EST029 - Cálculo de Probabilidades I Lista 05

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1 EST029 - Cálculo de Probabilidades I Lista 05 Marcus Nunes 07/0/20 Exercícios retirados do livro Probabilidade - Um Curso Moderno com Aplicações, de Sheldon Ross, com a seguinte legenda: P : Problemas ET : Exercícios Teóricos P AE: Problemas de Autoteste e Exercícios Exemplo: [P AE.] significa Problemas de Autoteste e Exercícios, Capítulo, Exercício [P.2] Dois dados honestos são rolados. Seja X o produto dos dois dados. Calcule P (X = i) para i =, 2,, 36 (considere apenas os resultados possíveis para esta multiplicação). [P.7] Suponha que um dado seja rolado duas vezes. Quais são os possíveis valores que as seguintes variáveis aleatórias podem assumir? (a) o valor máximo que aparece nas duas vezes em que o dado é jogado (b) o valor mínimo que aparece nas duas vezes em que o dado é jogado (c) a soma das duas jogadas (d) o valor da primeira jogada menos o valor da segunda jogada [P.8] Se o dado do problema anterior é honesto, calcule as probabilidades associadas às variáveis aleatórias nas letras (a) a (d).

2 [P.9] (adaptação) Se a função distribuição de X é dada por 3 F (b) = 0, se b < 0 2, se 0 b < 5, se b < 2 5, se 2 b < 3 9, se 3 b < 3, 5 0, se b 3, 5 calcule f(b). Faça esboços dos gráficos de F (b) e f(b). [5] As variáveis aleatórias X e Y tem funções massa de probabilidade dadas por e ; se x = 2 2 ; se x = f X (x) = 8 ; se x = 0 6 ; se x = 6 ; se x = 2 0, 0; se y = 0, 20; se y = 2 f Y (y) = 0, 25; se y = 3 0, 30; se y = 0, 5; se y = 5 respectivamente. Calcule E(X), Var(X), E(Y ) e Var(Y ). [P.2] Quatro ônibus levando 0 estudantes da mesma escola chegam a um jogo de futebol. Os ônibus levam, respectivamente, 0, 33, 25 e 50 estudantes. Um dos estudantes é selecionado aleatoriamente. Suponha que X represente o número de estudantes que estavam no ônibus que levava o estudante selecionado. Um dos motoristas dos ônibus também é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de estudantes no ônibus do motorista selecionado. 2

3 (a) Qual o valor esperado você pensa ser maior? E(X) ou E(Y )? (b) Calcule E(X) e E(Y ). [P.25] Jogam-se duas moedas. A primeira moeda dá cara com probabilidade 0,6 e a segunda com probabilidade 0,7. Suponha que os resultados das jogadas sejam independentes e que X seja igual ao número total de caras que saem. (a) Determine P (X = ). (b) Determine E(X). [8] Seja Y Binomial(5; 0, ). Calcule (a) E(Y ) (b) Var(Y ) (c) P (Y ) [P.38] Se E(X) = e Var(X) = 5, determine (a) E(2 + X 2 ) (b) E[(2 + X) 2 ] (c) Var( + 3X) [P.0] Em um teste de múltipla escolha com 3 respostas possíveis para cada uma das 5 questões, qual é a probabilidade de que um estudante acerte questões ou mais apenas chutando? [P.] Um homem diz ter percepção extrassensorial. Como um teste, uma moeda honesta é jogada 0 vezes e pede-se ao homem que preveja o resultado. Ele acerta 7 vezes em 0. Qual é a probabilidade de que ele consiga um índice de acertos igual ou superior a este mesmo não tendo percepção extrassensorial? [P.52] O número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é igual a 3, 5. Qual é a probabilidade de que (a) ocorram pelo menos 2 acidentes desse tipo no próximo mês? (b) ocorra no máximo acidente no próximo mês? [P AE.] Suponha que a variável aleatória X seja igual ao número de acertos obtidos por certo jogador de beisebol nas suas três chances como rebatedor. Se P (X = ) = 0, 3, P (X = 2) = 0, 2 e P (X = 0) = 3P (X = 3), determine E(X). [P AE.9] Se X é uma variável aleatória binomial com valor esperado 6 e variância 2,, determine P (X = 5). 3

4 [P AE.5] O número de ovos deixados em uma árvore por um inseto de certo tipo é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ. Entretanto, tal variável aleatória só pode ser observada se for positiva, pois se ela for igual a 0 não podemos saber se tal inseto pousou na folha ou não. Se Y representa o número de ovos depositados, então P (Y = i) = P (X = i X > 0), onde X é Poisson com parâmetro λ. Determine E(Y ). [P AE.9] Quando três amigos tomam café, eles decidem quem paga a conta jogando, cada um deles, uma moeda. Aquele que obtiver um resultado diferente dos demais paga a conta. Se todas as três jogadas produzirem o mesmo resultado, então uma segunda rodada de jogadas é feita, e assim por diante, até que alguém obtenha um resultado diferente dos demais. Qual é a probabilidade de que: (a) exatamente 3 rodadas sejam feitas (b) mais do que rodadas sejam necessárias [7] Suponha que a probabilidade de um táxi passar e estar livre é 0,20. Se alguém está esperando para pegar um táxi, determine (a) a função massa de probabilidade desta variável aleatória (b) a probabilidade desta pessoa ter que esperar pelo menos 3 táxis passarem até poder entrar em um (c) o número médio de táxis que passarão até que apareça um carro livre [8] Suponha que uma rifa tenha 00 bilhetes numerados de a 00. João tem em seu poder os bilhetes de número 2 a 25, enquanto Paulo possui os bilhetes,, 29, 68 e 93. Sabendo que apenas um bilhete será sorteado, qual pessoa tem mais chances de ser sorteada? João ou Paulo? Justifique. [9] Um usuário de transporte coletivo chega pontualmente às 8 horas para pegar seu ônibus. Devido ao trânsito caótico, a demora pode ser qualquer tempo entre e 20 minutos admita que o relógio pule de minuto em minuto). Pergunta-se (a) Qual a probabilidade de demorar mais de 0 minutos? (b) Qual a probabilidade de demorar pelo menos 5, mas não mais do que 0 minutos? (c) Qual a probabilidade da demora não chegar a 5 minutos? (d) Se um amigo chegou 0 minutos atrasado e vai pegar o mesmo ônibus (que ainda não passou), qual a probabilidade de o amigo atrasado esperar até 3 minutos?

5 [ET.8] Determine Var(X) se P (X = a) = p = P (X = b) 5