3ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Discretas

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1 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Variáveis Aleatórias Discretas Prof. Mariana Pereira de Melo Assunto: Distribuições de Probabilidade e Funções de Probabilidade 1. O espaço amostral de um experimento aleatório é, sendo cada resultado igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como segue: Resultado a b c d e f x 0 0 1,5 1,5 2 3 Determine a função de probabilidade de X. Considere a função de probabilidades para determinar as seguintes probabilidades: (a) (b) (c) (d) (e) 2. Verifique que a seguinte função é uma função de probabilidade e determine as probabilidades requeridas. (a) (b) (c) (d) Resp: (a) 9/25 ; (b) 4/25 ; (c) 12/25 ; (d) 1 3. O setor de marketing estima que um novo instrumento para análise de amostras de solo terá grande sucesso, sucesso moderado, ou não terá sucesso, com probabilidades de 0,3; 0,6 e 0,1 respectivamente. A receita anual associada com um produto de grande sucesso, sucesso moderado ou nenhum sucesso é de U$$ 10 milhões, U$$ 5 milhões e U$$ 1 milhão, respectivamente. Seja a variável aleatória X a renda anual do produto. Determine a função de probabilidade de X.

2 Assunto: Função de Distribuição Acumulada 4. Determine a função de distribuição cumulativa da variável aleatória do Exercício Calcule: (a) P(X 50) (b) P(X 40) (c) P(40 X 60) (d) P(X<0) (e) P(0 X<10) (f) P(-10<x<10) Resp: (a) 1 ; (b) 0,75 ; (c) 0,25 ; (d) 0,25 ; (e) 0 ; (f) 0 Assunto: Média e Variância 6. Determine a média e a variância da variável aleatória no Exercício A faixa da variável aleatória X é, em que x é uma incógnita. Se cada valor for igualmente provável e a média de X for igual a 6, determine x. Resp: Em uma bateria NiCd, uma célula completamente carregada é composta de hidróxido de níquel III. Níquel é um elemento que tem múltiplos estados de oxidação. Considera as seguintes proporções dos estados: Carga de Níquel Proporções Encontradas 0 0, , , ,15 (a) Determine a função de distribuição cumulativa de carga de níquel. (b) Determine a média e a variância da carga de níquel 9. Árvores são sujeitas a diferentes níveis de atmosfera de dióxido de carbono com 6% das arvores em uma condição mínima de crescimento a 350 partes por milhão (ppm) de CO2, 10% a 450 ppm (crescimento lento) de CO2, 47% a 550 ppm (crescimento moderado) de CO2 e 37% a 650 ppm (crescimento rápido) de CO2. Qual é a média e o desvio-padrão da atmosfera de dióxido de carbono (em ppm) para essas árvores em ppm?

3 Assunto: Distribuição Discreta Uniforme 10. Os códigos de produtos com 2,3 ou 4 letras são igualmente prováveis. Qual é a média e desvio padrão do número de letras nos códigos. Resp: Média = 3,5 e Desvio Padrão = 1, A probabilidade de um operador entrar incorretamente com dados alfanuméricos em um campo de uma base de dados é igualmente provável. A variável aleatória X é o numero de campos no formulário de entrada de dados com um erro. O formulário de entrada de dados tem 28 campos. X é uma variável aleatória uniforme? Por que sim ou por que não? Assunto: Distribuição Binomial 12. A variável aleatória X tem uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0,5. Determine as seguintes probabilidades: (a) P(X = 5) (b) P(X 2) (c) P(X 9) (d) P(3 X < 5) 13. Determina a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória binomial, com n = 3 e p = ¼. 14. Se X ~ Binomial (n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e Var(X) = 3, determinar: (a) n (b) p (c) P(X < 12) (d) P(X 14) (e) E(Z) e Var(Z), onde (f) P(Y 14/16), onde Y = X/n (g) P(Y 12/16), onde Y = X/n 15. Um produto eletrônico contem 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de 0,01. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere? 16. As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 chamadas aconteçam para a companhia aérea.

