Probabilidade Condicional

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1 18 Probabilidade Condicional Sumário 18.1 Introdução Probabilidade Condicional

2 Unidade 18 Introdução 18.1 Introdução Nessa unidade, é apresentada mais uma técnica básica importante em probabilidades, a chamada Probabilidade Condicional. Usa-se essa técnica quando se quer calcular a probabilidade de um evento, na presença de uma informação privilegiada. Mais precisamente, é uma maneira de calcular a probabilidade de ocorrer um evento B, sabendo que ocorreu o evento A, ambos do mesmo espaço amostral. Por exemplo, numa turma de 0 alunos, 30 só estudam inglês, 20 só estudam espanhol e 10 estudam ambas as línguas. Suponhamos que um sorteio é realizado, com apenas um vencedor. A probabilidade de um aluno que estuda ambas as línguas ser sorteado é igual a número de alunos que estudam ambas as línguas número total de alunos = 10 0 = 1. Agora, suponhamos que o sorteio é realizado, e alguém nos sopra que o sorteado estuda inglês. Isto certamente vai inuir no nosso modo de calcular a probabilidade do vencedor ser bilíngue, pois agora o espaço amostral se reduz aos 40 alunos que estudam inglês, dos quais 10 também estudam espanhol; logo, a probabilidade passa a ser = 1 4. O resultado é tão simples quanto mostrado no exemplo acima, mas, se bem aplicado, resolve problemas incríveis! 18.2 Probabilidade Condicional Exemplo 1 Consideremos a experiência que consiste em jogar um dado não-viciado e observar a face de cima. Consideremos o evento B = {o resultado é par}. Temos P (B) = 3 = 0, 5. Essa é a probabilidade de B a priori, isto é, antes que a experiência se realize. Suponhamos que, realizada a experiência, alguém nos informe que o resultado não foi o número 1, isto é, que A = {o resultado é diferente de 1} ocorreu. Nossa opinião sobre a ocorrência de B se modica com essa informação pois passamos a ter apenas 5 casos possíveis, dos quais 3 são favoráveis à ocorrência 2

3 Probabilidade Condicional Unidade 18 de B. Essa opinião é quanticada com a introdução de uma probabilidade a posteriori, ou probabilidade de B na certeza de A, P (B A) = 3 5 = 0,. Note que os casos possíveis não são mais todos os elementos do espaço amostral S e sim os elementos de A e que os casos favoráveis à ocorrência de B não são mais todos os elementos de B e sim os elementos de A B pois só os elementos que pertencem a A podem ocorrer. A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de uma turma, por sexo e por carreira pretendida. Exemplo 2 masculino feminino total cientíca humanística Escolhe-se ao acaso um aluno. total Sejam M, F, C e H os eventos, o aluno selecionado é do sexo masculino, é do sexo feminino, pretende uma carreira cientíca e pretende uma carreira humanística, respectivamente. Temos P (H) = = 1 3 ; P (H M) = 3 18 = 1 ; P (H F ) = 7 12 ; P (F H) = Dados dois eventos A e B, com P (A) 0, a probabilidade condicional de B na certeza de A é o número P (B A) = P (A B). P (A) Definição 1 Probabilidade Condicional 3

4 Unidade 18 Probabilidade Condicional Na realidade, poucas vezes usaremos a fórmula acima para calcular uma probabilidade condicional. Usá-la-emos, isto sim, para o cálculo de P (A B); P (A B) = P (A) P (B A). Exemplo 3 Uma urna contém 4 bolas brancas e bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem brancas. Solução. branca}. Temos Sejam B 1 = {a primeira bola é branca} e B 2 = {a segunda bola é P (B 1 B 2 ) = P (B 1 ) P (B 2 B 1 ) = = Note que foi bastante simples o cálculo de P (B 2 B 1 ). Realmente, na certeza de que a primeira bola foi branca, é fácil calcular a probabilidade da segunda bola ser branca, pois, para a segunda extração, a urna está com 3 bolas brancas e pretas. De modo mais geral, é fácil calcular probabilidades condicionais quando as coisas estão na ordem certa, isto é, é fácil calcular probabilidades de coisas futuras na certeza de coisas passadas. Exemplo 4 Uma urna contém 4 bolas brancas e bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca, sabendo que a segunda bola é branca. Solução. Sejam B 1 = {a primeira bola é branca} e B 2 = {a segunda bola é branca}. Queremos P (B 1 B 2 ). Note que essa é uma probabilidade do passado na certeza do futuro. condicional. Aqui usamos a fórmula da denição de probabilidade P (B 1 B 2 ) = P (B 1 B 2 ) P (B 2 ) P (B 1 B 2 ) foi calculada no exemplo anterior e vale O cálculo de P (B 2 ) não é imediato pois não sabemos como está a urna no momento da segunda extração. Para calcular P (B 2 ), consideramos todas as possibilidades quanto à primeira bola. Para a segunda bola ser branca, ou a segunda é branca e a primeira foi branca, ou a segunda é branca e a primeira 4

