3. Probabilidade P(A) =

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1 7 3. Probabilidade Probabilidade é uma medida numérica da plausibilidade de que um evento ocorrerá. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza e podem ser expressas de diversas maneiras: decimais, frações e porcentagens. Há três tipos de probabilidade: clássica, empírica e subjetiva. Diz-se que um experimento com um número finito de resultados é equiprovável se todos os resultados possíveis têm o mesmo grau de incerteza, ou seja, a mesma chance de ocorrer. Num experimento aleatório equiprovável, com espaço amostral n( ) e evento aleatório n(a), a probabilidade de que ocorra o evento A é: P(A) = n( A) n( ) Probabilidade clássica (ou teórica) é usada quando cada resultado em um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer. A probabilidade clássica para um evento E é dada por: Exemplo: Você joga um dado de seis lados. Encontre a probabilidade de cada evento: a) Evento A: lançar um 3; b) Evento B: lançar um 7; c) Evento C: lançar um número menor que 5. Probabilidade empírica (ou estatística) é baseada em observações obtidas de experimentos de probabilidade. A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa do evento E. Exemplo: Uma empresa está conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no trânsito é um problema em sua comunidade. Até agora, 320 pessoas responderam à pesquisa. A distribuição de frequência mostra os resultados. Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade? Resposta F É um problema sério. 123 É um problema 115 moderado. Não é um problema

2 As probabilidades subjetivas resultam da intuição, de suposições fundamentadas e estimativas. Por exemplo, dada a saúde de um paciente e a extensão dos ferimentos, um médico pode sentir que o paciente tem 90% de chance de recuperação Propriedades I., para todo evento A,. II., se os eventos formam uma partição do espaço amostral. III., se é um evento impossível. IV., onde é considerado um evento certo. V. ( ), para todo evento A,. VI., quando A e B são eventos mutuamente exclusivos. VII. é quando o evento A ocorre simultaneamente com o evento B. VIII., se. IX., para Exemplos: quaisquer eventos A, B e C de. 1) Sendo, calcular: a) ( ) b) ( ) c) d) 2) Sejam A, B e C eventos tais que: e. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A,B ou C ocorra. A B C 3) De um baralho comum com 52 cartas é retirada uma carta. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? 4) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos são definidos:

3 A: a pessoa tem mais de 21 anos; B: a pessoa tem menos de 21 anos; C: a pessoa é um rapaz; D: a pessoa é uma moça. Calcular: a) b) ( ) 5) Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos? 6) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4 cartas, ao acaso, sem reposição, se obter uma quadra? 7) Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda. 8) Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabilidade de sair a palavra araras? 3.2. Probabilidade Condicional Sejam. Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B ocorre (A/B) como segue: E a probabilidade condicional de B, dado que A ocorre (B/A) como: Exemplos: 9) Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos, 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M); 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte: F Q H M Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher? 10) Sendo, calcular P(A/B). 11) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas

4 a) sejam verdes? b) sejam da mesma cor? 3.3. Eventos independentes A e B são eventos independentes se, isto é, e satisfeitas: Para verificarmos se 3 eventos A, B, C, são independentes, as 4 proposições devem ser Exemplos: 12) Lançam-se 3 moedas. Verificar se são independentes os eventos: A saída de cara na primeira moeda; B saída de coroa na segunda e terceira moedas. 13) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = P,. Calcular P considerando A e B: a) mutuamente exclusivos; b) independentes. 14) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é ; a de sua mulher é de. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva; d) nenhum esteja vivo; e) pelo menos um esteja vivo Teorema do produto Sejam, então. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 40. Qual a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 4 e 7?

5 3.5. Teorema de Bayes Teorema da probabilidade total Sejam eventos que formam uma partição do espaço amostral. E seja B um evento desse espaço, então:. Exemplo: 15) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? Teorema de Bayes Sejam eventos que formam uma partição do espaço amostral. Seja. Sejam conhecidas,. Então:. O teorema de Bayes é também chamado de teorema da probabilidade a posteriori. Ele relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a própria probabilidade total. Exemplo: 16) A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda honesta. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? 3.6. Exercícios Exercícios propostos das páginas 39 a 44.

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