4 (a) Qual a probabilidade de que para exatamente três chamadas, as linhas estejam ocupadas? (b) Qual é a probabilidade de que para no mínimo uma chamada, as linhas não estejam ocupadas? (c) Qual é o numero esperado de chamadas em que as linhas estejam todas ocupadas? Resp: (a) 0,215 ; (b) 0,9999 ; (c) Um teste de múltipla escolha contem 25 questões, cada uma com quatro respostas. Suponha que um estudante apenas tente adivinhar ( chutar ) em cada questão. (a) Qual é a probabilidade de que o estudante responda mais de 20 questões corretamente? (b) Qual é a probabilidade de que o estudante responda menos de cinco questões corretamente? Assunto: Distribuição Geométrica e Binomial Negativa 18. Suponha que a variável aleatória X tenha um distribuição geométrica, com uma média de 2,5. Determine as seguintes probabilidades: (a) (b) (c) (d) (e) 19. Considere a sequencia de tentativas independentes de Bernoulli, com p = 0,2. (a) Qual é o numero esperado de tentativas, de modo a se obter o primeiro sucesso? (b) Depois de oito sucessos ocorrerem, qual é o numero esperado de tentativas, de modo a se obter o nono sucesso? Resp: (a) 5 ; (b) A probabilidade de um alinhamento óptico com sucesso em um arranjo de um produto de armazenamento de dados ópticos é de 0,8. Considere que as tentativas sejam independentes. (a) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente quatro tentativas? (b) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no máximo quatro tentativas? (c) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no mínimo quatro tentativas? Resp: (a) 0,0064 ; (b) 0,9984 ; (c) 0, Suponha que cada uma das suas chamadas para uma estação popular de radio tenha uma probabilidade de 0,02 de se completar; ou seja, de não obter nenhum sinal de ocupado. Considere que suas chamadas sejam independentes. (a) Qual é a probabilidade de que sua primeira chamada a se completar seja sua décima tentativa?

5 (b) Qual é a probabilidade de se necessitar mais de cinco chamadas para que a ligação se complete? (c) Qual é o numero médio necessário de chamadas para que a ligação se complete? Resp: (a) 0,0167 ; (b) 0,9039 ; (c) Uma companhia de comercio tem oito computadores que ela usa para negociar na bolsa de Nova York. A probabilidade de um computador falhar em um dia é igual a 0,005, e os computadores falham independentemente. Computadores são reparados à noite, e cada dia é uma tentativa independente. (a) Qual é a probabilidade de todos os oito computadores falharem em um dia? (b) Qual é o numero médio de dias até que um computador específico falhe? (c) Qual é o numero médio de dias até que todos os oito computadores falhem em um mesmo dia? Resp: (a) 3,91 x ; (b) 200 ; (c) 2,56 x Mostre que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória binomial negativa é igual a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória geométrica, quando r = 1. Mostre que as formulas para a média e variância de uma variável aleatória binomial negativa são iguais aos resultados correspondentes à variável aleatória geométrica, quando r=1. Assunto: Distribuição Hipergeométrica 24. Uma batelada contem 36 células de bactérias, das quais 12 não são capazes de replicação celular. Suponha que você examine três células de bactérias selecionadas aleatoriamente, sem reposição. (a) Qual é a função de probabilidade do numero de células na amostra que podem se replicar? (b) Quais são a médias e variância do numero de células na amostra que podem se replicar? (c) Qual é a probabilidade de no mínimo uma das células selecionadas não poder se replicar? 25. Uma companhia emprega 800 homens com menos de 55 anos. Suponha que 30% carreguem um marcador no cromossomo masculino, que indique um risco crescente de pressão sanguínea alta. (a) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo, qual será a probabilidade de exatamente um homem ter esse marcador? (b) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo, qual será a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador? Resp: (a) 0,1201 ; (b) 0,8523 Assunto: Distribuição de Poisson 26. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média de 4. Determine as seguintes probabilidades:

