Probabilidade e Estatística

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1 Probabilidade e Estatística Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Narciso Gonçalves da Silva

2 Introdução Distribuições Discretas de Probabilidade Muitas variáveis aleatórias associadas a experimentos aleatórios têm propriedades similares e, portanto, podem ser descritas através de uma mesma distribuição de probabilidade, com pressuposições bem definidas. A escolha da distribuição de probabilidade deve ser criteriosa de modo que descreva corretamente as observações geradas no experimento aleatório. 2

3 1. Distribuição Uniforme Seja uma variável aleatória X discreta que assume os valores x 1, x 2, x 3,..., x n. A função de probabilidade para a variável aleatória X com distribuição uniforme é definida por: 1 P( X = x) = x { x1, x2, x3,..., xn} n 3

4 1. Distribuição Uniforme Esperança Matemática E( X) = = n i= 1 n x i Variância V( X) = 2 = n i= 1 ( x i n - ) 2 4

5 1. Distribuição Uniforme Exemplo: Seja o experimento aleatório em que um dado não viciado é lançado. Considerando a variável aleatória X sendo a observação da face que ocorre, determine a função de probabilidade. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 1 P ( X = x) = = x {1,2,3,4,5,6 } n 6 5

6 2. Distribuição de Bernoulli Esta distribuição se baseia no Experimento de Bernoulli (Jacques Bernoulli, ) que consiste de experimento onde só pode ocorrer dois resultados: um chamado de sucesso (S) e outro chamado de fracasso (F). Exemplos: a) No lançamento de uma moeda não viciada. Sucesso = ocorrer cara Fracasso = não ocorrer cara = ocorrer coroa b) Uma lâmpada é escolhida aleatoriamente. Sucesso = se a lâmpada está queimada Fracasso = se a lâmpada não está queimada 6

7 2. Distribuição de Bernoulli A variável aleatória discreta X associada a estes resultados são de tal forma que: X = 1 se o resultado for sucesso; X = 0 se o resultado for um fracasso. Se p é a probabilidade de ocorrer sucesso, então 1 p = q será a probabilidade de ocorrer o fracasso no experimento. Logo, a função de probabilidade para a variável aleatória X que tem distribuição de Bernoulli é definida por: Ou ainda: P(X = x) = p x.q 1-x = p x.(1 p) 1-x O único parâmetro da função de probabilidade é p. 7

8 2. Distribuição de Bernoulli Esperança Matemática E(X) = µ = 1.p + 0.q = p Variância V(X) = σ 2 = (1 p) 2.p + (0 p) 2.q = p.q Observações: 1ª) Quanto maior a probabilidade de sucesso, maior é a esperança matemática; 2ª) A variância será máxima quanto p = q = 0,5. 8

9 2. Distribuição de Bernoulli Exemplo: Experimento aleatório = um dado é lançado e o resultado é observado. Considere a variável aleatória X = 1 quando ocorre face 4 e X = 0 quando não ocorre face 4. Determine a função de probabilidade para a variável aleatória X. Resposta: P(X = x) = (1/6) x.(5/6) 1-x 9

10 3. Distribuição Binomial Está distribuição recebe este nome em homenagem à Isaac Newton ( ). Suponha que se realize o Experimento de Bernoulli n vezes independentemente e que a variável aleatória discreta X represente o número de sucessos que ocorre com probabilidade p, ou seja, X = {0, 1, 2, 3,..., n}. Considere inicialmente a seguinte sequência: SSS...SFFF...F Como realizou-se n vezes o Experimento de Bernoulli, então está sequência tem x sucessos e (n x) fracassos. Considerando a independência e que a probabilidade de sucesso p e a de fracasso q são contantes para todas as n realizações do experimento, então a probabilidade de ocorrência desta sequência é: p.p.p...p.q.q.q...q = p x.q n-x. 10

11 3. Distribuição Binomial Pode-se obter x sucessos e (n x) fracassos em n realizações do experimento através de C n,x sequências possíveis, e todas com a mesma probabilidade p x.q n-x. Sendo assim, a probabilidade de obter x sucessos em n realizações do experimento é: P(X = x) = p x.q n-x + p x.q n-x p x.q n-x = C n,x.p x.q n-x Fazendo C n,x = () n x () n x x P X = x = p q n - ( ).. x Os parâmetros da função de probabilidade da distribuição binomial são n e p. 11

12 3. Distribuição Binomial Observações: n n! 1ª) = recebe o nome de número binomial. x ( n - x)! x! () (Lê-se n sobre x) 2ª) Uma vez definido o resultado que será sucesso, a variável aleatória X representa o número de sucessos observados em n realizações independentes do experimento. 3ª) A independência pode ser obtida quando se tratar de retirada de amostra com reposição 12

