AULA 16 - Distribuição de Poisson e Geométrica

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1 AULA 16 - Distribuição de Poisson e Geométrica Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ

2 Distribuição de Poisson Em muitas situações nos deparamos com a situação em que o número de ensaios n é grande (n ) e p é pequeno (p 0). Isso para o cálculo da função binomial, nos leva a algumas dificuldades, pois, como podemos analisar, para n muito grande e p pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de k sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade. Para modelos desse tipo, iremos usar a distribuição de Poisson. Tal expressão é devida a Poisson (matemático e físico francês) no qual publicou o trabalho em Essa distribuição é muito utilizada para calcular probabilidades de ocorrências de defeitos raros em sistemas e componentes.

3 Distribuição de Poisson Considere o modelo binomial p(k) = P(X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k. Podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma n! ( nk P (X = k) = pk k!(n k)! n k 1 np ) n k n n! (np) k ( = k!(n k)! n k 1 np ) n k tomando λ = np n n(n 1) (n k + 1) λ k ( = k! n k 1 λ ) n k n ( = λk k! ) (... 1 k 1 ) ( 1 λ ) n k n n n para k = 0, 1,... e e 2, 718. } {{ } lim n =1 lim P(X = k) = e λ λ k. n k! }{{} lim n =e λ

4 Distribuição de Poisson Definition Uma variável aleatória discreta X segue a distribuição de Poisson com parâmetro λ, λ >0, se sua função de probabilidade for dada por P(X = k) = e λ λ k. k! Utilizamos a notação X Poisson(λ) ou X Po(λ). O parâmetro λ indica a taxa de ocorrência por unidade medida.

5 Distribuição de Poisson Example Considere um processo que têm uma taxa de 0, 2 defeitos por unidade. Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar: a) dois defeitos? P(X = 2) = e 0,2 (0, 2) 2 = 0, ! b) um defeito? P(X = 1) = e 0,2 (0, 2) 1 = 0, ! c) zero defeito? P(X = 0) = e 0,2 (0, 2) 0 = 0, !

6 Distribuição de Poisson Example Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro prefiram sorvete de baunilha ao de chocolate. Qual a probabilidade de que, se entrevistarmos 10 crianças deste bairro, exatamente 2 duas prefiram soverte de baunilha? Podemos resolver pela binomial com n = 10 e p = 0, 1 ou pela Poisson λ = np = 1 (é menos exata, mas mais simples). Binomial: P(X = 2) = ( 10 2 ) (0, 1) 2 (0, 9) 8 0, 194 Poisson: P(X = 2) = e 1 2! 0, 184 Embora pela Poisson tenhamos um erro associado a aproximação da distribuição binomial (que é a distribuição exata), este erro, em muitos casos, não chega a ser significativo.

7 Distribuição de Poisson Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de Poisson, com parâmetro λ, ou seja, X Poisson(λ) O valor esperado de X, que frequentemente é chamado de taxa de defeitos, é dado por: E(X) = k e λ λ k [ e λ λ k 1 ] = λ k! (k 1)! k=0 k=1 [ ] λ = λe λ k 1 [ ] λ = λe λ k = λe λ e λ = λ (k 1)! k! Variância: k=1 k=0 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = λ(λ + 1) λ 2 = λ.

8 Distribuição Geométrica A distribuição geométrica apresenta duas parametrizações Uma das parametrizações conta o número de falhas até que ocorra o primeiro sucesso. Notemos que nessa parametrização podemos incluir o zero como sendo um possível resultado, pois podemos ter sucesso já no primeiro ensaio de Bernoulli. Se a probabilidade de sucesso de cada tentativa é p, então a probabilidade de serem necessários j falhas antes do primeiro sucesso é P (X = j) = (1 p) j p, j = 0, 1,... A segunda parametrização da geométrica conta o número de ensaios de bernoulli necessário para se obter um sucesso. Nessa parametrização não é possível se ter o zero. Se a probabilidade de sucesso de cada tentativa é p, então a probabilidade de j tentativas serem necessárias para ocorrer um sucesso é P(X = j) = (1 p) j 1 p, j = 1, 2,...

9 Geométrica (conta o número de falhas até o sucesso) Definition Seja X a v.a. que fornece o número de falhas até o primeiro sucesso. A variável X tem distribuição Geométrica com parâmetro p, 0 < p < 1, se sua função de probabilidade é dada por P (X = j) = (1 p) j p, j = 0, 1,... Usaremos a notação X Geo(p). O evento [X = j] ocorre se, e somente se, ocorrem somente falhas nos j primeiros ensaios e sucesso no (j + 1)-ésimo ensaio.

10 Distribuição Geométrica Theorem Suponha-se que X tenha uma distribuição geométrica. Então, para quaisquer inteiros positivos s e t, P (X>t + s X s) = P (X>t). Este resultado reflete a falta de memória ou de desgaste da distribuição geométrica. Isto significa que se tentar repetir uma experiência antes do primeiro sucesso, então, dado que o primeiro sucesso ainda não ocorreu, a função de distribuição condicional do número de tentativas adicionais não depende de quantos insucessos foram observados até então.

