual a probabilidade de alugar no máximo dois caminhões? Somar P(0) + P(1) + P(2) = 0,6

41 d) Faça o esboço do gráfico desta distribuição.

42 - Lista de Exercícios - 42

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