13 3. Distribuição Binomial Esperança Matemática Sendo X 1, X 2, X 3,..., X n os experimentos de Bernoulli. Então: X = X 1 + X 2 + X X n. E(X) = µ = E(X 1 ) + E(X 2 ) + E(X 3 ) E(X n ) E(X) = µ = p + p + p p E(X) = µ = n.p Variância V(X) = σ 2 = V(X 1 ) + V(X 2 ) + V(X 3 ) V(X n ) V(X) = σ 2 = p.q + p.q + p.q p.q V(X) = σ 2 = n.p.q 13

14 3. Distribuição Binomial Exemplos: 1) Um experimento aleatório consiste em lançar 8 moedas não viciadas. Determine a probabilidade de ocorrer exatamente 4 coroas. 2) Numa fábrica, 10% dos copos de vidro se quebram ao serem colocados em caixas que comportam 5 copos. Escolhendo ao acaso uma caixa, determine a probabilidade de: a) Haver 3 copos quebrados; b) Haver algum copo quebrado. 3) A probabilidade de sair coroa no lançamento de uma moeda viciada é quatro vezes a probabilidade de sair cara. Qual a probabilidade de sair 4 coroas em 6 lançamentos desta moeda? 14

15 4. Distribuição Geométrica Considere a variável aleatória discreta X sendo o número de observações de um Experimento de Bernoulli até a ocorrência de um sucesso com probabilidade p, ou seja, o número de tentativas até obter o primeiro sucesso. 1ª tentativa: p 2ª tentativa: q.p 3ª tentativa: q.q.p = q 2.p 4ª tentativa: q.q.q.p = q 3.p x a tentativa: q x-1.p = (1 p) x-1.p Diz-se, então, que está variável aleatória X está geometricamente distribuída com parâmetro p e tem função de probabilidade dada por: P(X = x) = p.(1 p) x 1 onde x ϵ X = {1, 2, 3,... } 15

16 4. Distribuição Geométrica Esperança Matemática E(X) = µ = p 1 Variância q 1-p V(X) = σ 2 = 2 = 2 p p 16

17 4. Distribuição Geométrica Exemplos: 1) Uma urna tem 5 bolas verdes e 4 brancas. Qual a probabilidade que se tenha que tirar 5 bolas com reposição até sair uma branca? Resposta: (5/9) 4.(4/9) = 1,73% 2) Qual a probabilidade de ocorrer a primeira face 2 no 6º lançamento de um dado não viciado? Resposta: (5/6) 5.(1/6) = 6,70% 17

18 5. Distribuição de Pascal Na Distribuição de Pascal (Blaise Pascal, ), também conhecida por Distribuição Binomial Negativa, a variável aleatória discreta X representa o número de observações de um Experimento de Bernoulli até a ocorrência de k sucessos. A função de probabilidade para a variável aleatória X é dada por: Sendo p e k os parâmetros da Distribuição de Pascal, com x ϵ {k, k+1, k+2,... }. 18

19 5. Distribuição de Pascal Observações: 1ª) k é o número de sucesso desejado e x é o número de tentativas para que o k-ésimo sucesso ocorra. 2ª) A variável aleatória da Distribuição Binomial representa o número de sucessos em n realizações do Experimento de Bernoulli enquanto que a variável aleatória da Distribuição de Pascal é o número de tentativas para se ter k sucessos. 3ª) Quando ocorre o k-ésimo sucesso na x-ésima tentativa, já ocorreu (k 1) sucessos e (x k) fracassos entre as primeiras (x 1) tentativas. 19

20 5. Distribuição de Pascal Esperança Matemática E(X) = µ = p k Variância k. q k.(1- p) V(X) = σ 2 = 2 = 2 p p 20

21 5. Distribuição de Pascal Exemplos: 1) De cada 100 produtos confeccionados, 5 tem defeitos. Qual a probabilidade que o 5º produto inspecionado seja o 2º com defeito? Resposta: 4.(0,05) 2.(0,95) 3 = 0,86% 2) Uma máquina produz 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade que a máquina tenha que fabricar 6 peças para se conseguir 3 sem defeitos? Resposta: 10.(0,90) 3.(0,10) 3 = 0,73% 21

22 6. Distribuição Hipergeométrica Considere um conjunto de N elementos, dos quais k elementos tem um determinada característica (k N). São extraídos n elementos sem reposição deste conjunto (n N). A variável aleatória discreta X que representa o número de elementos dentre os n elementos que terão a referida característica determina uma distribuição de probabilidade denominada hipergeométrica. A função de probabilidade para esta variável aleatória X é dada por: com 0 x n e x k 22

23 6. Distribuição Hipergeométrica Esperança Matemática E(X) = µ = n.p sendo p = N k Variância V(X) = σ 2 = n.p.q. N - n N -1 23