6 (a) (b) (c) (d) Resp: (a) 0,0183 ; (b) 0,2381; (c) 0,1954 ; (d) 0, O número de chamadas eletrônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado como uma variável aleatória de Poisson. Considere que, em média, há 10 chamadas por hora. (a) Qual é a probabilidade de que haja exatamente cinco chamadas em uma hora? (b) Qual é a probabilidade de que haja três ou menos chamadas em uma hora? (c) Qual é a probabilidade de que haja exatamente 15 chamadas em duas horas? (d) Qual é a probabilidade de que haja exatamente 5 chamadas em 30 minutos? 28. Em 1898, L.J. Bortkiewicz publicou um livro intitulado The Law of Small Numbers. Ele empregou dados coletados ao longo de 20 anos para mostrar que o numero de soldados mortos por coices de cavalo em cada ano em cada corporação na cabalaria prussiana seguia uma distribuição de Poisson com média de 0,61. (a) Qual é a probabilidade de mais de uma morte na corporação em um ano? (b) Qual é a probabilidade de nenhuma morte na corporação ao longo de cinco anos? Resp: (a) 0,4566 ; (b) 0, O numero de falhas em parafusos de maquinas da indústria têxtil segue uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,1 falha por metro quadrado. (a) Qual é a probabilidade de que haja duas falhas em 1 metro quadrado de tecido? (b) Qual é a probabilidade de que haja 1 falha em 10 metros quadrados de tecido? (c) Qual é a probabilidade de que não haja falhas em 20 metros quadrados de tecido? (d) Qual é a probabilidade de que haja no mínimo duas falhas em 10 metros quadrados de tecido? 30. Em uma seção de uma autoestrada, o numero de buracos, que é bastante significante para requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson, com uma médias de dois buracos por milha. (a) Qual é a probabilidade de que não haja buracos que não requeiram reparo em 5 milhas de autoestrada? (b) Qual é a probabilidade de que no mínimo um buraco requeira reparo em 0,5 milhas de autoestrada? (c) Se o número de buracos estiver relacionado a carga do veiculo na autoestrada e algumas seções dessa autoestrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de veículos enquanto outras seções estiverem sujeitas a uma carga leve de veículos, como você se sente a respeito da suposição de distribuição de Poisson para o numero de buracos que requerem reparo. 31. O numero de falhas na superfície de painéis de plásticos usados no interior de automóveis, tem uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,05 falha por pé quadrado de painel plástico. (a) Qual é a probabilidade de não haver falha na superfície do interior de um automóvel?

7 (b) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será a probabilidade de que nenhum dos 10 carros tenha qualquer falha na superfície? (c) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será a probabilidade de que no máximo um carro tenha qualquer falha na superfície? Resp: (a) 0,6065; (b) 0,0067 ; (c) P(W=0) = 0,0067, P(W=1)=0,0437, P(W 1)=0,0504 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 32. Um carregador automático de cartelas de ovos tem uma probabilidade de 1% de quebrar um ovo, e o consumidor reclamará se mais de um voo por dúzia estiver quebrado. Considere que cada carregamento de ovo seja um evento independente. (a) Qual é a distribuição de ovos quebrados por dúzia? Inclua os valores dos parâmetros? (b) Qual é a probabilidade de uma cartela de uma dúzia de ovos resultar em reclamação? (c) Quais são a média e o desvio padrão do numero de ovos quebrados em uma cartela de uma dúzia? 33. A probabilidade de uma calibração de um transdutor em um instrumento eletrônico obedecer as especificações para o sistema de medição é igual a 0,6. Suponha que as tentativas de calibração sejam independentes. Qual é a probabilidade de se necessitar de no máximo três tentativas de calibração de modo a obedecer as especificações para o sistema de medição? 34. A probabilidade de uma águia matar um coelho em um dia de caca é 10%. Considere que resultados sejam independentes entre dias. (a) Qual é a distribuição do numero de dias até que a caca ao coelho tenha sucesso? (b) Qual é a probabilidade de a águia ter de esperar cinco dias para sua primeira cada de sucesso? (c) Qual é o numero esperado de dias até que a caçada tenha sucesso? (d) Se a águia puder sobreviver até 10 dias sem alimento (isso requer uma caçada com sucesso no decimo dia), qual é a probabilidade de a águia ainda estar vidada 10 dias a partir de agora? 35. Tráfego de carros é tradicionalmente modelado como uma distribuição de Poisson. Um engenheiro de tráfego monitora o fluxo de carros em um cruzamento que tem uma médias de seus carros por minuto. Para estabelecer o tempo de um sinal, as seguintes probabilidades são usadas. (a) Qual é a probabilidade de nenhum carro passar pelo cruzamento em 30 segundos? (b) Qual é a probabilidade de três ou mais carros passarem pelo cruzamento em 30 segundos? (c) Calcule o numero mínimo de carros que passam pelo cruzamento, de modo que a probabilidade desse numero ou menos de carros em 30 segundos seja no mínimo 90%. (d) Se a variância do numero de carros que passam pelo cruzamento por minuto for igual a 20, a distribuição de Poisson é apropriada? Explique Resp: (a) 0,0498; (b) 0,5768; (c) 5; (d) Não. 36. A probabilidade com que sua chamada para uma linha de serviço seja respondida em menos de 20 segundos é de 0,75. Suponha que suas chamadas sejam independentes.