5 Probabilidade Condicional Unidade 18 foi preta. Isto é, P (B 2 ) = P [(B 1 B 2 ) (P 1 B 2 )] = P (B 1 B 2 ) + (P 1 B 2 ) = P (P 1) P (B 2 P 1 ) = = 2 5 Logo, P (B 1 B 2 ) = P (B 1 B 2 ) P (B 2 ) = = 1 3. Uma maneira eciente de lidar com experiências que possuem vários estágios é o uso das árvores de probabilidade. Figura 18.1: Árvore de probabilidade Nesses diagramas colocamos as probabilidades condicionais da extremidade de cada galho na certeza da origem do galho. Para determinar uma probabilidade usando esse diagrama, basta percorrer todos os caminhos que levam ao evento cuja probabilidade é procurada, multiplicando as probabilidades em cada caminho e somando os produtos ao longo dos vários caminhos. por exemplo, P (B 1 B 2 ) = = 2 15 ; 5 Assim,

6 Unidade 18 Probabilidade Condicional P (B 2 ) = = 2 5 Exemplo 5 Escolhe-se uma entre três moedas. Duas dessas moedas são não-viciadas e a outra tem duas caras. A moeda selecionada é lançada e é obtida uma cara. Qual é a probabilidade de ter sido selecionada a moeda de duas caras? Figura 18.2: Moeda de duas caras P (V C) = P (V C) P (C) P (V C) = = 1 3 P (C) = = 2 3 P (V C) = = 1 2 O exemplo a seguir mostra um dos mais poderosos métodos de estimação em Estatística, o método da máxima verossimilhança. Exemplo Em certa cidade, os táxis são numerados de 1 a N. Para estimar o número N de táxis da cidade, um turista anotou os números de todos os táxis que pegou: 47, 12, 33 e 25. Determine a probabilidade do turista ter tomado os táxis que têm esses números e determine o valor de N para o qual essa probabilidade é

7 Probabilidade Condicional Unidade 18 máxima. Solução. Sejam A = {o primeiro táxi tem número 47}, B={o segundo táxi tem número 12}, etc. A probabilidade pedida é P (A B C D) = P (A) P (B A) P [C (A B)] P [D (A B C)] 1 = N 1 N 1 N 1 N = 1 N 4 Essa probabilidade de ocorrer o que efetivamente ocorreu é chamada de verossimilhança. No caso, ela é máxima quando N é mínimo. Ora, como N 47, o valor de N que torna máxima a verossimilhança é 47. A estimativa de máxima verossimilhança de N é 47. Algumas pesquisas estatísticas podem causar constrangimentos aos entrevistados com perguntas do tipo você usa drogas? e correm o risco de não obter respostas sinceras ou não obter respostas de espécie alguma. Para estimar a proporção p de usuários de drogas em certa comunidade, pede-se ao entrevistado que, longe das vistas do entrevistador, jogue uma moeda: se o resultado for cara, responda a você usa drogas? e, se o resultado for coroa, responda a sua idade é um número par?. Assim, caso o entrevistado diga sim, o entrevistador não saberá se ele é um usuário de drogas ou se apenas tem idade par. Se s é a probabilidade de um entrevistado responder sim, s é facilmente estimado pela proporção de respostas sim obtidas nas entrevistas. A relação entre s e p pode ser determinada pela árvore abaixo. Exemplo 7 Figura 18.3: Método indireto de entrevista 7

8 Unidade 18 Probabilidade Condicional s = P (sim) = 0, 5p + 0, 5 0, 5. Daí, p = 2s 0, 5. Por exemplo, se 30% dos entrevistados respondem sim, você pode estimar em 10% a proporção de usuários de drogas. O exemplo a seguir é um interessante exemplo de probabilidade geométrica. Quando selecionamos um ponto ao acaso em uma parte do plano é extremamente razoável supor que a probabilidade do ponto selecionado pertencer a uma certa região seja proporcional à área dessa região. Exemplo 8 Selecionam-se ao acaso dois pontos em um segmento de tamanho 1, dividindo-o em três partes. Determine a probabilidade de que se possa formar um triângulo com essas três partes. Solução. Sejam x [0, 1] e y [0, 1] os pontos escolhidos, x y. Figura 18.4: Escolher x e y pertencentes a [0, 1], com x y, equivale a escolher um ponto (x, y) no triângulo T da gura abaixo. Figura 18.5: Como escolher os pontos x e y 8