11 Distribuição Geométrica Example (Conta o número de falhas até o sucesso) Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção da primeira cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de 0, 4, qual é a probabilidade de P(2 X<4) e a probabilidade de P(X>1 X 2). P(2 X<4) = P(X = 2)+P(X = 3) = 0, 6 2 0, 4+0, 6 3 0, 4 = 0, P(X>1 X 2) P(X>1 X 2) = P(X 2) P(X = 2) 0, 144 = = = 0, P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 0, 784

12 Distribuição Geométrica Example (Conta o número de falhas até o sucesso) Um pesquisador está realizando experimentos químico independentes e sabe que a probabilidade de que cada experimento apresente uma reação positiva é 0, 3. Qual é a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? Para resolver este problema, considere X como sendo a variável aleatória que representa o número de reações negativas até a ocorrência da primeira positiva. Neste caso, temos que X Geo(0, 3) e então P(X < 5) = 4 P(X = i) = 0, 3 + 0, 7 0, 3 + 0, 7 2 0, 3 i=0 + 0, 7 3 0, 3 + 0, 7 4 0, 3 = 0, 83193

13 Distribuição Geométrica O valor esperado e variância no caso em que conta o número de falhas até o sucesso E(X) = j(1 p) j p = p j(1 p) j = p(1 p) j(1 p) j 1 p(1 p) =. p 2 j=0 j=0 j=0 Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = p3 3p 2 + 2p (1 p)2 = 1 p. p 3 p 2 p 2

14 Geométrica (conta o número ensaios para se obter um sucesso) Definition Seja X a v.a. que fornece o número de ensaios de Bernoulli realizados até a obtenção do primeiro sucesso. A variável X tem distribuição Geométrica com parâmetro p, 0 < p < 1, se sua função de probabilidade é dada por P(X = j) = (1 p) j 1 p, j = 1, 2,... Usaremos a notação X Geo(p). Observe que, nesta parametrização os valores possíveis assumidos pela variável aleatória X são R X = {1, 2,...} e que a probabilidade de X ser igual ao valor k é igual a probabilidade de X ser igual a k 1 na parametrização anterior.

15 Geométrica Example (Conta o número de ensaios para se obter um sucesso) Um dado honesto é lançado sucessivas vezes até que apareça pela primeira vez a face 1. Seja X a variável aleatória que conta o número de ensaios até que ocorra o primeiro 1. Qual a probabilidade de obtermos 1 no terceiro lançamento. Como o dado é honesto, a probabilidade de, em um lançamento, obtermos qualquer face é igual a 1/6. Neste caso, a probabilidade de se obter a face 1 (sucesso) é 1/6 e a probabilidade de se obter qualquer outra face (fracasso) é 5/6. Podemos definir a v.a. { 1, se obtemos 1 no lançamento do dado Y = 0, caso contrário

16 Distribuição Geométrica Example (Continuação: Conta o número de ensaios para se obter um sucesso) Neste caso, Y Bernoulli(1/6) e, se definirmos X como sendo a variável que representa o número de lançamentos até a obtenção do primeiro sucesso (aparecimento da face 1), temos que X Geo(1/6). Portanto, se estamos interessados no cálculo da probabilidade de obter 1 no terceiro lançamento, precisamos calcular P(X = 3), ou seja, P(X = 3) = (1 p) 2 p = ( 1 1 ) = ( ) = 52 0,

17 Distribuição Geométrica Example (Conta o número de ensaios para se obter um sucesso) Um pesquisador está produzindo um novo tipo de vacina para ser usada em seres humanos. Através de testes em animais ele chegou à conclusão de que esta vacina tem probabilidade de matar o usuáio em 0, 1% dos casos. Por causa das leis do país onde será aplicada, a vacina deve ter sua produção suspensa após ocorrer sua primeira morte. Se admitirmos como sendo a ocorrência da morte do paciente como um sucesso então p = 0, 001. Assim, se X é o número de pessoas que tomarão a vacina até a ocorrência da primeira morte, temos que X tem uma distribuição geométrica com parâmetro p, isto é, X Geo(0, 001), e a probabilidade de que a primeira morte ocorra na k-ésima aplicação da vacina é P(X = k) = 0, 001(1 0, 001) k 1. Analisando a função podemos verificar que conforme aumenta o número de pessoas que tomam a vacina maior é a chance de que uma pessoa morra e a produção seja interrompida.

18 Distribuição Geométrica O valor esperado e variância no caso em que conta o número ensaios para se obter um sucesso E(X) = j(1 p) j 1 p = p j(1 p) j 1 = p p = 1 2 p. j=0 j=0 Var(X) = E ( X 2) E 2 (X) = 2 p p 2 1 p 2 = 1 p p 2.