8 (a) Se você chamar 10 vezes, qual será a probabilidade de que exatamente nove de suas chamadas sejam respondidas dentro de 30 segundos? (b) Se você chamar 20 vezes, qual será a probabilidade de que no mínimo 16 chamadas sejam respondidas em menos de 30 segundos? (c) Se você chamar 20 vezes, qual será o numero médio de chamadas que serão respondidas em menos de 30 segundos? Resp: (a) 0,1877 ; (b) 0,4148 ; (c) O numero de erros em um livro-texto, segue uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,01 erro por página. Qual é a probabilidade de haver três ou menos erros em 100 páginas? 38. Determine a constante c de modo que a seguinte função seja a função de probabilidade:, para x = 1,2,3,4. Resp: 0, Determine a função de probabilidade para a variável aleatória com a seguinte função de distribuição acumulada: 40. Cada cápsula principal do mancal em um motor contem quatro parafusos. Esses parafusos são selecionados, ao acaso e sem reposição, de pecas que contem 30 parafusos de um fornecedor e 70 parafusos de outro. (a) Qual é a probabilidade de que a cápsula principal contenha todos os parafusos provenientes do mesmo fornecedor? (b) Qual é a probabilidade de que exatamente três parafusos sejam provenientes do mesmo fornecedor? 41. Um técnico de instalação de um sistema especializado de comunicação é enviado para uma cidade, somente quando existirem três ou amis ordens de serviço. Suponha que as ordens de serviço sigam a distribuição de Poisson, com uma médias de 0,25 por semana para uma cidade com uma população de , e suponha que sua cidade contenha uma população de (a) Qual a probabilidade de que um técnico seja requisitado depois de um período de uma semana? (b) Se você for o primeiro na cidade a solicitar uma ordem de serviço, qual será a probabilidade de que você tenha de esperar amis de duas semanas, a partir do tempo da solicitação da ordem de serviço, até que o técnico seja despachado? 42. Um avião pode carregar 120 passageiros. A probabilidade de um passageiro com um assento reservado chegar para o voo é de 0,95. Considere que os passageiros se comportem independentemente. (Use algum programa de computador.)