24 6. Distribuição Hipergeométrica Observações: 1ª) Na distribuição hipergeométrica a probabilidade de sucesso não é constante em todas as realizações do experimento, uma vez que os eventos não são independentes, ou seja, as amostras são extraídas sem reposição. 2ª) O fator (N n)/(n 1) é denominado fator de correção para população finita. A amostragem com reposição (modelo binomial) é equivalente à amostragem de população infinita porque a probabilidade de sucesso permanece constante para as n realizações do experimento. Na amostragem sem reposição (modelo hipergeométrico) a população é finita. 3ª) No modelo hipergeométrico, se n é pequeno com relação a N, o fator de correção tende à 1. Neste caso, a distribuição hipergeométrica pode ser aproximada pela distribuição binomial fazendo p = k/n. 24

25 6. Distribuição Hipergeométrica Exemplos: 1) Qual a probabilidade de sair 2 cartas pretas em 5 extrações de um baralho comum, sem reposição. Resposta: 32,51% 2) Uma caixa tem 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas aleatoriamente 6 lâmpadas da caixa. Qual a probabilidade que duas lâmpadas estejam queimadas? Resposta: 37,88% 3) Retirou-se 6 cartas de um baralho comum sem reposição. Qual a probabilidade que 4 cartas sejam figuras? Resposta: 1,90% 25

26 7. Distribuição Multinomial A distribuição multinomial que também conhecida por distribuição polinomial, é uma extensão da distribuição binomial para mais de um evento. Considere um experimento aleatório realizado n vezes, com k possíveis resultados. Sejam X 1, X 2, X 3,... X k as variáveis aleatórias discretas que denotam o total de ocorrências de cada um dos k resultados tais que n = n 1 + n 2 + n n k. A função de probabilidade para a variável aleatória X polinomialmente distribuída é dada por: 26

27 7. Distribuição Multinomial Esperança Matemática E(X i ) = n.p i com i = 1, 2, 3,..., k Variância V(X i ) = n.p i.q i com i = 1, 2, 3,..., k 27

28 7. Distribuição Multinomial Exemplos: 1) Um dado não viciado é lançado 8 vezes. Qual a probabilidade de aparecer 1 vez a face 2, 3 vezes a face 5 e 4 vezes a face 6? Resposta: 0,016% 2) Uma caixa tem 6 bolas brancas, 4 verdes e 2 amarelas. São retiradas 6 bolas com reposição. Determine a probabilidade de sair 2 bolas brancas, 3 amarelas e 1 verde. Resposta: 2,31% 28

29 8. Distribuição de Poisson Na distribuição de Poisson (Siméon-Denis Poisson) ( ), a variável aleatória discreta X representa o número de sucessos que ocorrem num certo intervalo contínuo. Por exemplo: 1º) Número de acidentes de carros por dia que ocorrem numa determinada cidade. 2º) Número de chamadas telefônica recebidas por hora em uma central telefônica. 3º) Número de defeitos de soldagem numa chapa de 1 m 2. 29

30 8. Distribuição de Poisson A função de probabilidade para a variável aleatória X é dada por: x ϵ {0, 1, 2, 3,... } e 2,718 é o parâmetro da distribuição que denota a média de ocorrência de sucesso no intervalo considerado. Esperança Matemática E(X) = µ = Variância V(X) = σ 2 = 30

31 8. Distribuição de Poisson Um Experimento de Poisson possui as seguintes características: 1ª) O número de sucessos que ocorrem num intervalo ou região específica é independente daquele que ocorre em qualquer outro intervalo ou região disjunto. 2ª) A probabilidade de ocorrência de um único sucesso que ocorre num intervalo pequeno é proporcional ao comprimento do intervalo e não depende do número de sucessos que ocorrem fora deste intervalo. Observação: Uma aproximação da Distribuição Binomial pode ser feita pela Distribuição do Poisson fazendo = n.p. Quanto maior o valor de n e menor o valor de p melhor será a aproximação. 31

32 8. Distribuição de Poisson Exemplos: 1) Num determinado aeroporto chegam, em média, 6 aviões por dia. Determine a probabilidade de um certo dia chegar dois ou mais aviões. Resposta: 98,26% 2) O número de telefonemas recebidos numa central telefônica é de 20 por hora. Qual a probabilidade da central receber 8 telefonemas em meia hora? Resposta: 11,27% 3) Um dado não viciado foi lançado 30 vezes. Qual a probabilidade de sair 10 faces 2? Resposta: Binomial = 1,3% e Poisson = 1,8% 32

33 Exercício Um urna contém 3 bolas vermelhas, 2 verdes e 5 brancas. Determine: a) A probabilidade que a 7ª bola retirada com reposição seja a 1ª vermelha; Resp. Geométrica: (0,7) 6.(0,3) = 3,53% b) A probabilidade que em 10 bolas retiradas com reposição, 3 sejam vermelhas; Resp. Binomial: 120.(0,3) 3.(0,7) 7 = 26,68% c) A probabilidade que de 5 bolas extraídas sem reposição, 2 sejam vermelhas; Resp. Hipergeométrica: (3.35)/252 = 13,89% d) A probabilidade que a 10ª bola retirada com reposição seja a 3ª vermelha. Resp. Pascal: 36.(0,3) 3.(0,7) 7 = 8% 33