9 Probabilidade Condicional Unidade 18 Para que exista um triângulo de lados x, y x e 1 y devemos ter x < y x + 1 y e y x < x + 1 y e 1 y < x + y x, o que dá x < 0, 5 e y < x + 0, 5 e y > 0, 5. Em suma, o triângulo existirá se e somente se o ponto (x, y) for selecionado na parte sombreada do triângulo T. Sendo A o evento as três partes formam um triângulo e sendo S o evento certo, temos que P (A) é proporcional à área da parte sombreada e P (S) = 1 é proporcional à área de T. Logo, P (A) = P (A) P (S) = área sombreada área de T = 1 4 A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles obtenha soma de pontos 7, caso em que a disputa termina e o vencedor é o jogador que obteve soma 7. Se A é o primeiro a jogar, qual é a probabilidade de A ser o vencedor? Solução. A probabilidade de obter soma 7 é Exemplo 9 3 = 1 e a de não ser soma 7 é 1 1 = 5 Para A ganhar, ou A ganha na primeira mão, ou na segunda, ou na terceira, etc. A probabilidade de A ganhar na primeira mão é 1. Para A ganhar na segunda mão, A não pode obter soma 7 na primeira mão e B não pode obter soma 7 na primeira mão e A deve obter soma 7 na segunda mão, o que ocorre com probabilidade ( ) Para A ganhar na terceira mão, A não pode obter soma 7 nas duas primeiras mãos e B não pode obter soma 7 nas duas primeiras mãos e A deve obter soma 7 na terceira mão, o que ocorre com probabilidade ( ) 2 5 1, 9

10 Unidade 18 Probabilidade Condicional etc. A probabilidade de A ganhar é 1 + ( ) ( ) = ( 1 5 ) 2 = 11. Uma solução mais elegante pode ser obtida ignorando as mãos sem vencedores. A probabilidade de A ganhar uma mão é de 1 ; de B ganhar uma mão é de 5 1 = 5 3, pois, para B ganhar, A não pode obter soma 7 e B deve obter soma 7; a de ninguém ganhar é de 5 5 = 25 3, pois, para que ninguém ganhe, A não pode obter soma 7 e B não pode obter soma 7. A probabilidade A ganhar é a probabilidade A ganhar em uma mão em que houve vencedor, isto é, P (A A B) = Como, analogamente, P [A (A B)] P (A B) = P (A) 1 P (A B) = 1 25 = P (A A B) = P (B) P (A B), observe que a razão entre P (A A B) e P (B A B) é igual à razão entre P (A) e P (B), pois P (A B) é simplicado. Esse é o princípio de preservação das chances relativas. Em um jogo em que pode haver empates, e é repetido até que alguém vença, a razão entre as probabilidades de vitória dos dois jogadores é igual à razão de suas probabilidades de vitória em uma única partida. Conhecendo o princípio, poderíamos ter resolvido o problema do modo seguinte: de Em uma mão, as probabilidades de vitória de A e de B são respectivamente 1 e de

11 Probabilidade Condicional Unidade 18 A razão dessas probabilidades é de. A razão das probabilidades de vitória de 5 A e de B no jogo é também de 5 e, como um dos dois ganha o jogo, a soma dessas probabilidades é 1. Então, essas probabilidades são iguais a 11 e 5 11, respectivamente. 11

12 Unidade 18 Probabilidade Condicional Exercícios Recomendados 1. Joga-se um dado não-viciado duas vezes. Determine a probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi Um estudante resolve um teste de múltipla escolha de 10 questões, com 5 alternativas por questão. Ele sabe 0% da matéria do teste. Quando ele sabe uma questão, ele acerta, e, quando não sabe, escolhe a resposta ao acaso. Se ele acerta uma questão, qual é a probabilidade de que tenha sido por acaso? 3. Por denição, dois eventos A e B são independentes, quando ocorre P (A B) = P (A) P (B). Três eventos A, B e C são independentes, por denição, quando P (A B) = P (A) P (B), P (B C) = P (B) P (C), P (A C) = P (A) P (C) e P (A B C) = P (A) P (B) P (C). Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos A = {o resultado do primeiro lançamento é par}, B = {o resultado do segundo lançamento é par} e C = {a soma dos resultados é par}. a) A e B são independentes? b) A e C são independentes? c) B e C são independentes? d) A, B e C são independentes? 4. Determine a probabilidade de obter ao menos a) um seis em 4 lançamentos de um dado; b) um duplo seis em 24 lançamentos de um par de dados. 5. Um exame de laboratório tem eciência de 95% para detectar uma doença quando ela de fato existe. Entretanto o teste aponta um resultado falsopositivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0, 5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o seu exame foi positivo?. Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum seis seja superior a 0,9? 12

13 Probabilidade Condicional Unidade Em uma cidade com n + 1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra pessoa, a qual, por sua vez, conta o boato para uma terceira pessoa, e assim por diante. Evidentemente ninguém é distraído a ponto de contar o boato para quem lhe havia contado o boato. Determine a probabilidade do boato ser contado k vezes: a) sem retornar ao inventor do boato. b) sem repetir nenhuma pessoa. 8. Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade 1 3. Suponha que A faz uma armação e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade? 9. Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas urnas, desde que nenhuma urna que vazia. As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, escolher uma bola. Se a bola for branca ele será libertado e, se for preta, será condenado. Como deve agir o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado? 13