9 (a) Qual é o numero mínimo de assentos que a companhia aérea deve reservar para a probabilidade de um voo cheio ser no mínimo 0,90. (b) Qual é o numero máximo de assentos que a companhia aérea deve reservar para existir uma probabilidade menor que 0,10 de mais passageiros chegarem com relação ao numero de assentos? (c) Discuta algumas politicas razoáveis que a companhia aérea poderia usar para reservar assentos, baseando-se nessas probabilidades. Resp: (a) 131 ; (b) Mostre que para um variável aleatória discreta X, se cada um dos valores na faixa de X for multiplicado pela constante c, então o efeito será o de multiplicar a média de X por c e a variância de X por c². Ou seja, mostre que E(cX) = ce(x) e V(cX) = c²v(x). 44. Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X. 45. Uma moeda perfeita é lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule a distribuição e obtenha a média e a variância da v.a. Y. Resp: E(Y) = 2,0 e Var(Y) = 1, Repita o problema anterior considerando agora que a moeda é viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, 0 < p < 1, p ½. 47. Suponha que a v.a. V tem a seguinte distribuição: v 0 1 P(V=v) q 1-q (a) Obtenha E(V) e Var(V). (b) Obtenha a função de distribuição acumulada de V. Faça seu gráfico. Resp: (a) E(V) = 1-q e Var(V) = q(1-q); (b) F(v) = 0, para v < 0 ; q para 0 v < 1 ; 1, para v Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por $ (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias desse vendedor, (a) Escreva a função de probabilidades de Y. (b) Calcule o valor total esperado de vendas diárias. (c) Calcule a variância de Y. Resp: (a) Y toma valores 0, , com probabilidades 126/150, 23/150 e 1/150, respectivamente; (b) E(Y) = 8.333, O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade.

10 t P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 (a) Calcule o tempo médio de processamento. Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $ 2,00, mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha $ 0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $ 1,00. (b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em $ ganha por peça. (c) Obtenha a f.d.a. F(t) da v.a. T. Resp: (a) E(T) = 4,6 ; (b) E(G) = 2,75 e Var(G) = 0, Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por pés. Qual a probabilidade de que um rolo com pés de fita magnética tenha: (a) nenhum corte? (b) no máximo dois cortes? (c) pelo menos dois cortes? 51. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Resp: Binomial = 0,3758 e Poisson = 0, Um florista faz estoque de uma flor de curta duração que lhe custa $ 0,50 e que ele vende a $ 1,50 no primeiro dia em que a flor está na loja. Toda flor que não é vendida nesse primeiro dia não serve mais e é jogada fora. Seja X a variável aleatória que denota o número de flores que os fregueses compram em um dia casualmente escolhido. O florista descobriu que a função de probabilidade de X é dada pela tabela abaixo: x P(X=x) 0,1 0,4 0,3 0,2 Quantas flores deveria o florista ter em estoque a fim de maximizar a média (valor esperado) do seu lucro? Resp. 2 flores. 53. Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? Resp: 0,9418.

11 54. Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em 80% dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a probabilidade de: (a) exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade; (b) não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade; e (c) pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade. Resp: (a) 0,2013 ; (b) 0,6242 ; (c) 0, Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas com peças. É uma característica da fabricação produzir 10% com defeito. Normalmente, cada caixa é vendida por $ 13,50. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa não tiver parafusos defeituosos, ele paga $ 20,00; um ou dois defeituosos, ele paga $ 10,00; três ou mais defeituosos, ele paga $ 8,00. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? Justifique. Resp: Vender por $ 13, Uma fábrica produz válvulas, das quais 20% são defeituosos. As válvulas são vendidas em caixas com 10 peças. Se uma caixa não tiver nenhuma defeituosa, seu preço de venda é $ 10,00; tendo uma, o preço é $ 8,00; duas ou três, o preço é $ 6,00; mais do que três, o preço é $ 2,00. Qual o preço médio de uma caixa? Resp: $ 6, Um industrial fabrica peças, dos quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores A e B, classificaram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando $1,20 e $0,80 respectivamente do seguinte modo: Comprador A: retira uma amostra de cinco peças; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II. Comprador B: retira amostra de dez peças; se encontrar mais que duas defeituosas, classifica como II. Em média, qual comprador oferece maior lucro? 58. Num teste tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responda ao acaso? Resp: 9 x O custo de realização de um experimento é $1.000,00. Se o experimento falha, um custo adicional de $ 300,00 tem de ser imposto. Se a probabilidade de sucesso em cada prova é 0,2, se as provas são independentes e continuadas até a ocorrência do primeiro sucesso, qual o custo esperado do experimento? Resp